1610915356-5872c4d4ad41802c73f2f3fcece03aba (824746), страница 14
Текст из файла (страница 14)
е. д ° да есть пустое множество, то естественно полагаем [18 62 ИНТБГРАЛ СТИЛТЬБСА 0(А ° Ао)=0. Отметим, что если добавить к д(х) любую постоянную, то это не повлияет на значения 0(А). Если д(х) есть функция ограниченной вариации, то воспользуемся ей каноническим представлением в виде разности неубывающих функций: д (х) =д'т(х)— — ав(х). функции ат(х) и ат(х) приведут нас к функциям промежутков 0,(А) и бт(А) с указанными тремя свойствами, а функция а(х) даст нам функцию промежутков 0 (А) = 0,(А) — 0,(А).
Эта функция 0 (А) может быть непосредственно построена по функции д(х) согласно формулам (93), (96) и (97). Она обладает свойством аддитивности и нормальностью, но может быть отрицательной. Если бы мы имели замкнутый промежуток [ — со, + со], то вместо (98) должны были бы положить (99) а (х) = 0 (( — со)) + 0 (( — со, х]). 18. Общий интеграл Стилтьеса. Мы переходим теперь к обобщению понятия интеграла Стилтьеса. Как уже упоминали в [3], мы получим такое обобщение, если потребуем лишь того, чтобы числа 1 и /, определенные в [3], совпадали. Кроме того, будем рассматривать интегрирование по промежутку Д любого типа н будем разбивать А тоже на частичные промежутки Д» любого типа, не имеющие общих точек ни внутри, на на концах. Мы допускаем, естественно, и отдельную точку как частичный промежуток.
Итак, пусть задан конечный или бесконечный промежуток Д и на нем определейы ограниченные функции У(х) и п(х), причем д(х) — неубывающая функция. Делим А на частичные промежутки А»(» =1, 2, ..., р) любого типа без общих точек. Пусть га» и М» — точная нижняя и точная верхняя границы У(х) на Д» и т» — какая-либо точка из А». Наряду с д(х) вводим функцию промежутков О(б»), определенную в [17], и составляем суммы: оа — — 1 га»О (д»); Яа — — Ь М»О (А»); оа —— ,ч т" (1») О (А»), (100) Отметим некоторые обстоятельства, связанные с использованием любых промежутков. Если точка Р с абсциссой х входит как самостоятельный элемент подразделения А, то в суммах (100) соответствующее слагаемое одина- ново и имеет вид у(х)[к(х + О) — д(х — О)].
Точки непрерывности а(х) не имеет смысла вводить как самостоятельные элементы подразделения, и можно в дальнейшем считать, что точки как самостоятельный элемент подразделения — суть точки разрыва л(х). Если Д' и б" — два промежутка, то их произведением А'Ь" называем множество точек, которые принадлежат одновременно А' и Д".
Это есть тоже промежутон или пустое множество. Пусть о' и о' — даа подразлеления д, Произведением подразделений Ь' и Б" называется подразделение Ь'о", состоящее из всевозможных промежутков д'д", где д' принадлежит Ь' и д" принадлежит о", Промежутки А'А", очевидно, попарно без общих точек н их сумма дает основной промежуток Д, Подразделение о' называется продолжением подразделения о, если каждый элемент Ь' целиком находится в одном из элементов подразделения В.
Произведение о'о" есть продолжение как о', так и Ь". Если промежуток Ь замкнут справа н х = Ь есть правый конец д, то при определении О (А) надо считать п(Ь + О) = а(Ь). Аналогично на левом копне д(а — О) = д(а). Это относится и к тому случаю, когда Ь = + со или а = — оз. Как и в [3], через 1 обозначим точную верхнюю границу сумм За и через тт — точную ниж- 13[ 63 овший интвгплл стилтьвсл нюю гранину бь при всевозможнык законах подразделения. Длн зь, Яь, вь, <' и 1 — справедлйво все сказанное в [3]. Определение. Мы будем говоршпь, что ((х) интегрируема по д(х) (пли 0(Д)), если с = 1, и величину 1 примем за величину интеграла <' = ~ 1 (х) ди (х) = ~ 1" (х) 0 (дй).
(101) Определенный таким образоэс интеграл назовелс оби<им интегралом Стилтьеса. В отличие от общего интеграва мы будем называть интеграл, определенный в [2[, просто интегралом Стилтьеса или первоначальным интегралом Стилтьеса. Дальше мы выясним условия существования и свойства общего интеграла. Теорема 1. Для существования интеграла (1О1) необходимо и достаточно, чтобы существовала такая последовательность подразделений ь„(п = 1, 2, ...), что разность Бь — зь стремится к нулю, или, что равно- в п сильно, вь имеет определенный предел при любом выборе точек ф Этот предел А и дает величину интеграла.
При этолс зь — „А и Бв — А. и и Эта теорема непосредственно следует из [3[, причем в рассматриваемом случае частичные промежутки дь не имеют общих точек. Отметим, что последовательность подразделений от о которой говорится в теореме, не должна быть обязательно последовательностью с беспредельно измельчающимися промежутками. Если, например, существует такое подразделение Ь, что вь не зависит от выбора точек сь, то можем взять все ь„ совпадающими с ь.
Введем теперь новое понятиес Определение. 11оследовательность подразделений ь„ называется регулярной для функции а(х) (или 0 (й)), если выполнены следующие два условия: 1) каждая точка разрыва в(х) входит самостоятельным элементом подразделения во все Ью начиная с некоторого значения и; 2) чаппичные промежутки подразделений ь„беспредельно измельчаются при возрастании и, причем в случае бесконечного промежутка й бесконечное излсельчание надо понимать так, как это указано в [4[. Теорема 2 Если ь„— регулярная последовательность подразделений, то з — 1 и Я вЂ” 1 при любом выборе ограниченной сбункции ((х).
и л Пусть ь — любое заданное подразделение й и Ь'„=ьЬ„. Будем брать и настолько большим, что, во-первых, все точки разрыва я(х), которые являются точками деления ь, уже входили бы как самостоятельные элел<енты подразделения в Ьсч и, во-вторых, так, чтобы всякий частичный промежуток ь„содержал не больше одной точки деления о. В дальнейшем надо иметь в вйду, что число таких точек фиксированно. Рассмотрим разность вв — зь . Слагаемые, и и соответствующие тем точкам деления Ь, которые являются точками разрыва я(х) в суммах з и зь, одинаковы, ибо, в силу сказанного выше, они самостоятельные элементы полразделения в о„ и тем саиым в ь„'.
Будем дальше говорить лишь о тех точках деления Ь, в которых я(х) непрерывна. Пусть их чисто равно 4. Если частичный промежуток подразделения ь„ не содержит такой точки деления внутри себв, то соответствующие ему слагаемые в зь и зь одинал и козы. Остаетсн не больше 4 частичных пРомежУтков, вхоплщих в ью которые содержат упомянутые точки деления Ь внутри себя. Пусть х=х' точка деления Ь, находящаяся внутри частичного промежутка й подразделения Ью <и) при переходе от ьп к ьп одно слагаемое вида ь~"10(й<"1) запенится двумя слагаемыми вида Р<сп0(й<<со)+э<"10(й<всш), причем й<"1 содержит х=х' внутри 64 119 интвгилл птилтьипл себя, а й("! и йт! — на концах (куда именно причислять х' неважно, ибо я(х) непрерывна в точке х = х'), Через Х1т, Р!"1, ът! обозначены числа, которые не превышают по абсолютной величине точной верхней границы (е"(х)! в д.
Поскольку в регулярной последовательности частичные промежутки беспредельно измельчаются при возрастании п, то это имеет место для йт1, д~"~, й1п) и поскольку эти промежутки содержат внутри себя или на границе финсированную точку непрерывности х = х' функции г(х), мы можем утверждать, что Х(ВО(й(В)-0 и РВ'б(й(В)+т(п!О(й(пт)-0 при п-со. Принимая еще во внимание, что число точек х' не превышает д, мы можем УтвеРждать, что за' — Яь — 0 пРи и — со. и и С другой стороны, мы имеем неравенства я (я ' (!и я, < яа„(1.
Поди яп разделение Ь можем выбирать так, чтобы яя было сколь угодно близким к 1, т. е. при любом заданном положительном е мы можем выбрать такое Ь, что т — зя ( с. Из неравенства яа ( яа„' ( 1 будет при этом непосредственно следовать, что 1 — яа„'(в и, наконец, полученный выше результат яа'„— ля 0 покажет нам, что при всех достаточно больших п мы имеем 1 — я. (2с, т. е., в виду проел извольности е, я, — 6 что и требовалось доказать. Совершенно аналогично и доказывается, что ЯЬ вЂ” 1 Отметим, что если а(х) непрерывна, то для регул лярной последовательности характерным является лишь тот факт, что ее ча- стичные промежутки беспредельно измельчаются. Это имеет место, например, для интеграла Римана, когда г(х) = х.
Ввиду неограниченности х на беско- нечном промежутке при построении собственного интеграла Римана мы должны были рассматривать лишь ограниченные промежутки. Теорема 3. Если интеграл (111) сущесвяуе~п и равен А, то для любой регулярной последояательности подразделений аа„— А. Из условия теоремы непосредственно следует с =1=А. При этом яа„А и Зап — А, в силу тео- ремы, а потому аат удовлетворяющая неравенству яа„( ая„«Яа„и подавно стремится к А при любом выборе точек ;"1,"', Из доказанных теорем непосредственно вытекает следующее следст- вие. Если для некоторой регулярной последояавельности Ь„ суще- свеует предел ая„— А, во он сущесвяует и для любой другой регулярной последоеавельности и равен тому же числу А.
При этом интеграл су- ществует и равен А. Если для некоторой регулярной последовательности Ьп, ая„не имеет определенного предела, то интеграл (11!) не сущесвеует. Таким образом, использование сумм еа с регулярными последовательностями подразделений сразу решает вопрос о существовании основного интеграла Стилтьеса. Отметим еще, что если Ь„ есть регулярная последовательность для « (х) ив„' есть продолжение Ьт то и Ь,', есть регулярная последовательность. Это вытекает непосредственно из определения регулярной последовательности.
19. Свойства (общего) интеграла Стилтьеса. Общий интеграл Стилтьеса может быть получен, как мы видели, как предел сумм яа при некотором выборе последовательности подразделений. При этом, если са„ имеют определенный предел, и Ь„' есть продолжение Ь„, то и еа„' имеют тот же предел.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
