1610915356-5872c4d4ad41802c73f2f3fcece03aba (824746), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Мы можем таким образом, пользуясь суммами аа, доказывать свойства общего интеграла Стилтьеса так же, как это мы делали для интеграла Римана и первоначального интеграла Стилтьеса. Мы п иведем эти свойства с некоторыми 19! 65 СВОИСТВА ОБЩЕГО ИНТЕГРАЛА СТИЛТЬЕСА дополнениями. Во всем дальнейшем функции у(х) и л (х) считаются ограниченными в промежутке интегрирования и, кроме того, функция л(х) считается неубывающей. 1. Если сь — постоянные, то ~~'саул(х) Лй(х) = 5'са ~~а(х) Н~(х), л а=! 6 (102) причем из существования интегралов, стоящих в правой части, следует существование интегрзла, стоящего в левой части.
Для доказательства достаточно взять какую-нибудь регулярную последовательность Ь„ для функции л (х). П. Если лл(х)(4=1, 2, ...,р) — неубывающие ограниченные функции и са — положйтельные постоянные, то ~У'(х) 6) ( лтс)ла(х) )= гь~ У'(х)дла(х), Дт ь-! ,=! .6 (103) причем из существования интегралов, стоящих, справа следует существов анис интеграла, стоящего слева, и наоборот. Пусть Ь!а) регулярная последовательность подразделений для да(х). Последовательность Ь„=Ь!!), Ь!Л), ..., Ь)Р' будет регулярной последовательностью для всех функций ль(х)(д = 1, 2, ..., р).
мы имеем очевидное ра- венство Р ~ал Зал (' Га (Яаа аая ) )а) л=! (104) ~ У (х) 6)л (х) = ~~ ~ у (х) !ТЕ (х), 6 а=' 'л (105) причем из существования интегралов в правой чвсти слелует существование интеграла в левой части и наоборот. Положим, что существует интеграл, стоящий слева. В силу теоремы 1 имеется такая последовательность Ь подразделений б, что 36„ — За„ вЂ” О. Обозначим тле за„и 36» относятся к интегралу, стоящему в левой части(103), а аа и !а) 3,! ) — к интегралам, стоящим справа.
Если интегралы, стоящие в правой ча)в) сти формулы (103), существуют, то 56~~~ — за)а) — 0(Д= 1, 2, ..., р) и, следовательно, 36л — з6„0, т. е. существует интеграл, стоящий слева. Положим теперь, что существует этот последний интеграл. При этом должна существовать такая последовательность подразделений Ь„, что 36„ — за„ О.
Слагаемые, стоящие в правой части формулы (104), неотрицательны и, следовательно, $6„) — аа)„) — 0 при 4=1, 2, ..., р, т. е. существуют интегралы, стоящие в правой части формулы (103). Сама формула (103) вытекает непосредственно из аналогичного свойства для конечных сумм аа„и перехода к пределу. 111. Если промежуток Да разбивается на конечное число п ром еж у т к о в 6)о Л„..., Дж без общих точек, го 66 [19 интвгглл стилтьвсл У (х) ~Уй (х) ( (.Ст (д), л (106) г д е 6 (л) — полное приращение функции к(х) н а промежутке д, причем предполагается, что интеграл существует. Ч, Если на промежутке д функции Г" (х) равномерно стремятся к у'(л) и р и р — оо и интегралы о т ур (х) п о д (л) существуют, то существует и интеграл от Г(х) по л(х), и имеет место формула 11щ ! ~р(х) Ыр(л) = ~ у(л) Ку(л).
я ю а а (107) Пусть Д~"!(Д = 1, 2, ..., тя) — интервалы подразделения некоторой регулярной последовательности подразделений Ь„ для функции 3(х). Рассмотрим СУММЫ ча~~! Наз„дая фуНКцИй Гр(Х) И дпя фуНКцИИ Г" (Х), КОтОрая, ОЧЕВИДНО, ограничена в силу равномерной сходимости ур(х): тл т» !я! ~~у (1!л)) П(д!л1). \~~~у(„-!я!) П(й!я1) (!03) а=! а ! Точки ф мы берем во всех суммах одними и теми же. Составим разность тя . — („'! =,~ (у(11"1) — Ь, (11,"!И а (д~ю).
л=! При любом заданном положительном е существует, в силу равномерной сходимости г1,(л), такое тч', что ! г(х) — у' (ж) ) (а при р) Ф и для любого х из Дм Мы полУчим ДлЯ Разности аа„— аа„! пРи Р) ттт и пРи любом выбоРе 4 с!ля! следующую оценку: )аа„— аф((аб(л).
Отсюда видно, что аз~я! при р — со стремятся к аа„ и притом равномерно относительно и и выбора точек $ („"!. По условию функции гр (х) интегрируемы по д(л), и, следовательно, каждаЯ из сУмм аая!Я! пРи беспРедельном возРастании и имеет пРедел, котоРый через Ь подразделение Д на части Дл(А = 1, 2, ..., гл) и положим Ь„' = Ь„Ь, Имеем, очевидно, 3а „вЂ” за „вЂ” О, ибо зал ) за„и 3ая(3тя. Сумма вида (16), которая представляет 3а„— аа„, может быть разбита на е неотрицательных слагаемых, каждое нз которых представляет собой аналогичную сумму для некоторого дь, и, поскольку вся сумма стремится к нулю, мы можем утверждать это же для отдельных слагаемых., т.
е. существуют интегралы, стоящие в правой части формулы (!05). Наоборот, положим, что существуют интегравы, стоящие справа. Для каждого из них имеется такая последовательность подразделений Ь„, при которой разность 3а„— за„стремится к нулю. Произве!л! !Л1 (Л) денис этих последовательностей подразделений непосредственно приводит к такой последовательности подразделений всего промежутка о, при которых аналогичная разность для интеграла, стоящего слева, также стремится к нулю. Отметим, что для первоначального интеграла Стильтьеса в третьей из формул (3) существование интегралов, стоящих справа, не влечет за собой существования интеграла, стоящего слева. (тУ.
Е с л и н а и р о и е ж у т н е й м ы и м е е м ) г (к) ) = 5, т о ЕТ 19) СВОИСТВА ОБЩВГО ИНТЕГРАЛА СТИЛТЬИСА мы обозначим через Ар. Этот предел и является интегралом ат гр(х) по д(х). Покажем теперь, что йосяедоватеаьность чисел Ар имеет предел. В силу (106) имеем ! Ар — А, ! ( 0 (Ь) гпах ! у" (х) — у (х) ). А — аа„= (А — А,. )+ (А, — ча!д!) + (аа!Р! — аа ), (!00) Пусть задано а)0. Сначала выберем р настолько большим, чтобы иметь ! А — Ар ((а и ! аз~я~ — аа ! ж-'а при любых и и :'а. Далее при всех достаточно больших л мы имеем для фиксированного выше р, что !Ар — аа!Р! )(а.
таким образом, /А — аа„! ~ За, откуда, ввиду произвольности а, и следует, что ча„ А. Н1. Если существует интеграл от г(х) по я(х), то существует и интеграл от)у(х)!под(х)и имеет место неравенство г (х) т)д (х) ( ~ (г(х) (дд(х), (110) Введем обычное обозначение та и М„ для функции Г"(х).
Если оба числа положительны, тц для )у (х) ! мы будем иметь те же точные границы. Если оба числа отрицательны, то для )у (х)! твчной нижней и верхней границей будут служить числа ! Ма ! и ! Ача 1, и разность между точной верхней и точной нижней границей останется прежней.
Наконец, если та отрицательно, а Ма положительно, то для )у'(х)! точной веркнез границей будет служить наибольшее из чисел )ша! и Ма, а точной нижней ~раницей — число)0. Таким образом, во всех случаях разность между точной верхней и точной нижней границей дая !у (х)! будет не больше чем для у (х). Поэтому, если для некоторой последовательности подразделениИ разность Лая — за„ для у (х) стремится к нулю, то тем более она стремится к нулю при той же посзедовательности подразделений и для ! у (х)(, т.
е. из существования интеграла от у (х) следует существование интеграла и для (у (х)!. Неравенство (!10) непосредственно получается из аналогичного неравенства для сумм предельным переходом. Н11. Если функцииу;(х) иуа(х)'интегрируемы по д(х), то И ИК П рО ИЗ В ЕдЕ Н НЕ Г1 (Х)уа(Х) И Н т Е Гр И р у ЕМ О ПО Р(Х). ДОКажЕМ СиаЧааа, ЧтО ЕСЛИ Г (Х) ИитЕГРИРУЕМО ПО Д (Х), тО Га(Х) ИитЕГРИРУЕМО ПО Д (Х).
Предположим пока, что Г (х) положительна, и составим суммы аа для у (х) и Г"а (х): ча =,7 (МА — ьча) 6 (Аа), а-! аа =,)„(М~~ — ю~~) ст (Ьа) = ~) (Ма+ та)(МА — вЦ,) б(ДА). а-! Если первая из пик стремится к нулю дяя некоторой последовательности подразделений, то, в силу ограниченности множителя Ма + ша, И вторая стремится к нулю для той же посаедоватеаьности подразделений.
Таким образом, для положительной функции у (х) из интегрируемости у (х) следует интегрируемость По условию правая часть стремится к нулю при р, и со, и тем самым Ар илгеет предел при р — оэ, который обозначим через А. Нам остается показ зать, что аа„— А при и — со. Оценим разность А — аа„, которую запишем в виде (29 ИНТЕГРАЛ СТИЛТЬЕСА га(х). Если у (х) неположительнз, то ввиду ее ограниченности существует такая положительная постоянная, что функция у (х) + а положительна. Эта последняя функция, в силу свойства 1, очевидно, интегрируемз, а, слеловательно, по доказанному, интегрируема и функция (у(х) + а)' =г"ь(х) + + 2ат (х)+ а', откуда непосредственно вытекает и интегрируемость функцииуь (х), которую можно представить как сумму интегрируемых функций: уь(х) = = (Г(х) + а)' — 2ау(х) — а'.
Наконец, чтобы доказать интегрируемостьЛ(х)Л (х), достаточно представить ее в следующем виде: 1 1, 1 Л (х)Л (х) (Л (х) +а (х)) 2 Л (х) 2 Уаь (х)' Правая часть написанной формулы представляет собой сумму интегрируемых функций. 20. Существование общего интеграла Стилтьеса. Мы укажем ниже некоторые достаточные условия существования общего интегрзла Стилтьеса. Теорема. Любая ограниченная функция у(х) иктегрируема ао функции скачкое де (х) л смысле обитего интеграла Стилтьеса, Положим сначала, что множество сп с„..., ср точек разрыва непрерывности д(х) конечно, и пусть Ь вЂ” подразделение основного промежуткз, определяемое следующим образом: концы промежутка, если они принадлежат области интегрирования, и точки со сь, ..., ср являются самостоятельными элементами Ь, а остальными элементами Ь являются те открытые промежутки, которые получились после выделения указанных точек.
На кажлом из этик промежутков да (х) сохраняет постоянное значение, и суммы соответствующие интегралу от у" (х) по да(х), очевидно, одинаковы и выражаются формулой аа = Яа = () У (сл) Тл. (111) Таким образом, интеграл от у (х) по да(х) существует и выражается суммой (111). Положим теперь, что множество точек разрыва сл функции иа(х) бесконечно.
Пусть Ь„ — подразделение основного промежутка на части, произведенное так же, как и выше, причем в качестве самостоятельных элементов подразделений выделяются концы промежутков и первые и точек разрыва: сь с„ ..., с„. Для построенной последовательности подразделений Ь„ образуем суммы ьа . Сумма тех слагаемых, входящих в аа, которые происхолят а' а' от выделенных точек, как самостоятельных элементов подразделения, равна л У У (сл) Тл ь= ! и не ззвисит от переменных точек Ьа. Рассмотрим один из открытых интервалов (а,р), входящих в подразделение Ь„. Соответствующее ему слагаемое суммы аа будет иметь вид а у (Ы (д(р — О) — д(а+О)) (а ($ (р), Если (у(х)((ь', то мы имеем 1у(1) ~ (д(Ь вЂ” 0) — и(а+ 0)) ~ у. (И(р — 0) — и(«+ 0)), причем разность б(Р— О) — а(а+О) представляет собой сумму скачков а(х) внутри промежутка (а, Р).
Таким образом, сумма слагаемых, входящих в аа и соответствующих открытым промежуткам подразделения Ь„, будет по абсолют- 20] СУЩЕСТВОВАНИЕ ОБЩЕГО ИНТЕГРАЛА СТИЛТЬЕСА 69 ной величине не больше, чем произведение Ь на сумму всех скачков функции к(х), кроме сначков в выделенных точках сь с„ ..., с„. Эта сумма при беспредельном возрастании и стремится к нулю, а сумма, соответствующая выделенным точнам подразделения, при возрастании и дает в пределе сумму схояящегося ряда ,У, У(сл) ТА, А = ! (112) н, следовательно, интеграл от у(х) по гл(х) существует и выражается рядом (112), что и требовалось доказать.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
