1610915356-5872c4d4ad41802c73f2f3fcece03aba (824746), страница 17
Текст из файла (страница 17)
В данном случае 0 (Ь) равно длине той части отрезка ~„ который содержится в Ь. В любой точке Р, принадлежащей Ь„ функция 0 (Р) = О. Если Ь„ есть система вложенных промежутков, стремящихся к У„ то их площади стремятся к нулю, а 0 (Ь„) = 1 при всех л. Отметим, что функцию 0 (Ь), определенную для всех промежутков, принадлежащих Ь„ легко распространить вообще на все промежутки плоскости, причем функция останется неотрицательной, аддитивной и нормальной.
Действительно, если Ь есть любой промежуток, и ЬЬа есть произведение промежутков Ь и Ь„ т. е. множество точек, принадлежащих одновременно Ь и Ь„ то это произведение есть промежуток, принадлежащий Ьа, и мы получим упомянутое выше расширение функции 0 (Ь), если положим 0(Ь) = 0 (ЬЬе).
Легко физически истолковать это расширение функции 0 (Ь), если понимать 0 (Ь) как массу, которая заключается на промежутке Ь, причем вся масса распределена по промежутку Ьа. *) В дальнейшем мы докажем уназанное свойство 6 (Ь) не только дая промежутков, но и дая гораздо более общих точечных множеств.
92) пвивход к огнкции точки В дзльнейшем мы увидим, что если только нз полуоткрытых промежутках задана неотрицательная„ аддитивная и нормальная функция, то она единственным образом может быть распространена не только на все промежутки, но и на гораздо более широкий класс точечных множеств на плоскости при сохранении ее указанных свойств. При этом ее значения на точках и линиях 7 могут быть получены, как это было выше указано, предельным переходом при помощи системы вложенных промежутков, причем предел не зависит от того, какую именно систему вложенных промежутков мы берем.
Нетрудно произвести разбиение функции 0 (о) нз функцию скачков и непрерывну|о часть. Пусть 0 (Ь) неотрицательна„ аддитивна, нормальна и определена для всех и, принадлежащих цо. Обозначим через Ри (й = 1, 2, ...) ее точки разрыва непрерывности. Определим функцию скачков 0 (Ь) следующим образом: 0»(ц) равна сумме значений 0(Р») в тех точках Ри, которые принадлежат Ь. Отметим, что если таких точек счетное множество, то ряд, составленный из 0(Р»), сходится.
Разность 0(ц) — 0»(Ъ) обозначим через 0,(Ь). Эта последняя функция уже не имеет точек разрыва непрерывности. Нетрудно видеть, что обе функции О» (ит) и О, (д) не- отрицательны, аддитивны и нормальны. Нормальность непосредственно следует из неравенств: 0(0„(о)(0(Ь) и 0(0,(Ь) =0(Ь). Напишем полученное разложение функции 0(Ь): а (й) ='О, (д) -!- а, (д). 22. Переход к функции точки. Можно построить функцию промежутка 0 (Л), пользуясь функцией точки к(х, у). Положим, что имеется функция точки и"(х, у), которая определена, если х принадлежит к промежутку Ь'„и оси Х, и у — промежутку Ь',и оси г', причем ц„'и и Ь'„в определяют основной промежуток Ьо нз плоскости.
Предположим далее, что функция л(х, у) не убывает пэ каждой переменной при любом фиксированном значении другой переменной и, кроме того, к(х+й, у+й) — а(х+й, у) — д(х, у+й)+д(х, у))0 (115) при любых х и у и любых положительных й и й. Из сказанного следует, что существуют пределы к(х, у-+ 0) и е.(х + О, у), причем 1) и (х„у+0)~л(хи у+0); к(х„у — 0)) о(х„у — 0) при х, ) х, и 2) и (х+ О, у,) ) у(х+ О, у,); и (х — О, уя) ) у (х — О, у,) при у,)ун В силу монотонности, вырзжаемой этими формулами, мы можем переходить к пределу последовательно по одной и другой переменной.
Составим пределы А= Иа 1нп»(х+й, у+й) и В= !!а Иа д(х+й, у+й) и +о» +о и +ои +о 74 (22 ннтагвал стилтьвсА и докажем, что онн равны. Мы инеем п(х+ Ь, у+ Ь) ) ) у(х+ Ь, у+ 0) и, переходя к пределу сначала по Ь, а потом по Ь, получим А )В. Совершенно так же можно доказать, что ВтиА, и, следовательно, А = В. Величину А = В ес~ественно обозначить символом п(х+ О, у+ 0). Совершенно так же можно показать, что !ип Иш д(х — Ь, у — Ь)= Иш 1ип л(х — Ь, у — Ь), а +ол +о о-+о а +о и этот предел естественно обозначить символом д(х — О, у — 0).
До сия пор мы пользовались лишь тем, что функция д(х, у) не убывает по каждой переменной. Сейчас нам придется использовать и условие (115). Составим пределы Аг — — Иш !ип гг(х+ Ь, у — Ь) и В, = Ипг Иш л'(х+ Ь, у — Ь) а Ч-оо +о а Ч-ои +о и докажем, что А,=В,.
Полагая 0(Ь,(Ь и 0(Ь,(Ь, можем написать, в силу (115), а (х+ Ь, у — Ьг) — п(х+ Ь, у — Ь) — п.(х+ Ьи у — Ь,)+ + а (х + Ь н у — Ь) =" О. Устремляя к нулю сначала Ь, и затем Ьн получим Ь(х+Ь, у — 0) — л(х+Ь, у — Ь) — А,+у(х+О, у — Ь))0. Устремляя теперь к нулю сначала Ь и затем Ь, будем иметь В,— А,свО, т. е. Вг)Ан Совершенно так же можно доказать, что Аг~Вг, и, следовательно, А,=Вн Величину А,=В, естественно обозначить через с (х+ О, у — 0).
Совершенно так же 1ип Иш л(х — Ь, у+Ь)= 1ип 1ип п(х — Ь, у+Ь), а ч-ол-ч-о ь эо ь--ьо и этот повторный предел обозначим е (х — О, у + 0). Нетрудно показать, что во всех рассмотренных четырех случаях тот же предел получится и при любом одновременном стремлении Ь и Ь к (+ 0). Например, можно утверждать следующее: при любом заданном положительном а существует такое положительное тв что )д(х+Ь, у — Ь) — л(х+О, у — 0)) =а при 0(Ь(п и 0(Ь(т!. Таким образом, при выполнении условия (115) имеют определенный смысл символы ь"(х -г- О, у -+-0).
При помощи п(х, у) неотрицательная, аддитивная и нормальная функция О (Ь) строится следующим образом. Положим, что Ь„и Ь суть промежутки на осях, определяющие промежуток Ь на плоскости, и пусть а и Ь вЂ” граничные точки промежутка Ь„, а с и ог — граничные точки проме- 7б 22) пеРехОд к Функции точки жутка !! . При этом 0(б) рвано следующему выражению: а(Ь -+- О, с( -+- 0) — а (Ь -+- О, с -+- 0) — а (а -+- О, Н -+- 0) + + л(а.+-О, с -+-0), где знак + берется в том случае, когда промежуток закрыт на соответствующем правом конце или открыт на соответствующем левом конце, и знак —, когда промежуток открыт на соответствующем правом конце, или закрыт на соответствующем левом конце.
Таким образом, наприиер, в случае замкнутого промежутка а ( х (Ь, с (у — с! мы имеем О (Ь) = а (Ь + О, с(+ О) — л. (Ь + О, с — О) — К (а — О, г(+ 0) + + а(а — О, с — 0). В случае полуоткрытого промежутка а(х(Ь, с(у -.с(: О(Д)=д(Ь+О, !+О) — й-(Ь~-О, +О) — л.(а+О, !+О)+ +а(а+О, с+0) и в случае точки х=а, у=с: О(!1) =д(а+ О, с+0) — а(а+ О, с — 0) — а(а — О, с+0)+ +а(а — О, с — 0). Наоборот, если имеется функция О(!!), то легко построить функцию точки а(х, у), при помощи которой 0(Д) может быть получена указанным выше образом. Положии, например, что О(!л) определена на всей открьыой плоскости. При этом а(х, у) можно считать равной значению Г)(Д) для промежутка б„у, который определяется следующими проиежутками на осях: — со ( х' —.
х; — ОО (у' у. Построенная таким образом а (х, у) будет непрерывной по х и у справа. Отметим, что левая часть ( 1 1 5) не изменится, если к л (х, у) добавить произвольный полипом первой степени относительно х и у. Отметим, что если а (х, у) — непрерывная функция, то соответствующая ей 0 (!л) не имеет ни точек, ни линий разрыва и наоборот. Если в точке (х, у) функция а(х, у) имеет разрыв непрерывности, но а(х+ О, у+0) — ~(х — О, у+ 0) — а(х+ О, у — 0)+ + а (х — О, у — 0) = О, то эта точка не есть точка разрыва для Сг(!!). Рассмотрим в качестве примера то распределение массы, о которолл мьл упоминали выше, а именно положим, что масса распределена с линейной плотностью, равной единице, на отрезке: х= 1, О (у( 1. При этом л (х, у) = О, если х( 1 или у ( О; а(х, у) =у, если х=-1 и 0(у( 1; а(х, у)= 1, если х=--1 и у) 1. Совершенно аналогично можно рзссмотреть промежутки в трехмерном пространстве с осями Л', Г и с..
Такой промежуток опре- уб !23 ИНТЕГРАЛ СТИЛТЬЕСА деляется тремя промежутками на осях. Кроме точек и прямых, параллельных осям, надо будет рассматривать также и плоскости, параллельные координатным плоскостям. В остальном все рассуждения и результаты будут такими же, что и выше.
23. Интеграл Стилтьеса иа плоскости. Нетрудно обобщить понятие интеграла Стилтьеса на случай плоскости. При этом мы встретимся, очевидно, с подразделениями двумерного промежутка на части. Если й — некоторый промежуток плоскости, определяемый промежутками Ь„ и й на осях, то мы назог.м подразделением Ь такое разбиение Ь на частичные промежутки, которое получается при помощи разбиений Ь„ и Ь на частичные промежутки.
Каждый частичный промежуток й определяется частичным промежутком из б„ и частичным промежутком из Ь . На черт. ! указано разбиение полуоткрытого промежутка на шесть частичных промежутков, произведенное указанным образом. У Черт. 2 Черт. 1 На черт. 2 указано разбиение совершенно иного типа. В нем линии деления заканчиваются в середине промежутка Ь, и оно не может быть получено вышеуказанным путем подразделения промежутков Ь„и Ь . Но легко перейти от подразделения второго типа к подразделению первого типа, продолжив все линии деления, и мы в дальнейшем будем пользоваться только подразделениями первого типа, что не играет существенной роли.
Подразделение Ь' называется продолжением подразделения 6, если подразделения Ь„ и Ь „ соответствующие 6', являются продолжениями подразделений й„ и Ь, соответствующих 6. Если й, и 6,— два подразделения и, а й',", 6'„" и 6'", й',и — соответствующие подразделения Ь„и Ь, то произведением 61ьа называется такое подразделение, которое определяется подразделениями ь'„"6," и 3'„"6"' промежутков Ь„ и Ь„. Подразделение 31вя является, очевидно, продолжением в, н вп Отметим также, что если Ь' есть промежуток, принадлежащий Ь, то существую~ такие подразделения й, в которых Ь' является одним из частичных промежутков. Нетрудно построить понятие, аналогичное понятию интеграла Стилтьеса, на случай плоскости, трехмерного пространства или интагрлл стилтьвс» НА плоскости 77 вообще л-мерного пространства.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
