1610915356-5872c4d4ad41802c73f2f3fcece03aba (824746), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Докажем по поводу этого интеграла следующее: если ф (х) — ограни сенная функция, интегрируемая по Риману в любом конечном промежутке (например, функция ограниченной вариации д'(х)), то интеграл (158) (он, очевидно, существует) при стрелглении т к 0 со стороны положительных значений стремится к ф(а) в точках непрерывности ф(х) и к полусумме предельных значений слева и справа в точках разрыва первого рода, причем в любом замкнутом промежутке изменения т, лежащем внутри промежутка непрерывности ф(х), зто стремление к пределу равномерно относительно а. Для доказательства отметим, прежде всего, очевидное равенство 2 Г ах=1. я ~ Х'+т' (159) Разобьем промежуток интегрирования на два: [ — со, О], [О, +со], И в первом из полученных интегралов введем новую переменную В интеграле (158) введем вместо х новую переменную интегрирования у=х — т +СО р (а, г) = — ],, ф (у+ о) ~у.
ОЭ 91 29] интвггал коши — стилтьвсА интегрирования у,= — у. Таким образом, придем к следующей формуле: СО и( ) 2 6(а+х)+6(а — х) ( 2 Положим, что а — точка непрерывности ф (х) или точка разрыва первого рода. Умножим обе части формулы (159) на [ф (а+ О) [- +ф(а — О)]:2 и вычтем почленгю из формулы (160). Мы получим, таким образом, следующую формулу: «О га(а, ) ' 2 ' — а,, (х) г(х, (!61) я )х' Ь где 2 1 2 . (162) 6(а+х) — 9(а+0), 6(а — х) — 9(а — 0) Пусть а — заданное положительное число. При этом существует такое положительное ть что [гв(х) [(а при 0(ха-.а). Если а находится в замкнутом промежутке, лежащем внутри промежутка непрерывности ф(х), то, в силу равномерной непрерывности ф (х), число а) определяется только числом а и не зависит от а.
В интеграле (16!) разобьем промежуток интегрирования на два [О, а)] и [а), со]. Для первого промежутка интегрирования имеем СО ~=~ "+" 2 г ! 2 Р т 2 Г т Ь о Для оценки интеграла по второму промежутку заметим, что функция тв(х) ограничена, что вытекает из ограниченности функции ф (х), т. е. мы имеем ]гв(х)] ~ А, где Š— некоторое положительное число. Таким образом, получим 2 Г а 21Гя я ) Ха+та тв(х) г!х]~ Š— ~ — г(х= — [ — — агс19 — ~ ха+та в [,2 и для разности, стоящей в левой части формулы (162), получаем следующую оценку: 9(а +0)+6(а — 0)! 2О/я г' (а, т)— 2 [ ' О(2 ( = а -)- — [ — — агс 1д — ') .
Равность, стоящая во втором слагаемом, очевидно, стремится к нулю, когда положительное число т стремится к нулю, и при всех т, достаточно близких к нулю, это второе слагаемое будет меньше а. 92 [29 ИНТЕГРАЛ СТИЛТЬЕСА Таким образом, при всех т, достаточно близких к нулю, мы получаем оценку 9(.+о)+9( о) ~ из которой вытекает, ввиду произвольности а, справедливость высказанного выше утверждения, Близость т к нулю обусловлена значением ть а это последнее не зависит от а для упомянутых выше интервалов непрерывности ф(х). Отсюда следует равномерность стремления к пределу в упомянутых интервалах непрерывности. Переходим теперь к доказательству формулы обращения (157).
Составим функцию + о» 1'1(о, т) = — [о» (а+ т() — о»(а — т()) = — ~,, г(д(х). 1 1»" Применяя интегрирование по частям, можем написать +»» » 1(о» Т)= — — ) в(Х)Д— ~ 1 1)™~ +»о ( Х ) 1 1 ~ (»» ) Ы Х ВВИду ОГраНИЧЕННОС~И Аг(Х) НаПИСаННЫй НЕСОбСтВЕННЫИ ИНтЕГраЛ сходится равномерно относительно а, принадлежащего любому конечному промежутку, и, интегрируя обе части последней формулы по а на пРомежУтке [О, хо), пРичем спРава ин~егРиРование пРоизводится под знаком интегралз, получим к» 1 [' — [ [о1(о+ т() — о1(о — т()) г(а = 2я1' +»» + о» вЂ”,д(х) г(х — — ~, ',д(х) г(х.
»1 а (х — х,)'+ ы Интегрзлы, стоящие справа, суть интегралы Пуассона, и, применяя доказанную выше теорему, мы и придем к формуле обращения (157). Эта формула впервые дана Стилтьесом и называется обычно формулой Стилтьеса. Отметим, что для интегрзла (156) значения функции д(х) на концах промежутка [ — со, +со) не существенны, так как интегрируемая функция стремится к нулю при стремлении х к -+-оо. ГЛАВА !! ФУНКНИИ МНОЖЕСТВ И ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА ф 1. Функции множеств и теория измерения ЗО. Операции над множествами.
Прн построении более общего понятия интеграла мы будем разбивать основной промежуток интегрирования не на промежутки, з на точечные множества более общего типа. Кроме того, и основной облзстью интегрирования будет часто служить нам не промежуток, а некоторое точечное множество более общего типа. Первый параграф настоящей главы и будет посвящен изучению таких множеств,и функций, определенных на таких множествах более общего типа. Мы начнем с изложения основных понятий и основных фактов, касающихся не только точечных множеств, но и множеств, состоящих из любых элементов.
Для таких общих множеств введем сначала некоторые основные понятия и обозначения, которыми мы в дальнейшем будем широко пользоваться. Главным образом будем пользоваться точечными множествами, т. е. множествами, элементы которых суть точки или прямой, или плоскости, или вообще многомерного пространства. Если элемент х принздлежит множеству А, то это записывают в виде хЕ А. Если же х не принздлежит А, то пишут так: же А. Если все элементы, входящие в множество А, входят и в множество В, то говорят, что А есть часть В, и пишут А~::В или В:эА. Если множества А и В содержзт одни и те же элементы, то пишут А = В. Если все элементы, входящие в А, входят и в В, но среди элементов В есть и такие, которые не входят в А, т о, чтобы подчеркнуть последнее обстоятельство, иногда говорят, что А есть правильная часть В.
Если А ~ С и В с: С, то отсюда следует, что А с: С. Пусть Ан А„Аз множества, число которых конечно или счетно. С у м м о й м н ожеств (1) называется множество $п элементами которого являются элементы, принадлежащие по крайней мере одному из множеств А„. Для обозначения суммы (39 94 ФУНКЦИИ МНОЖЕСТВ И ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА множеств пользуются обычными символами Вг —— Аг+Ая+...
или В,= ~~А„. л П р о и а в е д е н и е м м н о ж е с т в (1) н а з ы в а е т с я м н о ж ество ф„элементами которого являются элементы, вход я щ и е в о в с е м н о ж е с т в а Ал. Произведение мнонгеств обозначается обычным образом $,=А,АТ... Или 5я=И А„. л Произведение множеств может не содержать ни одного элемента. Множество, не содержащее ни одного элемента, называется п у с т ы м м н о ж е с т в о м, и мы будем обознача~ь его символом Л. Так, например, если А и В множества, не имеющие общих элементов, то мы имеем формулу АВ= Л. Сумма и произведение множеств подчиняются, очевидно, переместительному и сочетательному закону. Имеем например: А+В=В+А; А+(В+Р)=(А+В)+Р; АВ=ВА; А ° (ВР)=(АВ) ° Р.
Справедлив и распределительный закон, т. е. имеет место формула В >,Ал=~ВАл. л л (3) (А+В)(А+Р)=А+ВР. (4) Определим теперь разность. Под разностью множеств А — В мы разумеем множество, элементами которого Для того чтобы доказать эту формулу, мы должны показать, что всякий элемент х, входящнй в множество, стоящее в левой части формулы, входит и в множество, стоящее в правой части формулы, и наоборот. Если х есть элемент множества, стоящего в левой части формулы (3), то он принадлежит одновременно В и сумме множеств Ал, т. е.
по крайней мере одному из множеств Ал. Пусть хЕ АА. Таким образом, хс В и хб Аь, т. е. хс ВАА, а следовательно, х принадлежит множеству, стоящему в правой части формулы (3). Наоборот, если х принадлежит этому множеству, то он принадлежит по крайней мере одному из произведений ВАЛ.
Положим, что хс ВАгл т. е. хЕ В и хЕ Аь. Отсюда следует, что хС В и что х принадлежит сумме множеств Ал, т. е. х принадлежит множеству, стоящему в левой части формулы (3), и эта формула доказана. Если Вс:А, то очевидно А+В=А. Отсюда и из (2) и (3) непосредственно следует 95 опвглпии нлд множиствами являются элементы А, не входящие в В.
Если А~В, то А — В есть пустое множество. Отметим, что при определении разности А — В мы не предползгаем, что В с: А. Если В ~ А, то имеет место очевидная формула А = В+ (А — В). В общем случае имеем А + В = В + (А — В). Отметим некоторые формулы, которые будут нам полезны в дальнейшем. Их доказательства не представляют никакого труда.
Если А — В=14 и  — А=фг, то А+$,=В+ ф,. Если Алс: Вл, то аУ А„с .,'Г Вл и ~ Вл — ~Ь А„ ~ ~ (Вл — Ал). (8) л л Укажем еще на формулы, связанные с понятием разности: А — ( — г)) с:. (А — В) + 77 (7); АВ = А — (А — В); (7,) (А, + А,) — (В1 — В,) с: (Аг — В1) + (В, — А,); (8) А+ В =(А — В) + ( — А) + АВ (8~) оо й= 1нп ф„= ~~ 5„, л оо (11) которую можем также написать в виде В=- 11ш В„=Юг+ ~„(йалг — Ва). л оо а 1 (12) Перейдем -теперь к установлению понятия монотонной последовательности множеств и пределз.' Если для бесконечной последовательности множеств 5ь 5„ ...
мы имеем Вг~йа~йзс- " (9) то будем говорить, что эта последовательность множеств есть возрастающая последовательность. Убывающая последовательность множеств определяется условием Вг -э Вя '-э йа -э... (10) В случае (9) назовем п редел ом множеств 5„такое множество 5,.элементами 'которого являются элементы, принадлежащие по крайней мере одному из 5„. При этом будем писать $=1пп гз„. Отметим, что если в слул оо чае (9) элемент х принадлежит множеству ф», то он принадлежит и всем множествам 5„при п)7а.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
