1610915356-5872c4d4ad41802c73f2f3fcece03aba (824746), страница 25
Текст из файла (страница 25)
промежуток, который получзется из ЬРЧ путем удаления границы Ь~ю. В силу процесса расширения а с.—.. О. Для доказательства измеримости Ь остается показать, что ) Π— А ~о ( а. 199 изивяимыв множвстВА 0 — В с:,~>, (΄— В„) ь Пользуясь теоремами 1 и 3, получаем ~ Π— В! и ~ ! '5'„(Оь — В„) ~о ~ ~! 0„— В ! а или в силу ( Оь Вь ~Π— В~о( что и доказывает измеримость В. Мы переходим сейчас к доказательству изиеримости замкнутых множеств. Предварительно докажем одну лемму. Лемма. Если расстояние между двумя множествами В, и В, выражается положительным числом, то (В,+Вя)о=~В1~о+~Вя!о. Пусть й — положительное расстояние между множеством В, и В,. Для любого заданного положительного а существует такое покрытие 8 множества В1+ Вм что а(Ь') ( ~Вь+ Вя !и+' (35) Мы имеем Ос: 111 и, в силу теоремы 1, имеем ~ Π— Ь(о~)ды1 — Ь)о.
Но Ь~ ~ — Ь есть элементарная фигура, и, в силу теоремы 2, имеем ~йм' — Ь!о=0(д" — Ь)(ь, т. е. )Π— Ь!ю -.В, что и требовалось доказать. Мера Ь, равная внешней мере Ь, совпадает с 0(Ь), ибо Ь вЂ” частный случай элементарной фигуры. Теорема 7. Понятие множества меры нуль, т. е.
множества с внешней мерой, равной нулю, совпадает с понятием измеримого множества, мера которого равна нулю. Если (В)о=О, то, согласно теореме 4, существует такое открытое множество О, что для любого заданного положительного ь: Вс: О и )0)о -ь, а потому, в силу теоремы 1, тем более (Π— В)о(а, т. е.
В измеримо. Мера В равна ее внешней мере, т. е. равна нулю. Наоборот, если  — измеримое множество и его мера равна нулю, то, в силу определения меры, и внешняя мера В равна нулю, и тем самым теорема доказана. Теорема 8. Сумма конечного или счетного числа измеримым множеств есть измеримое множество. Пусть „— измеримые множества,  — их суь1ма, В= 7 В„, и ь а — заданное положительное число. Согласно определению изиеримого множества существуют такие открытые множества О„, что В„с: О„и ~ ΄— В„~( — „-.
Сумма открытых множеств О„есть некоторое открытое множество О, Причем очевидно  — 0 и, в силу (б) из (30), имеем ФУНКЦИИ МНОЖЕСТИ И ИНТЕГРАЛ ЛЕВРГА (Зб Каждый нз промежутков, входящий в Я, разбиваем на конечное число промежутков так, чтобы диагонали всех полученных проме- жутков оказались ( й. При этом все промежутки, входящие в Ь', разобьются на три класса: к первому классу отойдут те промежутки, которые покрывают только точки В„ ко второму те, которые покры- вают только точки В,, и, наконец, к третьему те, которые не покры- вают ни точек Й„ ни точек Й,. Промежутков, которые бы покрывзли и точки Й,, и точки Й„ не будет вовсе. Промежутки третьего класса мы можем просто выбросить из разбиения 8.
При этом сумма в(Я) может только уменьшиться, и неравенство (35) сохранит свою силу. Таким образом, можем считать, что покрытие Я распадается на по- крьжия 3, и Ям причем промежутки Я, покрывают В, и не имеют общих точек с В„ а промежутки Я, покрывают Й, и не имеют общих точек с Й,. Мы имеем в(Я)=в(8г)+ а(Я,) и, в силу (35), в (ЗД + в (Я~) ~ ! В + В ! о+ ' (36) Из определения точной нижней границы вытекает ! В, !о ( в(Я) и !В,!о---в(Я»), и неравенство (36) приводит к неравенству !Й, !и+ +!Вт!о~!В»+В»!о+», откуда, ввиду произвольности а, следует Й»!о+!В»!о~!Вг+В»!о.
С другой с~арапы, теорема 3 дает ! !Вг+ В» !о ~ ! Й» !о+ ! Йг !о. Таким обРазом, полУчаем ! Й, + В, /и = =!Вг!о+,'В»!и, что н доказывает лемму, Следствие. Если Е, и Еч — два замкнутых множества без общих точек, из коглорых ио крайней мере одно ограничено, то /Е»+ Е»!о=!г'г!о+/Е»!о Если Р» (й=1, 2, ..., т) — замк- нутые ограниченные множества попарно без общих точек, то с~ т'» = гт, !г.»!и Для доказательства этого следствия достаточно и воспользоваться тем, что было сказано в [32! относительно расстоя- ния между замкнутыми множествами без обгцих точек.
Теорема й. Замкнутые множества измеримы. Предположим сначала, что Š— некоторое ограниченное замкну- тое множество, и пусть » — заданное положительное число. Согласно теореме 4 существует такое открытое множество О, что Е с: О и !О!и( !Е!и+». )»окажем, что это открытое множество О и будет удовлетворять неравенству ! Π— Е !о ( щ (37) которое входи~ в определение измеримого множества. В силу тео- ремы 3 из (33! разность Π— Е есть открытое множество, и, следо- вательно, на основании теоремы 5, ее можно представить в виде суммы счетного числа промежутков Ь„, не имеющих попарно общих точек, Π— Е= ~' йы л =! 36) измеРимые множествА фиксируя пелое пологкительное щ, рассмотрим сумму первых т слагаемых суммы (38), причем над каждым промежутком, входящим в эту сумму, произведем и-сокращение, выбрав положительное число а каким-нибудь образом.
Такии образом, получим некоторую элементарную фигуру Я! л=! Если мы замкнем каждый промежуток («) Ь, (и= 1, 2,...,гл), то написанная сумма даст нам замкнутое множество, которое совпадает очевидно с замыканием )с элементарной фигуры Й. Каждый замкнутый промежуток (л) Ь„покрывается соответствующим промежутком Ь„, входящим в состав суммы (38). Тем самым замкнутое множество Я не имеет общих точек с Е, а потому расстояние между нил!и положительно. Тем более будет положительнйм расстояние между )с и гг, и согласно лемме будем иметь ~ () 3„+ Р. = 'У () 3„+ ~Р~,.
л ! о л ! а Но, согласно (38), ~ («) Ь„+Ес: О и, следовательно, л=! ! ,'У () Д. +~Е~о ~о~о. л=! а Принимая во внимание неравенство (О~о((Е)о+л, получим отсюда ! ~, (') о„+! Р !а ~! Р !а + =- л=! о По условию, Š— ограниченное множество, и, следовательно, (Г|о есть конечное число. Последнее неравенство приводит нас к неравенству ~ (а) Ь„«=а. л ! о Но 112 ]Зб Функции множвстя и интвгвлл лвввга и предыдущее неравенство переписывзется в виде ](а) л л=! Устремляя снзчала а к нулю, а затем т к бесконечности, получим неравенство Наконец из формулы [38) и теоремы 3 следует [ 0 — Р ]о ~ ~~~, ] Ь ] о ~ ~, н=! т. е.
неравенство [37). Положим теперь, что замкнутое множество Р неограничено. Пусть 7„— замкнутый круг с центром в начале и радиусом и. Строя замкнутые ограниченные множества Р„ = Р . 7„, можем написать и измеримость Р будет непосредственно следовать из теоремы 8.
Таким образом теорема 9 доказана. Теорема 70. Если 5 — измеримое множество, гпо и дополнительное множество СВ измеримо. В силу измеримости ф существуют такие открытые множества 0„, что 5 ~ О„и ] 0„— 5 [о ( —, Построим замкнутые множества ! Р„=СО„. В силу 3 ~ О„имеем Р„с:. С3 и, кроме того, в силу [1.9) из ]30], можем написать равенство: Сф — Р„=΄— 5. Заменяя в левой части Р„ суммой всех Р„, получим к1 СЮ вЂ” У Р„с:Сй — Р„, т.
е. Соя — „1 Р„с:.0„— В, н=! и ! и, в силу ]΄— В[о( —, будем иметь 1 113 38] измвгимыз множвствл Левая час~ь написанного неравенства не зависит от и, и, устремляя и к бесконечности, придем к равенству С3 — ~ Р„=О, о из которого следует, что разность, стоящая слева, представляет собой множество $ь меры нуль. Таким образом, можем написать С5 в виде суммы измеримых множеств: л=! откуда и следует, в силу теоремы 8, измеримость 5.
Согласно определению мы устанзвливаем измеримость множества при помощи открытых мнгнкеств. В следующей теореме мы покажем, что аналогичным образом можно устанавливать измеримость множества при помощи замкнутых множеств. Теорема 1г. Для того чтобы $ было измеримым, необходимо и достаточно, чтобы для любого заданного положительного ь существовало такое замкнутое множество Р, что Р с.: 3 и ]3 — е]о(а. Измеримость 5 равносильна,измеримости Сгй, и для этого необходимо и доста~очно, чтобы для любого заданного положительного существовало такое открытое множество О, что С5 с: О и ] Π— С3 ]о ( ь.
Если положить Р = СО и принять во внимание, что, в силу (19) из [31], Π— С3=3 — СО=3 — Р и Рс:ф, то мы и получим утверждение теоремы. Теорема 12. Произведение конечного или счетного числа измеримых множеств есть измеримое множество. Разность двух измеримых множеств есть измеримое множество. Если множества 3„ измеримы, то измеримость их произведения вытекает непосредственно из формулы [3!] и теорем 1О и 8.
Если А и В измеримы, то измеримость их разности непосредственно следует из формулы [31]; А — В= А СВ и доказзнной только что измеримости произведения. Теорема 13. Мера суммы конечного или счетного числа измеримых множеств попарно без общих точек равна сумме мер слагаемых множеств. Пусть 3ь — измеримые множества попарно без общих точек.
Измеримость их суммы следует из теоремы 8. Положим сначала, что каждое из множеств ф„ограничено. Согласно теореме 11 для любого [Зб ФУНКЦИИ МНОЖЕСТВ И ИНТЕГРЛЛ ЛЕБЕГЛ !В.~~~ ~ Р. ~~+у. С другой стороны, рассматривая первые !и из множеств Рл, будем иметь и, следовательно, ~ ТС„ ( ~ гя„ а л о лс '~ Р„-~В. К конечной сумме замкнутых множеств Р„попарно без общих точек мы можем применить доказанную выше лемму и, таким образом, получим, пользуясь еще неравенством ( Рл '!о ) ) Йл !о — -„-, Рассмотрим нзиболее сложный случзй, когда число множеств ф„ бесконечно.
Увеличивая в последнем неравенстве беспредельно число т, будем иметь СО СО ~'. й. ~~ !й.!о — з, — о л=! или, в силу производности з, ~ В„) ~~! (В„!Сл л-! О Сравнивая это неравенство с неравенством (32), мы и приходим к равенству СО СО (39) которое и доказывает теорему. Принимая во внимание измеримость $„ и их суммы, можем записать последнюю формулу в виде 6(В!+ Фз+ йз+ ) = 0 (й!) + 6 ®з)+ 0 ®з)+ (40) Рассмотрим теперь тот случай, когда среди множеств ф„ имеются неогРаниченные множества. ПУсть Тл — замкнУтый кРУг с центРом в начале и радиусом л. Рассмотрим множества Рлтл = ОРОССТб Овзлл = РООСС (Тз Т!)' ОРСО' = Йл (Тз Тз)! ° ° заданного положительного з существуют такие замкнутые множества сю что Рлс:.В„и (5„— Г„!о~ 2— ,, причем множества Р„, очевидно, — ограниченные множества, не имеющие попарно общих точек. Из формулы 5„=т'„+(5,— Гл) непосредственно следует 11б ЗЯ измвяимыз множзстВА СО Вл= »У' В)») »-) и, в силу докзззнного выше, будем иметь 1 В.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
