1610915356-5872c4d4ad41802c73f2f3fcece03aba (824746), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Нетрудно видеть, что семейство множеств В есть также замкнутое тело. Действительно, если 3> и 3, принадлежат В, то они принздлежзт всем укззанным ззмкнутым телам Т, а потому и разность 3> — 3, входит во все Т, а тем самым и в семейство В. Аналогичным образом проверяется и второй пункт опрелеления замкнутого тела. Таким образом, з ам к ну то е те по В есть общая часть всех замкнутых тел, содержащих всевозможные замкнутые промежутки.
Это замкнутое тело В входит, очевидно, и в сос~ав каждого То, ибо это последнее содержит также все замкнутые промежутки. Всякое открыгое множество можно, как мы видели [33], представить в виде суммы счетного числа замкнутых промежутков, и, таким образом, за м к н утое тело В содержит все открытые множества. Любое ззмкнутое множество Е является дополнением к некоторому открытому множеству О, т. е. может быть предстзвлено в виде рззности всей плоскости (открытое множество) и множества О, з потому тело В содержит и все ззмкнутые множествз.
Тело множеств В было впервые рассмотрено еще до Лебега фрзнцузским математиком Борелем. Множества, принадлежащие телу В, называют иногда множествами измеримыми В или множествами, измеримыми по Борелю. Тело В может быть определено иначе, чем это мы сделали выше, а именно следующим образом: мы считаем множество ф принадлежащим телу В, если оно может быть получено из замкнутых промежутков при помощи следующих двух операций, примененных конечное или счетное число раз: 1) построение суммы конечного или счетного числа множеств, построенных уже раньше; 2) построение произведения конечного или счетного числа множеств, построенных уже раньше.
Это определение требует некоторых разъяснений, на которых мы не останавливаемся. Мы не будем также приводить доказательство того, что новое определение тела В равносильно прежнему. Лака>кем в заключение настоящего параграфа две прос~ые теоремы. Теорема 1. Если ф — любое множество пз 1.о, то существуют таких два множества ф> и фь принадлежащих телу В (и тем самым телу 1.о), что ф> с:.
3 ~ фя и 0 ($>) = 0 (3,) = 0 (3). (55) Мы знаем, что для множества 3, принадлежащего Т.о, существуют такие замкнутые множества Е„и открытые множества О„, что р„~йс:.О„; 0(3 — Тл)( —; 0(΄— 3)( —. (56) 41[ 125 СЛУЧАИ ОДНОГО ПВРВМВННОГО Множества Рл н О„ принадлежзт телу В. Следовзтельно, в силу определения замкнутого тела, можно утверждать, что телу В принадлежат сумма множеств Р„ и произведение множеств О„: 5,= 'У' Р„; 5,=ЦО„. (57) л=! л=! Принимая во внимание, что Е'„с:.5с: О„, мы можем утверждать, что ф! ~ 5 с: йь Кроме того, $ — 5! с: 5 — Р„и 5ь — ф с: 0„— $ ! 1 и, следовательно, 0 $ — $!) ( — и О ®я — ф) ( — при любом п.
п Левая часть не зависит от п, а потому последнее неравенство приводит к равенству (55), и теорема доказана. Ее можно формулировать следующим образом: всякое множество 5 из (.о может быть заключено между множествами из В, имеющими ту же меру, что и заданное множество 5. Выделим из тела В некоторое семейство множеств, которыми мы будем пользовзться в дзльненшем. Определение. Множество 5 называется множеством Оь, если оно есть открь>тое множество или произведение счетного числа открытых множеств. Отметим прежде всего, что! как мы упоминали уже выше [32), произведение счетного числа открытых множеств может и не быть открытым множеством.
Из определения множеств Оь непосредственно следует, что произведение конечного или счетного числа множеств О, есть также множество Ом Покажем, что всякий конечный замкнутыи промежуток 5[а(х~Ь; с(у(а>] есть множество О,. >1еиствительно, мы можем предстзвить его кзк произведение открытых промежутков 5„(а — я„( х ( Ь+ ь„; с — а„(у (с(+ а„), где а„ есть последовательность положительных чисел, стремящихся к нулю. Нетрудно покззать, что всякое замкнутое множество есть множество О,. В дальнейшем это нам не понадобится. Из доказательства приведенной выше теоремы непосредственно вытекает следую>цее утверждение: Теорема 2.
Всякое излгеримое множество 5 может бв>ть покрыто множеством Н типа О„таким, что 0(сч>)=0(Н). Отметим еще, что если $ принадлежит замкну!пиму промежутку 5, то покрывающее множество Н можно выбрать так, чтобы и оно принадлежало 5. Лействителыю, если Н есть множество Оь, покрывзюпгее 5 и удовлетворяющее условию 0(5)=О(Н), то множество Н'=На будет также множеством 0„, покрываю>цим 5 и удовлетворяющим условию 0®)=О(Н'), причем Н', очевидно, принадлежит а.
41. Случай одного переменного. Теория измерения имеет более простую форму в случае одного переменного. Неотрицательная, аддитивная и нормзльная функция полуоткрытых промежутков 126 [42 Функции множеств и интеГРАл левеГА своди~ся, как мы знаем, к неубывающей функции точки г (х): 0 (д) = 0 ((а, Ь]) = е(Ь+ О) — е(а+ О). Исходя от этой функции 0(д), как это указано выше, строим функцию множеств 0(5), определенную для всех множеств, принадлежащих Ео.
Значение 0(5) для множества 2, принадлежащего ЛО, называют иногда изменением е.(х) на множестве 2. Если е-(х)=х, то мы получаем множества, измеримые по Лебегу, и 0(Я)— обобщение понятия длины для таких множеств. Если е.(х) определена только в некотором промежутке, то ее можно распространить, как это указывали раньше, на всю ось. Введем вместо х новую переменную г по формуле (58) (= у(х), причем эту замену переменных надо понимать так. Если в некоторой точке х функция е(х) непрерывна, то соответствующее значение т определяется формулой (58).
Если же х есть точка разрыва непрерывности, то такому значению х приводится в соответствие замкнутый промежуток [е.(х — О), 8 (х + О)] переменной 1. При таком соответствии полуоткрытый промежуток (а, Ь] переменной х переходит в полуоткрытый промежуток (е(а+О), е(Ь+О)] переменной 1, причем в случае 8(Ь+0),=8(а+О) последний полуоткрытый промежуток вырождается в точку. Если е„— некоторые множества оси х и е,— соо~ветствующие множества оси т, то люжно показать, что внешняя мера е„ относительно е(х) равна внешней мере ео понимаемой в смысле Лебега, т.
е. вычисляемой при условии, что в основу принята длина полуоткрытого промежутка. Элементарной фигурой в случае одного переменного будет сумма конечного числа полуоткрытых промежутков попарно без общих точек и, можно без труда показать, что если е, — измеримое относительно е(х) множество, то и е, измеримо, по Лебегу, причем мера е„ относительно е(х) равна лебеговой мере множествз ен 2 2. Измеримые функции 42. Определение измеримых функций. Задзчей настоящего и следующих параграфов будет построение некоторого класса функций и исследование свойств этих функций. В дальнейшем на основе этого класса функций будет дано общее определение интеграла.
При изложении мы будем считать, что функция 0(й), лежащая в основе теории измерения, каким-нибудь образом фиксирована, т. е. будем рассиатривать некоторое определенное тело Ео. Это может быть, например, тело множеств Л, измеримых по Лебегу. Пусть на измеримом множестве 5 задана функция точки ДР), принимающая вещественные значения. Эти значения могут быть как конечными, так и бесконечными, т. е. функция [(Р) может, кроме конечных значений, принимать значение (+со) или ( — со).
Введем следующее обозна- 127 421 опеедзлзнна нзывгимых Функций чение. Обозначим символом 5[Г") а] множества тех точек ф, в которых г"(Р)) а. Аналогичным образок символ 5[с"» а] обозначает множество тех точек $, в которых г (Р)»а. Если у(Р) и е(Р)— две функции, то символ 5 [с"= е] обозначает множество точек ф, в которых Р(Р)=д.(Р) и т. д. Определение. Функция Г(Р), заданнол на измерил|ам множестве сь, называется измеримой, если для любого вещественного а множества 5 [у) а]1 а Ц ( а]; ф [г') а]1 5 [г» а] измерима|. Докажем прежде всего следую|дую теорему: Теорема 1.
Для пзмерпмости множеств (1) при любом а достаточно, чтобы одно нз этих множеств было измеримо при любол| а. Множества 5[~) а] и 5[Г"(а] суть дополнительные множества, и измеримость одного из них при любом а равносильна измеримости другого. Точно так же измеримость третьего из Множеств (1) равносильна измеримости четвертого множества (1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
