1610915356-5872c4d4ad41802c73f2f3fcece03aba (824746), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Мы не останавливаемся на доказательстве эквивалентности последнего определения и того, которое было указано выше. Войдем в некоторые подробности, связанные с последним определением. Всякая непрерывная функция есть В-функция, и обычно 140 (48 ФУНКЦИИ МНОЖЕСТВ И ИНТЕГРАЛ ЛГБЕГА 8 3. Интеграл Лебега 48. Интеграл от ограниченной функции. Мы дздим сейчас обычное определение интеграла от ограниченной функции, пользуясь разбиениями на всевозможные измеримые множества, и докажем, что всякая измеримая ограниченная функция интегрируема. Пусть на измеримом множестве ф конечной меры задана ограниченная функция точки )(Р), т.
е. на 5 имеем 1,1(Р)! !( 1., где Š— некоторое положительное число. Разбиваем 5 на конечное число измеримых подмножеств 5й, не имеющих попарно общих точек: Пусть ги и Мй — точная нижняя и точная верхняя границы значений ) (Р) на фй. Составляем обычные суммы: я л ай= ~ лай В(ой) Ой= ~~~, Л4й В(ой) й-! й-! (2) говорят, что такая функция принадлежит нулевому классу. Если функция г" (Р) являешься предельной функцией для послеловательности непрерывных функций, сходящейся в каждой точке 5, причем сама функция )(Р) не является непрерывной, то говорят, что такая функция )(Р) принадлежит первому классу.
Все функции первого класса также суть В-функции. Если функция у(Р) является предельной функцией для последователы!ости функций первого класса, сходящейся в каждой точке 9, причем сама функция у(Р) не является функцией первого класса, то говорят, что )(Р) принадлежит второму классу. Все функции второго класса также суть В-функции. Аналогичным образом определяются следующие классы функций, и все функции этих классов суть В-функции.
В этом построении можно идти и дзльше. Пусть у(Р) есть предельнзя функция для последовательности функций ~„(Р), причем каждая функция ~„(Р) принадлежит некоторому классу с конечным номером, и сама функция )(Р) не принадлежит ни одному классу с конечным номером. При этом говорят, что функция у(Р) принадлежнт классу функций с трансфинитным номером йй Все функции этого клзсса суть В-функции. Дальше определяется клзсс функций с трансфинитным номером (м .1- 1) и т. д. Указанным выше методом можно получить все В-функции. Это утверждение требует дополнительных разъяснений, кзсаюшихся трансфинитных чисел, на чем мы не можем.останавливаться. Можно показать, что всякая функция у(Р), измеримая на множестве 5, измеримом В, эквивалентна на этом множестве некоторой В-функции Ф(Р).
48] 141 интвгР»л от ОГРАниченной Функции где 3 обозначает подразделение (1) множества В. Суммы в, и 8» ограничены для любых подразделений, а именно ]в,] и ! 8»( ( Е 0 (В). Пусть далее 1 — точная верхняя граница сумм в, и 1 — точная нижняя граница сумм Я» для всевозможных подразделений В на конечное число измеримых множеств.
Определение. Если)= 1, то мы говорим, что у(Р) интегрпруема ло 0(В) на множестве В, и величину интеграла считаем равной Е 1 '] Р(Р) 0(йВ). в Определенный так интеграл назовем интегралом Лебега — Стилтьеса, Если 3 есть подразделение (1) и Ь' — какое-либо другое подраз- деление В =,г„В» (3) » ! то произведением подразделений Ю назыйается подразделение, состоящее из всевозможных частичных множеств В»В,. Эти множества не имеют, очевидно, попарно общих точек. Йекоторые из них могут быть и пустыми. Подразделение (3) называется продолжением подразделения (1), если каждое множес~во В,' является частью одного ив В». Если 3, есть продолжение 3н то пишут 6»)3Р 4 Кроме сумм (2) мы составим, как и для интеграла Стилтьеса, сумму Р(Р») 0 (В»), У (4) и пусть я — наибольшая из разностей у» — у„н Определяем следующее разбиение 3 множества В на частичные измеримые множества В»..
В =В[у»~У(м)~уг]: В.=В[у» (У(х)<у»] (8) (1»=2, 3,..., л). где Р„ — некоторая точка из В». Для величин в,, Ям е», 1 и ! справедливо все сказанное в [3]. Мы укажем сейчас такую последовательность полразделений для любой ограниченной измеримой на В функции у(Р), что Я, — в, -+ О, и тем самым е, имеет определенный предел. Из этого следует, что существует интеграл 1 от ) (Р) по 0 (В), и что вм Я» н е, стремятся к 1 для упомянутой последовательности подразделений [3].
Итак, пусть имеется ограниченная функция у(Р), определенная и измеримая на В, и пусть т и М вЂ” точная нижняя и точная верхняя границы значений у(Р) на В. Разбиваем промежуток [и, М] изменения функции на части промежуточными точками у». т=уо(угСУ»(" (Уя 1(уя=М (б) 142 [48 ьгнкции множяств и интягглл лявягь Из это~о определения множеств Р» непосредственно вытекае~, что у», » т„и у» ) М» и, тзким обрззом, л л ОВ»)» ь»~!»,~', у»0(В») »=! »-! (7) и тем более » л г у„,0(5»)»ь: -! = г у» 0(й ). »=! »=! (8) Рассмотрим разность между крайними суммами: » » л '~ у„ОЕ„) — Уу,,0(В,)= '~' (у,— у,,) 0(В,). (Р) »-! »=! »=! Принимая во внимание, что у» — у» , » »1 и аддитивность 0 (5), получим п » 6» ~ у„0(р, ) — ~~~~ у,0(р ) =.»10(р), (16) »-! и, таким образом, при я-»0 написанная разность стремится к нулю.
Отсюда, в силу (7) и (8), непосредственно следует, что »=! и 8» — з, -» О. Подразделение (6) основного множества Р на частичные множества р» назовем подразделением Лебега. Оно определяется подразделением (5) промежутка [т, М) изменения функции ! (Р). Соответствующие подразделению (6) суммы, входящие в неравенства (7) и (8), назовем с у и м а м и Л е б е г а.
Из сказанного выше вытекает следующая основная теорема. Основная теорема. Ограниченная измеоимая функция 7(Р), заданная на измерпмол! множестве 5 конечной меры, интегрируелга на Р, и величина интеграла равна пределу сулгл! Лебега плп сумм е! при любом выборе точек Р» для подразделений Лебега при беспредельном пз.нельчании подразделений промежутка [т, М[ изменения функции ! (Р) на части. О~метим, что, как известно, суммы а! будут иметь тот же предел и для любых продолжений тех подразделений, о которых говорится в основной теореме.
Поскольку интеграл определяется обычным образом, как предел сумм ям он сохраняет и обычные свойства интеграла Римана и классического игпеграла Стилтьеса. К доказательству этих свойств мы и перейдем в следующем параграфе. Построенный интеграл мы назвали интегралом Лебега — Стилтьеса. Просто и н т е г р а л о м Л е б е г а назовем построенный выше иптегрзл в том частном случае, когда 0(Ь) есть площадь промежутка Ь.
49] 143 сзойстял интзггллл Мы видели, что всякзя ограниченная функция с конечным числом точек разрыва непрерывности измерима. Пусть имеется такая функция У(Р) на конечном замкнутом промежутке Ь. Мы знаем, что ~акая функция интегрируема в смысле Римана по промежутку Ь. Она, как ограниченная измеримая функция, интегрнруема и по Лебегу. Покажем, что интеграл Лебега совпадает с интегралом Римана. Действительно, чтобы получить интеграл Лебега, достаточно взять какую-либо последовательность подразделений промежутка Ь на измеримые множества, для которой сумма (4) имеет определенный предел, который н дает величину интеграла Лебега. Но раз функция интегрируема по Риману, то уже подразделения Ь на проиежутки при беспредельном измельчании частичных промежутков приводит к определенному пределу для сумм (4), и этот предел есть интеграл Римана.
Из этих рассуждений и следует совпадение интегралов Лебега и Римана. Как показал Лебег, для существования интеграла Римана по промежутку Ь необходимо и достаточно следующее: у(Р) ограничена и множество ее точек разрыва имеет лебегову меру, равную нулю [ср.
10]. Такая функция, как мы указывали выше, измерима и по Лебегу. Совпадение интегралов Лебега и Римана может быть докззано совершенно так же, как и выше. Таким обрззом, всякая функция, интегрируемая на конечном замкнутом промежутке по Риману (в собственном смысле), интегрируема и по Лебегу, причем интегралы Лебега и Римана совпадаю~. 49. Свойства интеграла. Приведем основные свойства интеграла Лебега — Стилтьеса.
Во всех следующих теоремзх считается, что $ есть измеримое множество конечной меры. 1. Если с — постоянная, то ~ сОЩ)=сО(5). (1 1) з Для любого подразделения й суммы а, и 8, имеют значение сО(ф), откуда и следует (11) [3]. 2. Если у!(Р) и уя(Р) ограничены н измеримы на 5, то [ !л (Р! ч-л !Р!! а !!в! = ] л и а иа! ч- [ л !Р! а на), ! а! Пусть 3„ и 3„ — подразделения, при которых я,„ для функции уг(Р) и а,' для Гя(Р) имеют пределом соответствующие интегралы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
