1610915356-5872c4d4ad41802c73f2f3fcece03aba (824746), страница 34
Текст из файла (страница 34)
При этом обе суммы Лебега (34), при т1-ь 0 стремятся к величине интеграла. То и относительно суммы нулю, откудз и слеа также суммы га и Яа же можно утверждать ! = ~~ У(РА) 0 (Ба) й=! (36) при любом выборе Р, из фы В случае 1=(=+Со и сумма (36) равна, очевидно, (+оп). Если у,„, Ягл и аа„стремятся к величине интеграла (случая конечного интеграла) и 3„' ) Ь„, тогда то же можно утверждать и относительно сумм аа„', 8,„' и аа„'. Отсюда непосредственно следует, что если при некотором разбиении с конечным Т1 сумма, стоящая в правой части (34), равна (+ со), тогда то же можно утверждать и относительно суммы, стоящей в левой части (34).
При этом, в силу (34,), 1=1=+со. Наоборот, если 1=+ со, то, в силу (34,), сумма, стоящая в левоп части (35), равна (+со) при любом разбиении с конечным ть а потому и сумма, стоящая в правой части (35), также равна (+со), и, в силу (34,), 1=+со. Отсюда, в силу (34), следует, что если при некотором разбиении с конечным 4 сумма Я! равна (+со), то и а, равна (+со), и при этом а, и Я! равны (+со) для любого разбиения с конечным ТР В этих случаях 1=1=+ сю. В случае конечное~и сумм мы имеем, как и в 149]: 59] янтвгглл от нгогганичвнной няотгицатвльной вгнкции 15! Основная теорема из [49] без изменения переносится на случай неограниченных неотрицательных и измеримых функций. Особо важным является тот случай, когда величина интеграла конечна.
В этом случае функция 7(Р) называется сумм ируемой на множестве ф. Из сказанного выше непосредственно вытекает, что для суммируемостн функции необходимо, чтобы множество $, = ф [)'= + со] б ы л о м н о ж е с т в о м м е р ы и у л ь. Укажем другое определение интеграла от неогрзниченной неотрицательной и измеримой функции, которое равносильно данному выше определению. Обозначим через [У(Р)]м ограниченную неотрицательную функцию, определенную следующим образом: 7 (Р), если 7 (Р) «Лг, Л! если у'(Р) ) Л! (37) Измеримость этой функции непосредственно следует из формулы 5[[7]м)а]=5[г)а] при а(Л! и 5[[У]м)а]=Л при а=-Л! где Л вЂ” пустое множество. Составим интегралы !и = ~ У !м 0 О(В).
(38) г] = ) т„0 (Е„) ) !', где сумма конечна, и суммирование распространяется на оставленные слагаемые, что указано штрихом у знака суммы. Если ть = = + со, то г"(Р) = + со во всех точках фы т. е. аде= Вон а потому 0 (5ь) = О, ибо по условию 0 (й,) = О. Соответствующее слагаемое написанной суммы считается, как мы указывали выше, равным нулю, и мы можем его не писать. Таким образом, можно считать, что во При возрастании Л! они возрастают и п р е де л э той м он от о нной переменной (конечный или бесконечный) при Л! — «+со мы н назовем интегралом от у(Р). Покажем, что это новое определение интеграла равносильно п режнему. Положим сначала, что множество ф,, на котором у(Р)= =+ со, имеет меру нуль. Величина интеграла (38) равна верхней границе !!ч сумм а[к' для функции [д]м.
Эти суммы не превосходят соответствующих сумм а, для у, и по~ому (ь «й Нам надо доказать, что монотонная переменная гм при Л!-«+ со имеет предел !. Доказываем от обратного. Пусть !м-«б(! (тем самым Р конечно). Мы можем взять такую сумму а, для у(Р), что а,)!'. Удержим в этой сумме конечное число слагаемых таким образом, чтобы и для полученной конечной суммы а; мы ниели бы з])г': [61 182 ФУНКЦИИ МНОЖЕСТВ И ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА всех слагаемых суммы (ч) все числа та конечны. Составим аналогич- ную сумму для [Ян.' в~н1=~вт!Ан>0($А) (т!м'=!п1[Ян на 5А).
Если число М больше всех чисел т„, входяших в сумму (ч) (этих чисел — конечное число), то т(н!=та и в',.!н!=в[) г'. Тем более полная сумма уан! для [Ян будет ) !', а следовательно, и 1н = енр ф~!) !', а зто прогиворечит тому, что ! ч, возрастая, стремится к !'.
Таким образом, (н -Ф 1, и лри втором определении интеграла величина интеграла оказывается той же, что и лри лерволг определении. Если 0 (Е,)) О, то при первом определении величина интеграла равна (+ со). Покажем, что то же будет и при в~ором определении. Принимая во внимание неотрицательность функции [~]н, имеем (н = ~ [г]н 0 ( (В) ~ ~[й, 0 ШИ = ДТ0 (В ), в Во ибо согласно определению [Ян =ДГ во всех точках ВФ Из неравенства 1А ) М0 (Ра) непосредственно следует 1н — ь+ ОО при М-ь+ ОО, что и требовалось доказать.
51. Свойства интеграла. Пользуясь суммами е,, мы можем доказывать некоторые свойства интеграла от неограниченной неотрицательной функции совершенно так же, кш< это делали в [49]. Кроме того, при доказательстве свойств можем пользоваться и вторым определением интеграла. Отметим еше, что если у (Р) — ограниченная неотрицательная функция, то [у(Р)]н совпадает с У(Р) при достаточно больших ДГ, и новое определение интеграла совпадае~ с прежним из [48].
Переходим к доказательству свойств интеграла. Как и в ]49], мы считаем, что $ — измеримое множество конечной меры. 1. Ес ли уа(Р)(а=1, 2,...,т) — сумм ируе мы е функции, то и их линейная комбинация с постоянными положительными коэффициентами есть суммируемая функция, и имеет место формула (13). Доказательство то же, что и в [49]. 2. Если )(Р) суммируема на 5, то она суммируема и на любой измеримой части 5' множества Р. Для [у(Р)]н, з силу неотрицательности и свойства 9 из [49], имеем [У(Р) ]н 0 (г(В) ~ ~ [У(Р)]н 0ИВ). 51[ 153 свойства интвггалл Переходя к пределу, получим ~.У(Р) О ИВ) -« ~У(Р) а((В), (39) и если правая часть конечна, то левая и подавно конечна.
3. Если у(Р) суммируема на В и множество В разбито на конечное или счетное число измеримых множеств, то имеет место формула (20). Рассмотрим случаи бесконечного числа множеств В„. Лля ограниченной функпин [Ям имеем СО 1 [~.а~")= ~ У [.а~В), а й=! ай (40) откуда следует СО ~ И а 0(В),У; ~У(Р)а((В). $ й- !вй (41) Беспредельно увеличивая М, получаем СО ~ У(Р) О 0(В) -,'5', ~ У(Р)а(®. а й=! ай (42) ~И а((В) ~ ~И.П((В). а й=! ай Беспредельно увеличивая И, в пределе получим У(Р) а 0(В) » ~ ~ У(Р)а 0(В). й=! ай Увеличивая теперь беспредельно лг, мы и приходим к неравенству $У(Р)а((В) "~~ ~УР»а((В), а й=! ай противоположному неравенству (42). Локажем противоположное неравенство.
Ввиду неотрицательности Г(Р) можеи написать, в силу (40), для любого конечного значения т 154 Функции множзств и ингвгглл лвввгх 4. Если й разбито нз конечное или счетное число измеримых множеств фы функция 7(Р) суммируемз на каждом йа и ряд 'У ~У(Р)а(Щ ь=! аа (43) с неотрицательными слагаемыми имеет конечную сумму (сходится), то у(Р) суммируема на 5, и имеет место формула (20). Лля функции [Дм мы имеем, как и выше, формулу (40) и неравенство (4 !), правая часть которого представляет собой конечное число.
Из этого неравенства непосредственно следует, что интегралы (38) имеют конечный предел, т. е. 7(Р) суммируема на 5. После этого формула (20) непосредственно следует из предыдущего свойства. 5. Если У(Р) суммируема на 5, то нри любом заданном а)0 существует такое т))0, что '[ у'(Р) 0 (сф)» а г (44) при ес:$ и 6(е)»и.
Мы можем фиксировать такое )тг, что ~ У вЂ” [У'[м[П0(В)» —, Ч~ИУ). При этом, в силу (39), для любого ес:5 будет [У вЂ” [.у)м [ П (г(й)» —, 'г е ~ У() (Ф)» ~ [Лм П(Ф) + —,' и при 0 (е)» :- мы получим требуемое неравенство. Последние два свойства показывают, что интеграл от неограниченной неотрицательной функции обладает, как и интеграл от ограниченной функции, свойствами полной аддитивности и абсолютной непрерывности. 6.
Если 5 есть множество меры нуль, то ингеграл от у(Р) равен нулю. Локазательство то же, что и в [49[. 7. Интегралы эквивалентных нз 5 функций рзвны. 8. Если интеграл от )(Р) равен нулю, то эта функция Эквивалентна нулю, 52[ 155 ФУНКЦИИ ЛЮБОГО ЗНАКА 9. Если г",(Р)(у,(Р) на $ и г",(Р) суммируема, то и У,(Р) суммируема и имеет место неравенство УУ) 0(б5)== $~,(Р) 0(б5).
(45) 10. Если ма(Р) — п ос лед овательн ость не от рипа тельных сум мир уемых на ффункций и м„(Р) 0 (Г(5) -э 0 при л -Ф со, в ~ м„а (Р)0(Г(5)) ~ м„„(Р)0(Г(ф))50(ф„)~Ы, а Вя„ откуда следует, что интеграл, стоящий слева, не -+ О, а это про. тиворечит условию. Переходии теперь к определению интегрзлз Лебегз — Стилтьеса для неограниченной функции, которзя может менять знзк. 1(ля отрицзтельных (неположительных) функций мы можем определить интеграл, как и выше. 52. Функция любого знаки. Пусть на измеримои множестве $ конечной меры задана измеримая вещественная функция у(Р), которая может принимать значения обоих знаков.
Введем так называемые положительную и отрицательную части функции г(Р) 7" (Р), если ) (Р))0; О, если 7"(Р)(0; — у(Р), если у(Р)(0; Г(р) = О, если 7" (Р))0. (46) Иначе это определение можем написать в виде У'(Р)= -.,' [[У(р)[ +У(Р)!; 7-(Р) = -2-[[ЛРН -У(РН (46,) то м„(Р)-ФО по мере на $. Доказательство свойств 7, 8 и 9 то же, что и в [49]. Неравенство (4О) имеем право писать для [Ям и [Ям и, переходя к пределу при дг †« со, получаем (45). Свойство 1О доказываем от обратного. Если м„(Р) не -ь 0 по мере, то существует такое 8 ) О, что 0($„) не -ФО, где 5„=5[и„(Р))Ь[.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
