1610915356-5872c4d4ad41802c73f2f3fcece03aba (824746), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Для подразделения 3„" = й„я„' суммы я," как для уг(Р), так и для уя(Р) имеют пределом соответствующие интегралы, и (12) получается непосредственно на основании теоремы о пределе суммы. В дальнейшем [49 144 ФУНКЦИИ МНОЖЕСТВ И ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА мы не будем оговаривать измеримости и ограниченности функций. Р ~ АУ, ГД(Р)0(аВ= У ся ~УА(Р)0(®.
(18) в й=! А-1 Вынесение постоянного множителя зз знзк интегралз непосредственно следует из возможности вынесения этого множителя за скобку в суммзх а, . Кроме того, надо несколько рзз применить своиство 2. 4. Если у(Р))0 на $, то ~У(Р) 0((5) ~О. (14) Все суммы а, неотрицательны. 5. Если Уг(Р)'=-Уа(Р), то ~Л(Р) 0 ИВ) ~Л(Р) 0(Ю). (15) в з Достаточно применить 4 к рззности У;(Р) — у,(Р) и воспользоваться 3. 6. (! 6) Пля доказательства достаточно взять произведение разбиений (8) для у и )у~ и написать аналогичное неравенство для сумм а,. 7. Если а(~(Р)(Ь на $, то а0(Я)( ~ у(Р)0(г(ф)(Ь0(5) з непосредственно вытекает из 5 и 1.
8. Е с л и ) у(Р) ( ( Л, т о 1.1"(Р) 0((в) «к,о®. (18) в $1(Р)0(ат)= ~У(Р)0((5)+ ~У(Р)0((Р. (19) 1(ля доказательства достаточно взять подразделения (8) множеств ф' и й", составить а, для этих подразделений и взять их Из условия следует, что — 7.(ДР)(+7. и неравенство (18) является следствием свойства 7. 9. Е с л и $ = $'+ 5", где $' и йа и з м е р и м ы и б е з о б гц и х точек, то 145 49) СВОЙСТВА ИНТЕГРАЛА ~ У(Р) 0(йе) =~ ~ У(Р)0(йР).
В » в (20) 1(ля конечного числа слагаемых формула непосредственно следует из многократного применения свойства 9. Рассмотрим случаи бесконечного числа множеств 9». Пусть ',У(Р)! ( Е.Мы можем написать $=$,+$»+...+$„+Й„, где Й„=ф — (В,+фа+...+$„) есть очевидно исчезающая последовательность множеств, и, следовательно, 0(йл)-э О 137). Применяя свойство для конечного числа слагаемых, получим л 1жлль)= й (глянь)-фили»).
оч з » л Для последнего интегрзла имеем оценку ~ У(Р) 0(йй) (ЕО()т„), и„' и формула (21), в силу 0 ()с„) -ь О, в пределе даст (20). Локазанное свойство называют обычно полной аддитивностью интег р а л а. 11. При любом заданном я)О существует такое т)) О, что ~ у(Р) 0 (й$) (я, (22) еслсс ес: 9 и 0(е) ~»1. Это свойство непосредственно следует из оценки ! ~ у(Р) 0(йй) ~ ( Е0(е). е Оно назывзется обычно абсолютной непрерывностью интегр ла. 12. Если  — множество меры нуль, т. е. 0(5)=О, то длн любой ограниченной на 5-функции у(Р) 0(йф) =О.
Функция у(Р) измерима на $ [421, и для любого подразделения суммы в, и Яь равны нулю. сумму. Эта последняя суммз будет иметь определенный предел, чем и будет доказана формула (19). 10. Если $ разбита на конечное или счетное число измеримых множеств $», то 146 Функции множеств и интсгвлл лвзггл 13. Если у (Р) и в(Р) эквивалентны на ф, то ~ У(Р) 0 «(В) =- ~ а(Р) 0(Ф). (23) [ у ~Р) О ~н' - ) е (Р) О ис)= О: л $ У(Р)0«®= ~д(Р)0«®, сложение которых и дает (23). 14. Если У(Р)~0 на $ и ~У(Р)0(ЫВ)=О, (24) то у(Р) эквивалентна нулю.
Нам надо доказать, что мера множества 5[У)0[ равна нулю. Это множество можно представить в виде суммы множеств Ви)б[=1В~У) Я, е=! и если его мера положительна, то положительной будет и мера по крайней мере одного из слагаемых множеств. Пусть, например, мера 1 множества В=5~ У) — ~ положительна. Разбиваем интеграл на два лц слагаемых: ~ 1(Р)0(Ф)= ~3У(Р)0(с(Е)+ ~ У(Р)0(с(ф). (23) з в з-в В силу У~О второе слагаемое иеотрицзтельно. На множестве В 1 1 мы имеем у) —, и, следовательно, первое слагаемое ) — 0(В), лч ' Ля Таким образом, в силу 0(В)) О, левая часть формулы положительна, что противоречит (24).
15. Если у„(Р) — последовательность функций, и з мер и м ы х н а $ и р а в н о и е р н о о г р а н и ч е н н ы х, т. е. [у„(Р) [ ~ 7., где Š†определенн положительное число (не ззвн- Пусть А та часть ф, где Уэ'е.. Это множество А, по условию, есть множество меры нуль. Нз множестве ф'=$ — А функции г"(Р) и д(Р) совпадают. Таким образом, получаем два равенства: 147 сВОЙстВА ннтвгпллл 1ип ~ ~„(Р) 0 (г(ф) = ~ У(Р) 0 (г($). в ьа (26) Предельная функция У(Р) почги везде на й удовлетворяет неравенству !ДР) !(Л.
Переходя, если надо, к эквивалентной функции, можем считать, что указанное неравенство удовлетворяется везде на $. Интеграл от измеримой и ограниченной функции 7"(Р) на $ имеет смысл. Составим интеграл от разности 7"(Р) †„(Р) н применим к нему свойство 6: (аале — г лаана~/~) ~пн — гр»~акв. пп Пусть а — заданное положительное число н б„множество тех точек $, в которых !7(Р) — 7"„(Р)!)а.
В силу теоремы 6 из [44), 0 ®„) -ь О. В точках множества (5 — $„) выполняется неравенство !7(Р) — г"„(Р)!(а. Кроме того, в любой точке Р из ф имеем !У(Р) — У. (Р) ! = !У(Р) !+ !У. (Р) ! ~ 27.. Интеграл, стоящий в правой части (27), разобьем на два: ~ !ЛР) — У. (Р) !0 ИВ) = = ~ !У(Р) — Ув(Р)!0(Ф)+ ~ !У(Р) — У„(Р)!0!(Ф). а» Вя Отсюда в силу сказанного выще, следует ~ !У(Р) — У.(Р)!0ОМ)==27.0(6„)+.0(Р.— В„), илн, тем более, ~ !У(Р) — У„(Р) ! 0 (г(У) ~ 27.0(В„)+ а 0(В). Из 0 (5„) -ь О следует далее, что существует такое №, что 0(5„)( а при п)№ н таким образом ~ ! У(Р) — У„(Р) ! 0 (г($) ( (2Е + 0 ($)! а прн п ) № В сящее от и) и эта последовательность почти везде на й стремится к предельной функции г"(Р), то 148 [66 ФУНКЦИИ МНОЖЕСТВ И ИНТЕГРАЛ ЛЕБВГА Сравнивая с (27), получаем '] ~(Р) 0 (гГВ) — ] у"„(Р) 0 (г(й) ( [28 + 0 (й)] а при л ) И, откуда, в силу произвольности а, и следует (26).
Отметим, что для доказательства (26) достаточно предположить, что [у„(Р)[( 7. лишь почти везде на $. Переходя к эквивалентным функциям, если это необходимо, можем считать, что указанное неравенство соблюдается везде на 5. Локазанное свойство устанавливает возможность предельного перехода под знаком интеграла при единственном предположении ограниченности 7"„(Р) по абсолютной величине, независимо от значка л. Аналогичное свойство для интеграла Стилтьеса было нами указано в [11].
Оно является непосредственным следствием доказанной теоремы, поскольку при непрерывности 7"„(Р) и у(Р) интеграл Лебега — Стилтьеса сводится к интегралу Стилтьеса. Отме~им, что при формулировке свойства 15 можно заменить сходимость 7'„(Р) к 7(Р) почти везде сходимостью по мере. Локазательство в существенном остается тем же. 16. Если на множестве у(Р) имеем лгч у(Р)(М, то функция д (у) = 0 ® [т ( у(Р) (у]) есть возрастающая функция у, и интеграл Лебега— Стилтьеса сводится к интегралу Стилтьеса согласно следующей формуле: *] У(Р) 0 (г19 = '] у 18' (у).
з и А(ля того, чтобы убедиться в этом, достаточно заметить, что суммы Лебега (8) суть обычные суммы г, и Я, для интеграла Стилтьеса, стоящего в правой части (28). Лля случая интеграла Лебега, т. е. для того случая, когда 0(Ь) есть площадь промежутка, интеграл часто обозначаю~ следующим образом: ~ '] г'(х, у) Ыхг(у. Лля случая прямой линни и трехмерного пространства пользуются аналогичныи образом следующими обозначениями для интеграла Лебега ~ у(х)г(у и ~ у(х, у, »)г(хг(у д». В 60. Интеграл от неограниченной неотрицательной функции. Определим теперь интегрзл для того случая, когда 7'(Р) есть неограниченнаяя и неотрицательная измеримая функция 50] интвгвхл от нвогглничвнной пвотгицлтвльной втнкции 149 (30) и, тем более СО )0(й.,)+ У У О® )~1~1~(+ )0(ма)+ из измеримом множестве ф конечной меры.
В данном случае будем разбивать $ не только на конечное, но и на счетное число измеримых подмножеств фа. В остальном построение интеграла будет совершенно таким же, что и для случая ограниченной функции. Пусть имеется некоторое разбиение фа: в='~ в,. (29) Строим соответствующие ему суммы а, и Яа: г, = ~ гла 0 (йа); 8а = ~~~ Ма 0 (гав). В данном случае будем иметь бесконечные ряды с неотрицательными слагаемыми, и некоторые из чисел гль и М„ могут равняться (+ со). Если для какого-либо слагаемого 0 (5а) = О, то соотвечствующес слагаемое мы считасм равным нулю и в том слу гас, когда первый множитель та или Мд равен (+со).
Суммы рядов (30) не зависят от порядкз слагаемых [1; 134]. Отметим еще, что если взять конечное разбиение 6, то в сумме 8, по крайней мере,.одно из чисел Ма будет равно + сю в силу неограниченности у (Р). Суммы а, и 8, могут принимать и бесконечные значения. Они имеют те же свойства, что и конечные суммы а, и Ям которыми мы пользовзлись раньше. Пусть, как и раньше, ! — точная верхняя граница г и !— точная нижняя граница Ям Эти числа могут равняться и (+ оо). Мы покажем, как и для случая ограничешюй функции, что 1=!. Разбиваем множество $ на части следующим образом: выделяем из него сперва то множество 5м на котором !(Р)=+со, если такое множество есть, а оставшееся множество разбиваем на множества $„ следующим образом: подразделяем промежуток [О, + со) на части 9 =уа (уг ч уя С ° .
и строим множества В =В[У ~.у(У]; В =В[У (.у~Уа] (31) Мы имеем очевидно татмуа ~ Масуд и (-[- )0(й,)[- ~Уя,0(й )(з,~Я,~(+ )0(мя)+ а=! 159 150 ФУНКНИИ МНОЖЕСТВ И ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА Если 0 (Е,)) О, то, очевидно, ! =1=+ со. Положим теперь, что 0(фа)=0. Прн этом неравенства (32) и (33) перепишутся в виде ~ Уа !0(5„)~а, -Ва~ э УАО®ь); й=! а=! (34) (340 Будем предполагать, что разбиение промежутка 10, оо) таково, что разности (уа — уа,) (4=1, 2, ...) ограничены. Пусть т) — их точнаЯ веРхнЯЯ гРаницз. ПРинимаЯ во внимание, что Уа (Уа ! + т), можем написать ~~) уа 0 (9 ) ~ ~ у„О (ВА) + ч 0 ®). й=! й=! (35) 0( ~ УА О(фа) — 1! У», О(ЕА) ~т!0($), й-! л=! и при и -ь 0 написанная разность стремится к дует г=!.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
