1610915356-5872c4d4ad41802c73f2f3fcece03aba (824746), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Стоящий слева интеграл имеет для любого вещественного и неотрицательное значение. Следовательно, и трехчлен, стоящий справа, также обладает этим свойством. Для этого трехчлена мы должны иметь Ь' = ас, что и приводит нас к неравенству (67). Отметим, что коэффициент а в указанном трехчлене наверное положителен, так как функция у не эквивалентна нулю. Следствие. Если УЕ ум то очевидно и [У'[ Е Ея и, пРедставлЯЯ [7[ в виде произведения ~У[=)Р! 1, мы получим следующее нера'- венство: ~у0(,75) ~ ~ )у[0(г(5)( ~/ $7'0(г75).0Я. (68) Теорема 4. Если 7" и и ~ ум то имеет лгесгпо неравенство и свойств 1 и 1О из [52[.
Отметим, что здесь и во всем дальнейшем мы подразумеваем в е ш е с т в е н н ы е функции. Теорема 2. Если 7(Р) и п(Р) С ум то су(Р) и 1(Р)+д(Р) также принадлежат Е, Утверждение относительно сг"(Р) очевидно, а для 7(Р) + а(Р) оно вытекает из формулы (7" + д)Я = г"'+ 2 ф+ и' 168 [86 эвикции множгств и интвгглл лгввгл Из неравенства (67) получаем ) та а (аь) ~ Уа~ са иь~ У [ а а (аьр Умножаем обе части этого неравенства на 2 и прибавляем к обеим частям полученного неравенства интеграл от г"' и интеграл от йа.
Полученное неравенство У"0 (йВ)+ 2 ~ Фй0(йВ) -(- ~ д"0 (ИВ)- ( ~ У'0(йф)+2 $/ ~ У'0 (йй) ф ~ А'0 Щ) + ~ йэ0(Ф) может быть записано в виде ) оьага(ав) [)с)саман-У) ааль~1. 56. Сходимость в среднем. Мы введем сейчас новое понятие сходимости в классе у и Определение. Говорят, что последовительность функций Г„(Р) из Еа сходится в среднем к функции у(Р) пз А, илл просто сходится в Е, к функции 7(Р), есла Вш ~ [У(Р) — У„(Р)1а0(йР) =0.
(70) Отметим, прежде всего, что если мы заменим Г(Р) эквивалентной ей функцией е(Р), то интеграл, входящий в формулу (70), не изменится, и функция я(Р) будет также пределом в среднем для 1'„(Р). В дальнейшем мы будет отождествлять эквивалентные функции, т. е. будем считать эк в и в алентные функции, принадлежащие ум за одну и ту же функцию. Локажем теперь единственность предела, т. е. докажем следующую теорему: Теорема 5. Если последовительность ~„(Р) из Еа сходится в Ля к двум функциям у(Р) и е (Р), то этп функции эквивалентны. Напишем очевидную формулу У вЂ” й=Ч вЂ” У.)+Ч.— к) что и приводит нас непосредственно к неравенству (69).
Отметим еще, что е с л и ДР) Г Ем то, в силу суммируемости )я (Р), функция у(Р) почти везде на ф принимает конечные значения. 169 сходимость в сгвднзм и применим к правой части неравенство (69) При и — «со правая часть стреми~ся к нулю, а левая не зависит от и, и, следовательно, имеем В силу свойства 8 из [62[, отсюда следует, что разность 7 — я эквивалентна нулю, и тем самым функции 7' и я эквивалентны. Показанная теорема устанавливает единственность предела У„(Р) в (м но, конечно, не всякая последовательность функций ил~еет предел в среднем. Отметим, что из сходнмости почти везде не следует сходимость в среднем и из сходимости в среднем ме следует сходимость почти везде. Локажем в связи с этим теорему.
Теорема 6. Если последовательность 7'„(Р) из Ц стремится к 7 (Р) в среднем на $, то пз нее можно выделить иодлоследовательность Уьь(Р), которая сходится почти везде к 7"(Р) на Рэ. Из (70) следуе~, в силу свойства !О из [61[, что уь(Р)«7(Р) по мере на Р, н теорема 6 есть следствие теоремы 7 из [44). Следствие. Если )'„(Р) стремится в среднем к 7" (Р) и стремится лочти везде на Р к о(Р), то о(Р) и У(Р) эквивалентны на Р.
Если У„(Р)«ч(Р) почти везде, то тем более уьь(Р)-«~1(Р) почти везде. Но, как мы видели, 7«ь(Р) — «7" (Р) почти везде, откупа и следует, что ь (Р) и 7(Р) эквивалентны. 1(ля сходимости в среднем можно установить необходимое и достзточное условие, анзлогичное условию Коши существования предела для числовых последовательностей [1; 36[.
Предварительно введем новое определение. Определение. Говорят, что последовательность 7"„(Р) функций из (.я сходится в среднем в себе, если для любого заданного положительного а существует такое !т7, что (7! ) (ӄ— У„,)чО(й6)(а при и и лг)М. Теорема 7. Для того члгобьг последовательность ~„'(Р) сходилась в среднем к некоторой функции из 7.м необходилсо, чтобы она сходилась в среднем в себе. Лани, что последователыюсть сходится в среднем к некоторой функции ) (Р). Представим разность 7'„(Р) — У„,(Р) в*виде 156 170 ФУНКЦИИ МНОЖЕСТВ И ИНТВГРЬЛ ЛЕВГГЛ и применим неравенство (69).
Пусть  — заданное положительное число. В силу сходимости в среднем к 7 (Р) существует такое М, что прн и и т) 7тГ интегралы, стоящие под радикалами в правой части последнего неравенства, ы — -- . При этом последнее неравенство приводит непосредственно к неравенству (71), и теорема доказана. Докажем теперь обратную теорему. Теорема 8. Длп того чтобы последовательность 7'„(Р) сходилась в среднем к некоторой функции, достаточно, чтобы она сходилась в среднем в себе.
Дано, Итог"„(Р) сходится в себе, и надо доказать, что она сходится в среднем к некоторой функции. В силу сходимости в себе, существует такая возрастающая последовательность значков п,(п,( (па(, что ~ (У.ь+т (Р) — У.ь(РП О (бй) ~,те. Применяя неравенство (67) в случае Р=/~„„~, — 7'„ь) и е.: — 1, получим ~ ~У„„,(Р) — У„,(Р)!П(б5)~ ~ )7Р~ '17'.„„(Р) — Х.„(РИВА(бВ) 1: ~ О(бб). или, в силу предыдущего неравенства, 2ь ) (ч')' Отсюда следует сходимость ряда ,'~ ~ 1~„„,(Р) —.У.,(РИО(й5), ь 1$ и, в силу теоремы 3 из 154], ряд 171 66] сходнмость в сявднвм сходится почти везде на й.
Тем более, почти везде сходится ряд ~.,(Р)+,'У„[7.„, (Р) — 7;„(Р)], а=1 сумма первых р членов которого равна 7„ (Р), т. е. почти везде на З последовательность 1.,(Р), У..(Р), У.,(Р)," стремится к некоторой функции 7(Р) с конечными значениями. Мы покажем, что 7(Р) Е Е, и что 7„(Р) сходятся в среднем к г"(Р). В силу того, что последовательность 7'„(Р) сходится в себе, для любого заданного положительного а существует такое М, что 5 "' — ''" = """ "">' Устремляя в этом неравенстве и„ к бесконечности и пользуясь теоремой 4 из [54], получим ~ [У(Р) — 1„(Р)]'0(с(6) =.а при л)И. (72) в Отсюда следует, между прочим, что разность 7"(Р) — 7,(Р) ~ Ем Но 7"„(Р) также принадлежит 'Ея. Складывая 7" (Р) — г"„(Р) и г"„(Р), получим, в силу теоремы 2, что и 7" (Р) С Ем Неравенство (72) пока- зывает, наконец, что 7„(Р) в среднем стремится к )(Р).
Последние две теоремы приводят к следующему утверждению: с х о д и м о с т ь последовательности г"„(Р) в среднем в себе является необходимым и достаточным условием того, что эта последовательность сходится в среднеи к неко- торой функции. Теорема У. Если ~„(Р) и д„(Р) Б Е, и 7„(Р) — ьу' (Р), е (Р)- е(Р) в среднем, гло ~У,(Р)К„(Р)0ИВ)- ~ У(Р)К(Р) 0(Ф). $ $ Вводя для любых функций ~у(Р) и Ч(Р) из 7., обозначение [1Ч1 Зб] Ъ Ф) = ~ 7(Р) Ф(Р)0(Ф), можем записать неравенство Буняковского в виде Ь Ф)'-й ~) Ф Ф).
Положим теперь 1 (Р) — У(Р) = '7 (Р) а, (Р) — К (Р) = [', (Р). 172 [67 Функции множвста и интвгРлл лзвзгл По условию (Ф„, р„) и (ф„, ф„)-«О. Составим разность (г, к) — (Г., к.)=(у, к) — (г"+~. к+Ф.)= = — КФ) — й" к) — И. Ф,) откуда [Ю К) — (Х. К.)[ » [ Ч Ф.)[ + [('7. К)[ + [(~« Ф.)[ » - )' (У У) ]У (Ф. Ф.) + 1'гй. 7.) ]' (а й) + ]У ('у. т.) )У й. Ф.) Правая часть стремится к нулю при л †« со, откуда [(7 и)— — (7'„, и„)[-« О, т. е. (7"„, а„) -« (у, и), что и требовалось доказать. 67.
Функциональное пространство Гильберта. Семейство функций Ь, представляет собой, как и семейство С [14] некоторое функционзльное прострзнство. Элементом этого пространства является вещественная функция с суммируемым квадратом на ф. Эквивалентные функции при этом отождествляются, т. е. им соответствует один и тот же элемент Лм Определено сложение элементов и их умножение на вещественное число, причем эти операции подчиняются обычным законам алгебры.
Н о р м о й элемента х (длина вектора) назовем неотрицательное число, определяемое следующей формулой: [;ЛР) [= )Г~ [У(Р)] 0(Ф). (73) Говорят, что последовательность элементов ~„(Р) из Е, сходится к элементу 7(Р) из Г Ф если [[г'(Р) — 7„(Р)[[-« 0 при л †« сю. Эта сходимость по норме, в силу (73), равносильна сходимости в среднем. Введен еще понятие о скзлярном произведении двух элементов 7"(Р) и и(Р).
Оно определяется равенством (74) и, очевидно, имеет место формула Ы[= %'Ю .г'). (75) Пусть имеются три элемегпа у, и и й. Напишем формулу 7" — Ь= =(7' — у) +(и — л) и применим неравенство (69). Мы получим, таким Расстояние между двумя элементами Г' и и определяется формулой Функционлльнов пвостглнстао Гильвввтл 173 571 образом, в силу определения (74), так называемое п р а в и л о т р еугольника: р(У Ю==й», к)+р(а; й). (77) Нулем пространства или нулевым элементом назовем функцию, тождественно рзвную нулю на ф, или, что то же, функцию, эк в и валентную нулю.
Норма нулевого элемента равна нулю, а норма любого другого элемента, в силу свойства 8 из (61], положительна. Расстояние р(~, с)) О, и знак „равно" имеет место только тогда, когда элементы совпадают, т. е. функции г" и Аг эквивалентны. Расстояние и скалярное произведение симметричны, т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
