1610915356-5872c4d4ad41802c73f2f3fcece03aba (824746), страница 40
Текст из файла (страница 40)
Теорема 1. Лпнеал непрерывных на ограниченном множестве р фУнкцггй из Ея всюдУ плотен в Ум Нам надо доказать, что длЯ любого элемента у(Р) из Е„и любого заданного Ь)0 существует такая непрерывная на Р функция у(Р) Е Ея что 184 [66 Функции множяста н иььтвгглл ливиса ш„(Р) с конечным числом значений, причем ш„(Р) ( уь (Р) и ш„(Р) ( у (Р) [46). Мьь имеем [54[: 1пп ~ [Уь (Р) — ш„(Р)['6 (ь(ф) = 0 В !1гп [ [~ (Р) — ш„(Р)[а О (ь(ф) = О. л со.~ В Далее из неравенства (х, +ха)'~2(х[+хяа) следует [У вЂ” (ш„— ш„))Я ( 2 (Уч — ш~)а+ 2 (~' — ш„)Я, (112) и, вводя кусочно-постоянную функцию ш„(Р)=ш,'(Р) — ш,(Р) с конечным числом значений, мы можем, на основании (112), фиксировать такое л, что 1Г" — ш„'[(аш где а,— любое заданное положительное число.
Принимая во внимание, что ,':7 — ьь [ ( [У вЂ” шьь [+ [ш„— В [ нам достаточно доказать существование такой непрерывной функции ьу(Р), что 1ш — ь~([~а, где а — любое заданное положительное число и ш(Р) — заданная функция с конечным числом значений. Такая функция может быть представлена в виде ш(Р)= Ь сьшв (Р), а=! где шВ„(Р) — харзктеристические функции фиксированных множеств 6ьь принадлежащих 5.
Если ша(Р) (л=1, 2, ..., ль) некоторые непрерывные на $ функции и ьь(Р)=сьшь(Р)+сяьч,(Р)+ ... + +смэш(Р), то [[ш — ш[[( ~~ [Са[[)шй — ш[[ и доказательство теоремы свелось к доказательству следующего утверждения: для характеристической функции шВ,(Р) любого измеримого множества йш принадлежащего $, и любого заданного а)О существует такая непрерывная на ф функция ш(Р), что !,,'ш — 1ь",(а. Известью, что для любого заданного я,) 0 существует такое замкнутое множество Р, принадлежащее йш что 6 (5, — Р) ( а,' [35]. При этом [, В,— „[[Я=~[ „(Р) „(Р)['а((6)= ~ аО(В)=О(6,— Р)~а; В Во — Р и, в силу неравенства [шв, — ь!ь[[([[шв, — шл([+;[шл — ьч'! достаточно доказать высказанное утверждение для характеристической функции ограниченного замкнутого множества Р, принадлежащего 5.
Обозначим линвллы В Т.я 50] 185 через г(Р) расстояние от точки Р до множества Р. Мы имеем г(1ч1) (г(1е)+]®~] и гЯ)~г(Я~)]-] <М,], где ]с;и;11] — расстояние между Я и Ои откуда следует непрерывность функции г(Р). Далее г(О) =О, тогда и только тогда, когда 1;1 ~ и [П; 89]. Нетрудно видеть, что ме(Р) есть предел невозрастаюшей последовательности непрерывных на $ функций: 1 'тл( ) 1 ] „„(р) (113) так что ']ше — 9„'!-ь0 [54] при п — сэ, и, следовательно, для любого заданного а)0 существует такое п, что ые — ~„,'](а, причем у„(Р) — непрерывна на 5, и тем самым теорема доказана.
Следствие 1. Ограничиваясь для определенности случаем плоскости, положим, что 5 есть замкнутый промежуток Ь (а, (х~дб а,(у(Ь,). Лля любой непрерывной на нем функции р(х,у) можно построить такой полипом р(х, у), что ] о(х, у) — р(х, у)] (ьь на Ь, где а,— любое заданное положительное число. При этом [] о — р []' = ~ [1ь (х, у) — р (х, у)]ЯО (~И) ( в'„О (Ь). а р~~'е= [~ (х, у) р(х у)1 О(бР) ~ ~ ] [~ (х. у) — р (х, у)]'О И~). Следствие 2. Если р (х, у) — любой полинам, то, поскольку рациональные числа лежат повсюду плотно на оси вещественных чисел, существует такой полинам с рзциональными коэффициентами д(х, у), что при любом заданном е,)0 имеем ]р(х,у) — д(х,у)]~а, на Ь или Г.
Отсюда непосредственно следует, что полиномы с рациональными коэффициентами образуют множество повсюду плотное в Ея на Ь или р. Покажем, что множество таких полиномов счетно. Сопоставим каждому такому полиночу д (х, у) положительное число: а = и+ +г+в, где и — степень ~у(х, у), г — общий наименьший знамена- Принимая еще во внимание, .что [у — р[(,"Г" — р[-~-[р — р]], где З'(х, у) Е Ея на Ь и доказанную теорему, можно утверждать, что линеал полиномов повсюду плотен в 1.я на Л. Вместо промежутка Л мы могли бы взять и любое ограниченное замкнутое множество и, поскольку непрерывную на р функцию можно рзспрострзнить с сохранением непрерывности на замкнутый промежуток Ь, содержащий р [1Ч; 157]. При этом нздо учесть, что [60 схнкции множеств и интвггдл лвгвгл тель его коэффипиентов (г — берется полочкительным) и з — сумма абсолютных значений числителей в его коэффициентах, приведенных к знаменателю г (исключение: если (г(х, у)= — О, то сопоставляем ему а = О).
Нетрудно видеть, что число полиномов, которым соответствует одинаковое о, — конечно. Мы можем пронумеровать все поли- номы с рациональными коэффициентами в порядке возрастания соотвечствующих им чисел о, причем порядок полиномов с одинаковым а безразличен. Мы видии, что существует счетное множество элементов Е„ повсюду плотное в !и т. е. с.ч на Ь или Š— сепарабелдно.
Положим теперь, что  — любое ограниченное измеримое множество. Возьмем его замыкание 5. Это — ограниченное замкнутое множество, и, как доказано, в Е, на р существует счетное повсюду плотное множество кд(х, у) (й = 1, 2, ...). Это будут функции из Рч на ф и, тем самым, и на ф. Покажем, что рд(х, у) повсюду плотны и на 5. Возьмем некоторую функцию г"(х, у) из с'.ч на 5 и продолжим ее нулем на Р. Она будет из та и на $, и тем самым при любом заданном а ) 0 найдется такая функция рд(х, у) из указачшого счетного множества, что ~ [У(х, у) — ччд(х, у)[чО (с(В) = ~ [У(х, у) — ччд(х, у)[чО (с($) + 6 й + ~ [У(х, У) — кд(х, У)['ОЩ)(а и, тем более, [Т(х, у) — рд(х, у))'0(Ф)~д и т.
д. Сепарабельность Ед на любом измеримом множестве будет доказана ниже. Локажем еще теорему, которая будет нам нужна в дальнейшем. Теорема 3. Если уравнение замкнутости имеет место для всех функций, принадлежащих некоторому множеству К, плотнолгу в lп то оно и.веет место и для любой функции У и Пусть у(Р) — какой-либо элемент ьч и а — заданное положительное число. В силУ того, что К плотно в У.м сУществУет з К такой элемен~ п(Р), что ,',р" — кч[( —,, По условию для ~р(Р) имеет место уравнение замкнутости, и, следовательно, можно взять такой отрезок з„(1ч) ряда Фурье функции ~р (Р), относительно ортонормированной системы функций ярд(Р), что '(~р — з„(р),,'~ -- —,, ПРннииаа во внимание Равенство Р— зд(Р) =(Р— 'Р) + И вЂ” з„(у) ) +(э„(.р) — ад (у) ) и прави.чо треугольника, получим — .
Й [=- [у — 'р;[+ [', — . й),~+ 1[з„(р) — . (Л,', о куда 187 ПРНМГРЫ ЗАМКНУТЫХ СНСГВМ 61] — а„ (г)!' ( †. а + ]!З„(у) — з„(г)![. Но разность а„ (2) — а„ (т') отрез- 2 ков ряда Фурье для м и у' есть отрезок ряда Фурье для разности 'т — У т е а (г) — у~(г)=а„(<р — г), и, в силу нерзвенсм1а Бесселя, г„(~р) — у„(г)'](][р — г][~ —. Окончательно  и теорема доказана. Все сказанное выше непосредственно обобщается и на случай комплексных функций из Е, [58].
61. Примеры замкнутых систем. Приведем некоторые простые примеры ортогональных нормированных систем, замкнутых на конечном промежутке [а, Ь]. Если мы применим процесс ортогонализацни к целым неотрицательным степеням х. 1, х, х',... [1АГ; 38], то получим систему ортогональных полиномов ра(х) (Ь = О, 1, 2,...) на промежутке [а, Ь], причем рь(х) имеет степень Гг. Всякий полипом р (х) степени л может быть представлен в виде линейной ком- бинации л р (х) = ~~! с„ра (х). А-О (114) з!и —; соз — (л=О, 1, 2,...) ЛЯХ ЛЯХ г (115) уравнение замкнутости выполнено для любой непрерывной функции [11; 148], откуда следует, что система (!15) замкну~а в Ум Точно так же на промежутке [О, 1] замкнутыми будут ортогональные системы функциИ з!и л™ (и=1, 2, ...) и соа — (л= О, 1, 2, ...).
! Раньше мы видели [1тг; 99], что в случзе собственных функций ра(х) (1=1, 2, ...) предельной задачи всякая функция с непрерывными производными до второго порядка и удовлетворяющая предельным условиям разлагается в равномерно сходящийся ряд Фурье Чтобы убедиться в этом, достаточно определить с„так, чтобы в правой части коэффициент прн х" был таким же, что и у р(х). Затем надо определить с„, так, чтобы коэффициент прн х" ' у члена с„,р„,(х) был таким же, что и у р(х) — с„р„(х) и т. д. Коэффициенты са в формуле (!14) равны, очевидно, коэффициентам Фурье р(х) относительно р„(х).
Из точного равенства (!14) следует, что в случае ортогональной системы р„(х) уравнение замкнутости справедливо для любого полннома р(х), а отсюда следует, в силу теоремы 2 предыдущего параграфа, что система ортог опальных поли помов замкнута. Выше мы видели, что на промежутке [ — т, +с] для ортогональной системы 188 [62 Функции множеств и интзгРАл лвзега по функциям Ф„(х).
Тем более для таких функций будет иметь место уравнение замкнутости. Изменяя значения функции на узеньких прол1ежутках вблизи концов интервала, мы убедимся без труда в том, что уравнения замкнутости соблюдаются для всех функций с непрерывными производными до второго порядка, без требования удовлетворения предельных условий на концах. Тем более уравнение замкну- У тости удовлетворяешься для всех по линомов, а потому система собственных функций Фл(х) ззмкнута. у-Ь а !+ 1 — Ь Я [ у«о!у— Я ) ! ' о 1+— а а а'!" 51 = ) Х'ГЛХ= — - — „; 1+а ' о Сумма этих плошадей, как это непосредственно видно из чертежа, не меньше площади аЬ прямоугольника со сторонами а и Ь, т.
е. 1-1-* о'+" ! аЬ( + + + а Обозначая р= 1+ а и р' =! + —, можем переписать неравен- 1 а ' ство в виде аЬ = — + —,, оР ЬР (116) Р причем чиела р и р' связаны, очевидно, соотношением ! 1 — + —, = 1. Р Р (117) 62. Неравенства Гйльдера и Минковского. Наряду с классом Е, рассматривают часто к л а с с Е и з м еримых функций Р(Р), у котос рых р-зя степень збсолютного значения (или модуля для компл е к с н ы х ф у н к ц и й), т.
е. )7" (Р) )Р сумм ируема на 6 [ср. Щ. Выведем сначала для сумм и интегралов неравенства, аналогичные неравенствам (67) и (69), для любого показателя р, большего единицы. Пусть а — некоторое положительное число. На плоскости Х1' рассиотрим кривую у=х« и проведем прямые х = а и у =Ь, параллельные осям (черт. 3).
Эти прямые, координатные оси и упомянутая кривая ограничивают две плоские области, имеющие следую- щие плошади: 189 621 няглвянствл ггльаявл и минковского Ввиду произвольности положительного числа а, неравенство (116) справедливо для любых положительных р и р', связанных соотношением (117). Оба эти числа должны быть, очевидно, больше единицы. Если р= 2, то р' = 2, и неравенство (116) приводит к очевидному неравенству: 2аЬ ( а'-~- Ь'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
