1610915356-5872c4d4ad41802c73f2f3fcece03aba (824746), страница 42
Текст из файла (страница 42)
Если Ь=+со, то вместо У(Р) возьмем [Д(Р)]и, выбрав М и т настолько большими, чтобы имело место неравенство ~ [У(Р)]иП(!6)) а+ !. В силу (133), будем иметь такмсе ~ У(Р)]иП(!6)== =. 6п ьь Прежнее рассуждение приведет нас к противоречию, и, таким образом, теорема доказана. Если величина и!жеграла неотрицательной функции у(Р) по 5 конечна, то говорят, что 7"(Р) с ум мир уема на 6. Из этого и данного выше определения непосредственно следует, что е с л и 7(Р) суммируема, и неотрицательная функция !ь(Р) удовлетворяетт на $ неравенству !ь(Р)-=у(Р), то и !!!(Р) с уми и р у е м а. Рассмотрим теперь измеримую на р, функцию, которая может менять знак, и разложим ее на положительную и отрицательную части: (137) .[(Р) =У'(Р) — Х (Р).
Функция у(Р) называется суммируемой на ф, если суммируемы 7+(Р) и у (Р). При этом величина инчеграла определяется формулой. (138) Если только одна из функций Г (Р) и 7' (Р) суммируема, то, как и в [62], интеграл от у(Р) будет иметь смысл, но его величина будет (+ со) или ( — со).
Большей частью множеством р, на кото- ром производится интегрирование, является вся плоскость или вся прямая или вообще все л-мерное пространство. )(ля интегралов на измеримом множестве бесконечной меры спра- ведлива теорема из [62] и свойства 1, 2, 3, 4, б, 6, 7, 9 и 10. Мы докажем только полную аддитивность и абсолютную непрерыв- ность. Доказзтельство теоремы и остальных снопе~в совершенно просто.
Предварительно докажем следующую простую лемму. Лемма. Если неотрицательные числа аь не убывают ири !ь! возрасглании з и 1!ш аь =а, то, обозначая и! 5 СО а" = ~а!ь,"1, ь ! [63 196 Функнни множвств и интвгР»л леввг» мбл ажес и 1нп а оп =~ а». л сО »=! (1З9) Доказываем от обратного. Отметим, что написанная сумма может иметь значение (+ оо). Обозначая через а предел а"', положим сначала, что а)~а». »=! Для достаточно больших значений а будем иметь а!')с, где с — сумма ряда (139) и, фиксируя такое г, мы можем указать столь большое ал, что а потому и подавно ~',а») ~ а„, »=! »=! что противоречит а» )О. Положим теперь, что а(~а».
»=! Тем самым будем иметь для некоторого фиксированного лш ~', а„) а. »-! Мы можем теперь выбрать настолько большое а, чтобы иметь Написанная конечная сумма очевидно (а"1, и потому а!'!)а, что нелепо, так как последовательность а"! стремится к а, не убывая. Лемма доказана. Переходим к доказательству полной аддитивности интеграла. Пусть [(Р) суммируема на 5 и это множество разбито на конечное или счетное число измеримых множеств ф» конечной или бесконечной меры. При этом у(Р) будет сумл!ируемои на каждом В». Положим далее, что $!!!(Вл(...— возрастающая последовательность множеств конечной меры, стремящаяся к В. Вводим в рассмотрение множества ф» =ф»6!'! конечнои меры.
Они возрастают при возрапп !л! станин г, 1!ш 6!»и=В» и ф!'1=ф!и+ рр!+ф!и+..., причем мно- 63) интегвал по множеству весконечной меРы 197 жества, стоящие справа, попарно без общих точек. Для множества В~' конечной меры мы имеем ~ У(Р)а((В)=~' ~ У(Р)О((й). 41е1 а=! й1е1 Считая иокз функци|о 1(Р) положительной, переходя в этой формуле к пределу при з -ь со и пользуясь доказзнной леммой, мы и получим формулу (20) из [49].
В общем случае утверждение справедливо на основании формулы (137) и того факта, что оно справедливо в отдельности для у'(Р) и [ (Р). Совершенно так же доказывается свойство 6 из [49[. Докажем абсолютную непрерывность интеграла. Считаем, что 7(Р) ) 0 и суммируема на ф.
Задано положительное а. Берем ьч настолько большим, чтобы имело место неравенство УО (с(В) (140) й(а) Для любого множества е, содержащегося в 5, можем написать ~уа(йв)= ~ уа((В)+ ~ хаев). е З1ее1е ($ — ЗРМ)е В силу абсолютной непрерывности интеграла на множестве 51 1 конечной меры существует такое т)) О, что абсолютное знзченне интеграла по 5~ ~е не больше — при ее-ф и О(е)(ть Принимая во внимание (140), можем утверждать то же самое и для интеграла по (5 — ф'м1)е, откуда следует, что абсолютное значение интеграла по е не больше а, если ес::ф и О(е)(т), что и доказывает абсолютную непрерывность интеграла. Теоремы 1, 2, 3, 4 из [54) также без труда переносятся нз случай множества 5 бесконечной меры.
Для примера докажем теорему 1. Пусть а — заданное положительное число. Выбираем настолько большое ги, чтобы иметь неравенство (141) Г (Р) О (ф) ~ а. й1ее) Оцениваем затем интеграл от разности )(Р) — уе(Р)' ! ~ (У вЂ” У.) О Иа) ~ -=-- [<е — гееие);-~ [ се — тее(ее)[, оее) йчч1 й1т) 198 [64 вхнкции множвств и иитвгвал лвввга Нз шюжестве 5 — 5ов! пользуемся оценкой ~ у — ~„~ (2Е' и, в силу (14!), получим (У вЂ” Л)0(Ф) ~ ~ ]У вЂ” У„)0(г(5)( ~ 2И(4)(2а. зею Зов! з узню Для множества 5! ' конечной меры теорема 1 уже доказана, и, следовательно, существует такое дГ, что при л) д! перрое слагаемое правой части (!42) (а.
Таким образом, получаем что, ввиду произвольности а, и доказывает теорему. Совершенно аналогично доказываются и остальные теоремы из [54]. 64. Класс Е, на множестве бесконечной меры. Построение класса йя и теория ортогональных функций без труда переносится на случай множества 5 бесконечной меры.
Мы говорим, что функция У"(Р) на множестве $ бесконечной меРы пРинадлежит У м если она измерима на 5 и ее квадрат уз(Р) или квадрат ее модуля )ДР)[' есть суммируемая на 5 функция. Все теоремы из [55], кроме теоремы 1, остаются в силе. В теореме 1 мы существенным образом использовали конечность меры 5. Можно легко дать пример функции, принадлежащей Ая и не суммируемой. Например, функция 1 1 — принздлежит Ея на промежутке [1, оо], ибо — суммируема, но Х х' 1 сама функция — не суммируема. Кроме того, мы использовали конечность меры 5 при доказательстве теоремы 8. Покажем, что эта теорема остается справедливой и в том случае, когда мера 5 бесконечна. Положим для определенности, что 5 есть полная плоскость $ .
Пусть последовательность у'„(Р) (л = 1, 2,...) функций, принадлежащих Е, на 5 сходится в себе. Пусть 5 — промежуток, определяемый нерзвенствами: — гл < х ~ т, — гл (у ( лг. Функпии ~„(Р) принадлежат Е, и сходятся в себе на каждом Ь, ибо интеграл от неотрицательной функции по Ь не больше интегрзла от той же функции по всей плоскости.
Из теоремы 8 [56] следует, что можно выбрать из последовательности У„(Р) подпоследовательность у„(Р), У„(Р),..., которая сходится почти везде на Ьь Из ука"г ванной подпоследовательности мы можем выделить новую подпослея ч~ довательность г„ (Р), у„ (Р),..., которая сходится почти везде на 1 ! 3 Ья и т.
д. Нетрудно видеть, что подпоследовательность У„ (Р), у (Р),..., сходится почти везде на 5 [ф. 1Ч; 15] Пусть у(Р)— предельная функция для этой подпоследовательности. В силу того, что последовательность у„(Р) сходится в себе на 5 для любого 641 КЛАСС т.а НА МНОЖЕСТВЕ БЕСКОНЕЧНОЕ МЕРЫ 199 заданного положительного а существует такое И, что ~ ~ Унн (Р) — Уо(Р)~ 0(г(В) =а, при п~ь' и л)Ю. Устремляя и к бесконечности, получаем, как и в (56), ~ ~ У' (Р) — Уо(Р)~ 0 (г(В) = а при п ) Ю, что и доказывает теорему 8. Если У(Р) ~ ь, на В и залано а, ) О, то существует такое Ж, что 9» ~ г' (Р)0(т(В) =а,.
йсо А А' Определим функцию ф(Р) следующим образом: ф(Р) =у(Р) в Ьл и су(Р)=0 вне Ьм. Очевидно ф(Р)~ьа(В ) У вЂ” ФЙ = ~ У(Р) — Ф(Р)1'0(агВ)= ~ У'(Р)0ИВ) =а,', йсо й — Ан и отсюда видно, что линеал функций ф(Р), отличных от нуля лишь на некотором конечном промежутке, повсюду плотен в Л,(В ), т. е. в (а на В Локажесм сепарабельность Аа(В ). На Ь (лт=!, 2о..), как доказано выше, существует повсюду плотное в 1., множество функций саь (Р)(сс,т=1, 2, ). Продолжаем эти функции нулем на все В Мы получим таким образом счетное множество функций саь (Р) из (.а(В ). Нетрудно видеть, что они повсюду плотны в 1.,(В ).
Действительно, пусть у(Р)~Е,(В ) и задано а) О. При этом сущесгвует такое лт„ что ~ У'(Р)а((В)~ — ',, асо — Ат, и можно, согласно сказанному выше, выбрзть такую функцию еь,(Р) из указанного выше счетного множества, что ~ (.Т(Р) — уа,,(Р)'1 0((В)» —, лосс и отсюда, в силу того, что саа„,(Р)о 6 вне Ь„„: ~ У(Р) — сна, с(Р) ГОЕВ) В' Ьсо что и доказывает сепарабельность т'.ЕВ 200 [64 яонкции множвств и интвгеал лвввга Покажем теперь, что линеал непрерывных функций м(Р), равных нулю вне некоторого конечного промежутка (различного для различных ~р(Р)), всюду плотен в Уя®, ). Этот лгшеал называется обычно лннеалож фииитных непрерывных функций.
Пусть У(Р)Я!я(9 ) и задано а)0. Покажем, что существует такая финитная непрерывная функция м(Р), что а~ — р))6 (а. Как мы видели выше, существует такое лг, что!~у!)~, = —;. Фик- '6" — ап 2 сируя это Ь, мы можем утверждать, что существует такая непрерывная в Ь„функция м(Р), что ()у — 4~~~ь (- —. Обозначим М= = шах ) м(Р) !.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
