1610915356-5872c4d4ad41802c73f2f3fcece03aba (824746), страница 45
Текст из файла (страница 45)
Отметим, что в теореме Фубини функция у(х, у) предполагается симмнруемоп на промежутке Ь. При эчом условии, согласно теореме Фубини, квадратуры, стоящие в правых частях формул (144) и (145), имеют сьщ.сл и дают днояноя интеграл от У(х, у) по Ь. Обратное заключение о существовании двояного интеграла, если нм ют смысл квадратуры, стоящие в правой части, может оказаться непрагильным. Суцгествуют примеры, когда повторные интегралы, стояьцие и правых частях формул (144) и (!45), имеют смысл, и результаты равны между собой, а функция /(х, у) неизмерима на Ь или измерима, но не суммируема.
Но если у(х, у) неотрицательна на промежутке Ь, то обратное заключение справедливо, и имеет место следующая теорема. теорема. Если у(х, у) измерима и неотрицательна на промежутке Ь, то из сугцествования повторного интеграла, стоягцего в правой чаппи (144), следует, чапо функция Г(х, у) су.нмнруема на Ь, и гпе.н салпгм для нее справедлива теорема Фубини. Положим, что имеет смысл повторпыИ ннгегрзл, стоян1иИ в пра- воИ части (144), т. е. почти везде по отношению к х на промежутке <а, д< существует функция (143), суммнруемая на промежутке <и, д<.
Введем функции у(х, у), если у(х, у)(п !У(х, у)<.= и, если /(х, у)) п. Они ограничены, измеримы и образуют неубывающую последовательность, ко~ораз с~реыщся к /(х, у). Опи, очевидно, суммируемы 211 68[ твоявмл Фгзиии на Ь, и для ннх спрзведлива теоремз Фубини.
Мы можем напнсзть ь а ~ ~ [г (х, у) [„г(хг(у = ~ ~~ [У(х, у) [„с(у~ г1х, но [дх, у) [„( у(х, у), и, следовательно, а ~ ~ [г"(х, у) [„г(хау( ~ Ь(х)с(х, откуда следует [50[, что у(х, у) суммируема на Ь. Следствие 1. Если г"(х, у) меняет знак, но для [г'(х, у) [ мы имеем сущесгвование правов части (144), то по теореме ',у(х, у) ! суымируема, а поэтому и у(х, у) суммируема на Ь, и к ней применима теорема Фубнни. Следствие 2. Если г"(х, у) измерима на Ь и суммируема по у для почти всех значений х, то й(х), определяемая формулой (143), есть измеримая функция. Мьн как всегда, можем считать Дх, у) неотрнцательнон.
Лля урезанной функции [у" (х, у) [„(она ограничена) мы имеем теорему Фубини, и измеримз. Устремляя л к бесконечности, видим, что и предельнзя функция 6(х) измерима. Отметим некоторые простые обобщения формулировки георемы Фубини. Если у(х, у) суммируема на измеримом ограниченном множестве $, то имеет место формула ~ ~ У(х, у)~(хну= ~ ! ~ У(х, у) гну ~Нх= ~ ~ ~ Дх, у) вгх)агу, (154) в в» з» в, 5 где 5» — множество точек 5, имеющих заданную абсциссу х, и 5»-- аналогичное множество для у, а В и В, — проекции й на оси Х и У. Интегралы по 1»„и 5 могут не иметь смысла для значений х и у, образующих множество меры нуль.
Лля доказательства формулы (154) достаточно покрыть ф конечным промежу~ком Ь и построить функцию ~',(х, у), рваную г'(х, у) в точках 5 и нулю во всех точках Ь, не принадлежащих $. Покажем теперь, как распространигь теорему Фубини на случай неограниченных множеств. В качесчне примера рассмотрим всю плоскость, 11остагочно рассмотрегь неогрицзгельные функции. Игак, положим, что функция Дх, у) измерима, [68 212 тушении множаств и интзгглл лввРГА неотрицательна и суммируема на плоскости, т. е. существует двойной интеграл: +со А = ~ ~ у(х, у)агх Ыу.
СО (155) функция г"(х. у) будет суммируемой и на любом конечном промежУтке Ь л [ — лг -. х~ьБ — л(У( и[. На такон пРомежУтке мы будем иметь теорему Фубини, т. е. и- т -с- л ~ '[ г (х, у,) всх гсу = ~ [ '[ ~(х, у) г(у] г(х. лтл С другой стороны, в силу неотрицзтельности функции Дх, у), имеем: ~ ~ У(х, у)с(хг(у - А, лтл и, следовательно, + т -1- л [ [ '[ г (х, у) гсу] всх ~ А. — т — л Беспредельно увеличивая п и прииеняя теорему 4 из [64[, по- лучим ~ ['[ т" (х, у) г(у] г(х~ А. — т — СО Увеличивая затем т и пользуясь определением интеграла по бесконечной прямой, мы приходим к неравенству -~- со Ф со 1Б "')']"=-' СО СО (156) '[ [~ т"(х, у)с(у] Нх(А — а и тем более Ф л+ л ~ '[ у(х, у) г(х ссу= ~ [ ~ /(х, у)сту] Ых(А — а, "лл Покажем, наконец, что знак ( в этом неравенстве не может иметь нес~а.
Если он имеет место, то существует такое положительное а, что 68! 213 твогвмл Фувини что нелепо, так как интеграл по промежутку йлл должен стремиться к интегралу (155) при беспредельном возрастании л. Таким образом, в формуле (156) должны иметь знак = и, сравнивая с (155), мы и получаем для всей плоскости ту формулу, которая входит в теорему Фубини. Из проведенного доказательства следует, очевидно, и существование повторного интеграла, входящего в эту формулу.
Теорема Фубини может быть формулирована и для интегралов любой кратности. Формулируем соответствующий результат. Пусть д,л есть промежуток в пространстве )т',„, имеющем (гл+ л) измерений, определяемый неравенствами: а~ (х1~ Ьб аз~ ха Ья1 атлл ~хтял ~ Ьтьт а д и ц„промелгутки в пространствах Й и Я„, определяемые неравенствами: дт:а,(х, =Ьб а,(х,~Ь,;...;птах йл .
ат,, ~ х ы ~ Ь „;...; а,„~ х,„~ Ь,л. ПУсть далее 7(Р) — функция, суммируемая на промежутке д, Если мы фиксируем некоторую точку Р,(х,', х,',...,х„,') из ц то функция 7" (Р) будет суммируемой функцией в ц„при любом выборе Р,, кроме, может быть, множества точек Р,, имеющего меру нуль в )т' . Полученный интеграл.от )(Р) по д„: Ь (хо хм ., л х ) = ~ 7 (Р) г)хт,... ах даст суммируемую функцию в ц, и имеет место формула ) .У(Р) ах! с~хм . с~ттьл ~ ~ ) т (Р)' тт 3 ахты .с(хт л 1 Х лт лл лт+л ;л', с(х, Ыхз...
Их . (157) Теорема Фубини допускает еще простое обобщение на случай интегрзлов Лебега-Стилтьеса. Положим, что мы имеем две возрзстающие и огрзниченные функции д (х) и й (у). Пользуясь этими функциями, мы можем определить меру 6(д) и К(а) полуоткрытых промежутков и затем распространить указзнные функции на замкнутые тела ).о и (.л. Таким обрззом, мы получим аддитивные неотрицательные и нормальные функции 0'(й) и К(ф) на (.о и Ех.
Соверщенно так же, исходя от функции л (х) Ь(у), определенной на плоскости, мы можем построить аддитивную, неотрицательную и нормальную функцию М ($) на неко~ором замкну~он теле Ем множеств на плоскости. Если 7'(Р)=7'(х, у) измерима относительно л1(гл) и суммируема на неко~ором промежутке ц плоскости, то этз функция суч- [69 214 ьтнкции множвств н ннтвгглл лвввгл мируемз по у нз промежутке Ь оси У, соответствующем промежутку Ь плоскости, по отношению к функции К(В) /э (х) = ~ у" (х, у) К (с(В) = [ /'(х, у) д/г (у), ьн ьт если исключить из промежутка Ь, оси Х, соответствующего промежутку Ь плоскости, некоторое множество значений, имеющев меру нуль по отношению к 0(В).
Функция /э(х) суммируемз нз /ь„по отношению к 0(В), и имеет место формула ~ ~ /(Р) Лц (с/В) = ~ ~ У (х, у) асс( [К (х) й (у) ] = ь Ь 1Б 1 ь. ь 69. Перестановка порядка интегрирования. Укажем еще одну теорему, касающуюся перестановки порядка интегрирования. Теорема. Пусть функция ц(х, Г/ суммируема по г на промежуэпке (с, д/ для всех значений х из пролсежутка (а, б( и ограниченной вариации по х на ээпом громежутке для все.к значений Г из (с, д/, кроме, леоэкеэп быть, множества .значений г, илсеющего лебегову меру, равную нулю.
Пусп[ь далее полная вариация д(х, Г/ по отношению к х на промежутке (а, б/ при всех указанных значениях г не иревы~наесп некоторой неотрицательной и измеримой на (с, д/ функцсэи р(Г/, для которой сущеспсвует интеграл ~ Р(г/дг. (158) При этом функция ~ 8(х, Г/ дг с (159) Переставляя порядок интегрирования, получим аналогичную вторую формулу. /(оказательство этого обобщения теоремы Фубини проводится буквально так же, как и доказательство основной теоремы Фубини, но только везде интеграл Лебега надо заменить интегралами Лебега-Стилтьеса и измеримость в смысле Лебега надо заменить измеримостью по отношению к функциям 0(В), К(В) и чИ(В).
Замечание. Отметим, что если относительно функции/"(х, у) дано лишь то, что она измерима на промежутке Ь плоскости, то отсюда следует, что для почти всех значений х из [а Ь] она измерима по у на [с, ас], и для почти всех значений у из [с, с(] она измерима по х на [а, Ь]. Это замечание непосредственно следует из замечания, которое мы приводили после доказательств лемм 1 и 2, и всего дальнейшего доказательства теоремы Фубини. 69] 215 пнпистлновкл попядкл интггпиповапия а ь ь а ~ ~ ~ )(Х) Г!»8 (Х, Г) ~ бс = ~ )(Х) б„~ ~ Н(Х, Г) бт ~, (160) причем интегралы ло Г суть интегралы Лебези. Для доказательства того, что функция (159) есть функ цил ограниченной вариации, разобьем промежуток (а, Ь] на части: а = хс ( х, с х, ( ... С (хн ! С х„=Ь н составим сумму Гь (8) для этого разбиения.
)бы получим е 8(Х», г) бс — ~ 8(К» и Г) бт = 7 ~(8(Х»!) — 8(Х» с, Г))б! »=! с откуда '! ~ ~ ~~~ ', 8 (х», Г) — 6(хе и Г)!бд с» ! Но, по условию теоремы, и )6(х», Г) — б(х» и Г) ~(Р'(Г), »=! и, следовзтельпо, « = ~ Г(г),й, с откуда и вытекает, что функция (!59) есть функция ограниченной вариации Напишем очевидную формулу: а а у(!!) (л(х», г) — л(х» и г) ) б(= с»-! Ът с' у ('.») ~ ~ д(х», г) б! — ~ 8(х» !, !) бг1, гс ! с с (161) !де "сг,— некоторая точкз промежутка (х» „х»), При беспредельном измельчании частичных промежутков правая часть этой формулы стремится к интегралу, стоящему в правой части формулы (160). Для непрерывной в промежутке (а, Ь) функции у(х) имеет неравенство ьф(х)) ( (, где ь — некоторое положительное число, Для подынтегральной функции интеграла, стоящего в левой части формулы (161), имеем оценку 'ц,'т Г У(':,)(8(Х», !) — 6(Х» ь Г)) ~( ~~;8(Х»,Г) — 8(Х» „())~(У.Р(().
й! », енль функция ограниченной вариации ил! х на (а,т(, и для л!абай неарерыаной на (а, Ь/ функции у (х) имеегл мес!ло формула 216 фунс(цни множвств н интсгсзл лвввгз Приз(сияя теорему ! из [54), мы видим, что а интеграле, стоящслс в левой части формулы (!6!), можем при беспредельном измельчании промежутков переходить к пределу под знаком интеграла, причем упомянутая подынтегральная функция а пределе дает интеграл Сэилтьссас ь У(х) д„е(х, г). а Окончательно предстьный переход в формуле (16!) и приводит нас к формуле (160).
Доказанная теорема допускает некоторые элема(парные обобщения, Можно, например, считать промежуток [а, Ь) бссконечньсм и функцию У(х) непрерывной внутри этого промежутка и ограниченной. Интеграл Лсбсга по т можно заменить интегралом Лебсга-Стилтьеса. Первоначальный интеграл Стилтьеса по е(х, г) можно заменить общим интегралом Стилтьеса и считать функцию У(х) лишь ограниченной на промежутке [а, Ь!. При этом из существования интеграла, стоящего а правой части формулы (160), будут следовать существование интеграла, стоящего в левой части, и равенство этих интегралов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
