1610915356-5872c4d4ad41802c73f2f3fcece03aba (824746), страница 48
Текст из файла (страница 48)
Из первой из формул (8) следуег, чго С при люзом выборе д ограничена; (ь(2гу(5) — 7(5). Точная верхняя граница сумм 1 при всевозможных разбиениях Ь называется п о л н ой в а р и а ц и е й 7 (5) на множестве В. Мы ез обозначим через Ф (5). Если 3, есть такая последовательность подразделений, что 1, стремится к Ф (5), ь» то из первой из формул (8) следует, что при этом и о(5'ь ) стремится к е(5), а вторая из формул (8), когорую можно переписать в виде 27(5" )=7(5) — (ь„ показывает, что 7(5"ь ) — у(5), так что в пределе формула (8) прн замене Ь на Ь'„даат Ф (5) = 2'Е (5) — 7 (5) = 7 (5) — 27 (5) откуда 2( ( )+г( ))1 т(5) 2 ( Ф (В) = р (5) — у (5), (10) ~(5) =7 (5)+й(5) =7 (5) — ! — В(5)1 (1 1) Из определения гь (5) и 7 (5) следует, что ~р (5) ) 0 и <р (5) ~0.
функции 7 (5) и — 7(5) называются обычно пол аж и тел ь ной и о т р и и а т е л ь н о й в а р и а ц и я м и 7 (5) на 5. Теорема 2. Положительная, отрицательная и полная вариации суть вполне аддптпвные на С фуннцгпг. Пусть имеется любое разбиение В на части Вь. Составим ряд с неотрицательными членами В=1; 11'ч) 228 Фгнк!!ни множгств. ьвсолютнля нвпгяяывность (72 и лочюкеч, гго 5= а (1"'„). Прея<де всего пока'кеч, что Ее +- сю. Ле1с~вн~ельно, если бм оказалосгь что 5=+со, то при соответсгвуюшем выборе ея(Еь суммз ~ га(е„) могла бы принимать сколь угодно большие значения. 11о зта сумма равна л(е), где е = ~ е„(е ( 5), ея пришли к противоречию с утверждением теоремы !. Пусть задано а) О.
При подходящеи выборе е,. получим гу(е) ) Я вЂ” а и, слеловательно, и подавно р(Е) )Я вЂ” ь, откуда, в виду произвольности в, имеем е ®) )Я. Докажем противоположное неравенство. Выбираем ес:$так что ч(а)хму(5) — а, пусть е„— еЕ, Мы имеем ср(е) = ~ ~р(ея), т. е, су (Й) — а =.. У р (с») откуда и подавно и, ввиду произвольности а, имеем ч (5) ч-.~,га ($), и окончзтельно к % (о) = Х гт (он) Аналогично полную аддитивность имеет и отрицзтельная вариацгш, а следовательно, в силу (10), и полная вариация.
Формула (11) показывает, чго в с я к а я в п о л н е а д д и т и в и а я ф у н к ц и я есть разность вполне аддитивных неотрицательных функшай. Отмепьч еще, если бы мы при составлении сумм (6) пользовались разбиениями 5 на бесконечное число множеств, то получили бы, прежнюю точную верхнюю границу. Любая точка (замкнутое множество) принадлежит г. Если 9~ — С, то любая точка Р из 5 принадлежит С, и мы моакем говорить о значении гу(Р) функции у(5) в точке Р. Если гу(Р).—,ЬО, точка Р называется точкой разрыва непрерывности га(Е). В противном случае точкой непрерывности гр(((). Если гр(Р))0, то из данных выше определений следует, что у(Р)= (Р) и о(Р)=0, а если м(Р)(0, то р(Р)=0 и гя(Р)=о(Р).
Точки непрерывности г1~®) суть также точки непрерывности ~я(ф) и ~~($). В силу конечности га(Е) и 1~(б) число точек разрыва, принадлежаших ф, и таких, что гя(Р) ) а или га(Р) ( — а, ~ де а — заданное положительное число, 229 сингулявнля Функция конечно, и число всех точек разрыва конечно или счетно.
Пусть Р» эти точки. Если множество точек Р» счетно, то ряд, составленный из в(Р»), абсолютно сходигся. Введем новую функцию множеств, определенную на семействе С: тл(В)=~~(Р ), н»Г й (12) где суммирование распространяется на точки Р, из Р. Эта функция также вполне аддитивна. Она называется функциея скачков. Разносгь (13) т',(к)=т(о) — ~Г (о) есть вполне аддитивная функция без ~очек разрыва непрерывности.
~ (В) = у В ) +~~ ~(Р) О т. (14) где Н вЂ” определенное множество из Рь, такое, что О (Н) = 0 и У(Р) измери.ка и суммируема на Рь. Слагаемое»ь(РН) называется с и н г у л я р н о й ч а с т ь ю у (р). Сингулярная часть определяется значениями » ($) на множествах меры пуль. Вгорое сла~аемое, которое мы назовем абсолютно непрерывной частью, равно нулю на любом множестве меры нуль. Докажем теперь единственность разбиения на сингулярную и, абсолютно непрерывную часть. Пусгь наряду с (14) мы имеем для ф из С, принадлежащих р, формулу Г®) =~(г»Н»)+ ) Л(Р) О(йм), где О(Н,)=0. Из этой формулы и (14) получаем ~®Н) — т(ВН») = ~Л(Р) О(йй) — ~У(Р)О(йй) ф В Заменим 5 множеством ВН+РНн принадлежащим Вьь. Принимая во внимание, чго 0(сьН+фН,)=0 и, следовательно, интеграл по 73.
Сингулярная функция. В дальнеяшем телом Т будет служить тело Г о. Оказывается, что не всякая вполне аддитивная на семействе С из Г.о функция 4»®) может быть предстзвлена в виде интеграла (1). Мы докажем позже следующую основную теорему, которой мы уже сейчас будем пользоваться. Теорема. Всякая вполне аддлтивная на С функ»рся 1~® может быть представлена для всех множеств 5, принадлежащих любому фиксированному множеству Рь из С, формулой 230 Функции множяств. Авсолютнля нвпяввывность 1УЗ ЬН+5Н, равен нулю и что фН+1ьН) Н=()Н и (ЕН )-ЕН ) Н, = =КНн мы получим ~(фН)=у(РН,), и отсюда следует, что абсо- лютно непрерывные части должны быть одинаковы, т.
е. ~ У(Р) О ((Е) = $ У, (Р) а (йи). (1 о) При доказательсгве теоремы мы будем исходить из любого, но фиксированного множества 5м принадлежащего С, и будем считать, что все 5 с: $м как это формулировано в теореме. При разбиении у(ф) на сингулярную и збсолютно непрерывную часть мы исходили от некоторого множества Е„и счигали, что все 9 принадлежат К,. При этом мы получили единственность указанного разбиения. Если бы мы исходили из друго~о множества 5о, отличного от 5а и принздлежащего С, то нетрудно видегь, что для всех множеств, одновременно принадлежащих Е„ и га, мы получим то же разбиение, которое мы имели раньше с основным множеством Еа.
Лействительно, в противном случае мы имели бы для множеств, принадлежащих произведению 5" =сала, которое также входит в семейство С, два различных разбиения э ®), чего быть не может, как мы видели выше. В указанном смысле мы можем говорить, что ра збне ни е ~ф) на сингулярную и абсолютно непрерывную часть на всеь~ семействе С единственно. Покажем, что и функция )(Р), входящая под знак интеграла в формуле (14), вполне определена, причем мы, как всегда, отождесгвляем функции, эквивалентные относительно 0 (Е). Нам надо показать, что если имеет место (15) для всех $, принадлежащих 5м то разность ф(Р)=У,(Р) †у(Р) эквивалентна нулю на 5м Пусть 5; — та часть Еа, где ф(Р))0, и (Л,=й,— рв.
Множества Е; и Е, принадлежат С, и мы имеем, заменяя в (! б) 5 на $,"инаф,: ~ ф(Р) О((В)= ~ ф(Р)а(йВ)=0, откуда и следуег, что ф(Р) эквивалентна нулю на $з~ и Ьз, а потому и на ть„. Если мы составим функцию у(Р) для двух множеств 9, и ф,' из С, то, как и выше, на Е„"=ф,ф,' эти две функции эквивалентны. В этом смысле мы можем говори~ь и о б е д и н с т в е ни о с т и ф у н к ц и и /(Р). Если, например, все конечные промежутки принадлежа~ С, то применяя предыдущие рассуждения к расширяющимся промежуткам — и ( х (+ и; — л --у (+ и (и = = 1,2,...), мы определим единственным образом у(Р) на всей плоскости.
функция ДР) называется обычно производной от э(5) по 6((1). Пусть я~р — круг (или сфера) с центром Р и радиусои я. Можно показать, что для всех Р, кроме, мо;кет быть, множества 231 сиигуляенля Функция меры нуль относительно О®), отношение Ф(нр~):0(нен), при стремлении ь к нулю, стремится к функции, эквивалентноп )(Р) относительно 0 (Р). При этом, конечно, считается, что 1ь(Р) определена на круге йе при достаточно малых ь. В дальнейшем мы не будем ш пользоваться указанным утверждением и не приводим его доказательства.
Определение. Функция Ф ($) называется абсолютно непрерывной относительно О (Е), если для любого фиксированного Ь! из С и любого заданного положительного ь сушествуепь такое положительное ть что Ф(е) ((ь, если е(:Р и 0 1е) ~(ть Если ~р(Р) абсолютно непрерывна относительно 0(6), то, очевидно, у($)=0, если 5~С и 0($)=0. Второе сла~аемое формулы (14) является, как мы знаем, абсолютно непрерывной функциеи на С. Наоборот, если известно, что 4~(6) абсолютно непрерывна, то 4 (ЕН)=0, ибо 0 ®Н) =0 и Ф(Р,) представимо формулой ~(В) = ~ У(Р) 0(Ф), (16) Ф ®) = 1ь (ЕН) + ~ ') У(х, у) с(х бу, где Н имеет лебегову меру, равную нулю. Формула (16) принимает вид р(5)= ~ ) у(х, у) с(хну, и в этом случае Е(р), очевидно, непрерывна в каждая точке.
точная верхняя граница значений Ф(е) для множеств е, принадлежащих Р, в случае формулы (16), получится, очевидно, если мы проинтегрируем )(Р) по множеству, на котором у(Р) )О, и точная т. е. сингулярная часть отсутствует. Из этого рассуждения вытекает следуюп1ее следствие основной теоремы; Следствие.
Если р(6)=0 прн 0(Е)=0, то Ф(р) представимо формулой (16) и является абсолютно непрерывной относительно 0 (сь) функцией на встсо.и лсножестве рь нз С. Отл~етим, что если 0(Р) не непрерывна, то и Ф(Р), определяемая формулой (16), не будет, вообще говоря, непрерывной. Если, например, 0(Р„)=а ~ О, то Ф(Рь)=а)(Рь). Но у(тя) абсолютно непрерывна по отношению к О ($) в указанном выше смысле.
Если 0 (гь) †' непрерывна, то и 4~(Е), определяемая формулой (16), очевидно, непрерывна. Если О (и) есть площадь промежутка и и, следовательно, Еа есть тело Е множеств, измеримых по Лебегу, формула (14) принимает вид 232 ма нкции множвств. авсолютнля нвпввгывность [74 нижняя грзницз получится, если мы прои:стегрируем по множеству, на котором 7(Р)(0. Мы имеем, таким образом, следующие формулы для положительной, отрицателыюп и полной вариации функции ш(В), определенной формулой (16): ЙВ) = ] У'(Р) 0 ((В); ИВ) = ] У (Р) 0 ((В); $ $ ф (В) = ~ [У(Р) ~ 0 <аВ). (17) Если мы выделим из функции ш(В) функцию скачков саа(В) и к оставшейся непрерывной функции применим разложение по формуле (!4), то получим разложение ся(В) на три слагаемые ~(В)=~, (В)+~,(ВО)+ 1Л(Р)0ИВ) $ 74.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
