1610915356-5872c4d4ad41802c73f2f3fcece03aba (824746), страница 52
Текст из файла (страница 52)
Можно показатть по частные производные суть почти везде в д, пределы соответствующих отношений Так, например, Р„есть предел отношения (Р(х+ + И,у) — Г'(х,у)(: И. Лбсошотно непрерывную функцию Р(х,у) можно толковать как функцию точки Р(М) на плоскости. Если мы введем на этой плоскости вместо прежних декартовых координат (х,у) новые (х',у'), то получим новую функцию Р (х', у'), и она может оказаться уже не абсолютно непрерывной по новым переменным. В начестве примера рассмотрим абсолютно непрерывную функцию Г(х,у) = ~У(Г)дт, н где Р(г) — непрерывная, но не абсолютно непрерывная функция, построенная нами в (76( для промежутка [О,!(. Мы ее продолжаем, считал у(х) = 0 при х С 0 и у(х) = ! при х - 1. Предыдущая формула определнет абсолютно непрерывнуго функцию Г (х,у) на всей йлоскости (она фактически зависит только 248 ао нкции множвств.
ласолютнля пвпгвщавпость ]78 от х). Поворачивая координатные оси вокруг нччалэ на 45', по~учим в новых координатах ! лч Р(х',у') = ] у(г)ш, Частная производная этой функции к', выражаемая формулой 1 7 1, 1 Р', == у — х'+, у'~, х' У2 не является абсолютной непрерывной функпнсй у' при заданном х', что, в сиду (57), должно было бы иметь место, если бы Е'(л',у'1 бьюа абсолютно непрерывной функцией двух переменных.
Отметим, что построенная функпнк при любом выборе декартовых координат абсолютно нсирсрывна но каждой переменной при всех значениях другой перемснно~1. Аналогично прслылущсму строится теория абсолютно непрерывных функций любого числа переменных. В следующей главе мы дадим более общее определение частных производ- ных, которое будет применимо не только к абсолютно непрерывныч функпнян многих переменных. 78. Вспомогательные предложения. В ближзй~пцх двух параграфах мы введем новые понятия и докажем вспомогательные предложения, которые нам необходимы для доказательства основной теоремы из [73] и для дальнейшего обобьцения понятия интеграла.
Будем рассматривать функции ф(н) вполне аддитивные на семействе С, состоящем из некоторого множества рэ нз Ео и нсех множеств Р из Е.о, составляющих часть Рэ, причем считаем 0(фэ) конечным и отличным от нуля. Обозначим через )е, множество всех таких функций. Если ф,(8) и фэ($)(:1'н то Суй(8) тч Срэ(8) также ( — (ен 1(ак мы знаем, для всякой 4 ®) из (е, суммы Еэй)=Х[ р(7х )[ (58) остаются ограниченными при любом разбиении фэ на конечное число множеств $а [72]. Точную верхнюю границу сумм Ен т. е.
полную вариацию р(Р) на Рэ, обозначим через,]гу ~н Имеем, очевидно,;с:о[,= =[с[ )р о где с — постоянная. Если подразделение 5' есть продолжение подрвзделения 3, то пишем Ь'~о. Принимая во внимание, что для любого разбиения е=е'+е" мы имеем [~Е(е)~~[р(е')[+ +[7(е')(, можем утверждать, что Еэ (~р)'= Еа(р), если 6' ==о. Если ܄— такая последовательность подразделений, чэо Ен,(р) — ', 21н и Ь,'~Зю то тем более Еэ'„(7)-ь]7[н Если Е, (р)-ь;':р[!н Е;,„'(ф)-ь,ф;,~ и Ет" (7+ ф) — ) 7+ ф.н то, полагаЯ а„"'= З„ь„а„", полУчим Еэ„(р)- ]71'б Е;х (ф) — ]ф [б Е„„(р —,'- ф) [,:р-[-,!!н Если 8»„— частичные множества в 3'„", то иэ неравенства [9(ййх) -) ф(Ьх)1~ [ф (Еьх)' ,гы ~ ф(йьх)1 260 Ф» нкции м!южвсз н.
»асолютнля нвпевеывность ]ув -- ( я (~) ) 0 '((т ) в пределе дае~ ] у, =- Р (» 'ы Р'0 (Рм). (63) Отмечи»» егце одно семейство функций»®). Функцию м(5) назовем существенно о~ ран иченио11, если существует такая постоянная С, ччо для любого 6 из Ло принадлежащего г», имеем , р ® ~ . Са (6), (64) Если отношение у(6»): 0(1=») обозначим через а» (считаем а»= О, если 0 (6») = О), то указанная кусочно-постоянная функция ф (6) может быть, очевидно, представлена интегралом у(12)= ~ »» а»мб (Р) 0(аб), (66) где в6 (Р) — характеристическая функция множества 6».
Под знаком интеграла стоит кусочно-постоянная функция точки, равная а» на множестве 1-.». Наоборот, всякий интеграл указанного вида дает кусочно-постоянную функцию мно»кести ф(ф). При любом заданном подразделении Ь множества с» на конечное число множеств р» сопоставим любой вполне аддигявной на 5» функции множеств р(6), удовлетворяющеп условию (60), и любоп функции точки у(Р), измеримой и суммируемой на 6„ кусочно-постоянные функции а»®) и У,(Р). Именно определим м»(6) для Ь, принадлежащего 9„, формулой т» 16) у (6») 0 (В) 0 (6») ' (6У) т. е.
для любо~о 5 из ~» формулоп Ва= ~'~ »-т (у)0И)1), ",=-'-'(6")-. 6» ' ' " О®»)' $, » (68) и множесгво всех существенно ограниченных функций (при разных значениях С) обозначим через Ь'». Из (61) непосредственно следует, что, если 6(й с Рм во Ь»(р)-=-С"0(~») при любом 6, т. е. И» составляетг часть Раньше мы рассматривали кусочно-постоянные функции гочки 146]. Введем теперь кусочно-постоянные функции множеств.
Функция ф (6), удовлетворяющая условию (60), называется к у с о ч н о - и о с т о я ни о и в 6м если существует такое разбиение 6» на конечное число множесгв 5», что '-'(Ь" ) )(6)=:(1»» 0($), если Дс 6» и 0®») ~ О; ] 0(Ь») ' ~ (66) ф(6)= О, если бс 6» и 0 ®»)=О. 78( вспомоглтвльныя пнвлложьння Функцию 7»(Р) положим равной постоянной А(Р)=,'„, 1У(Р) 0(г$), $» если Р- $». Если 0($»)=0, то и выра'кение (69) считаем разным нулю. Если 7($) предстанлено интегралом: 7($) = ~ .?" (Р) 0 (г(В), $ (69) (?6) го, очевидно, г?» (В) = ~ Л(Р) 0(г($) ° (71) Из определения;„($) и 7»(Р) непосредственно следует: (сг7 ($) + с»ф ($))» — — сгу; ($) л.
с»тг» ($); (72) (с ДР) + с Г (Р))» = с,У» (Р) + с»Г, (Р). Покажем, что если 3'= 3, то (73) (7'($))» = Е ($) При $' имеем подразделения каждого $» на некоторые множества $', причем, в силу (67), я»($»,) т (Г») откуда следует (7»($))» = ~ ~г а»м?» (Р) 0(аг$)= ~ Ь а ~м (Р)0(г?$)= $»,» $» = ~ ~~~~ а»м$„(Р) 0 (г?$) = г» ($). '$» т»($»л) В($») ., (~ ) „($ ) Если с — наибольшее из а», то, в силу (65), ~ у($) ~ ( с0($), т. е.
всякая кусочно-постоянная функция множеств существенно ограничена. Отметим, что мы рассматричаем кусочно- постоянные функции лишь при разбиении $» на конечное число множеств. Пусть В'~З и $»,— указанные выше частичные шюжества. Из определения г»ь($) следует, что 252 Функции множвстз. Авсолютнля пш!РН'ыиность (78 а потому т. е. (74) оп (тг) = Фв (т).
Если Яа (~а)-ь(~ра/!м го при Г„=З 5 и подавно Я,. (о,-) — ~ еа в. Но Ь' )Ь и, в силу (74), Яа„(7,)=8,(у) и пе завнсиг от л, откуда следует ('уа Ъ = оа й) (75) 1 карл (/я — ь (76) Величину (75) нетрудно выразить интегралом. Пусть еа (Р)— подынтегральная функция в интеграле (66) для кусочно-посыпанной функции з,(у) да(Р) = а„ = 4 (фа): й ((5„), если Р С 5а. Мы имеем (а(~,)= у'Ва)=аЪО'(5ь)=О(Ы 1 8((Р) а((В), и, следовательно, ~~ (~) = 1' ~~ (')- = ~~ ~ П (Р) (~б), т. е. г,(р)=~,у,,=~ д((Р) а<~5), (77) и, применяя обычное обозначение нормы в Ля ~! таЬ=,'~а(Р)!В.
(78) Выведем еще две формулы, необходимые нам в дальиепшеч. Б силу (73) имеем ~р(5) — ~уь (е)1а — — у, ®) — еа(р) прн о' -. 5. Разносгь ла (Р) — да(Р), сохраняющая постоянные значения в точках Если у (~) е (Гм то существует такая последовательность подразделений 3'", что Я,гп (р) -ь~ р~в, и, следовательно, существует такая последовательность подразделений, что 79) вспомогътпльньзв пявл.чожвния (ПРололженцв) 968 пс~ичнгах множеств В„, подразделения о', есть подннтегральпая функция в формуле (66) для га (В) — гра(В), т. е.
г(В) —;а(В)=~'(:а( ) —:.(.И0«В), и, н силу (78), чоакем написать И вЂ” ум)мч= ''тм — 7а '. ='аа (Р) — 8)(Р) 'Ео (79) Последняя формула будет касаться функции 8а (Р). Она сохраняет постоянное значение ар, = — о(В„,): 0 (Вь,) в точках Вь, и, согласно определению у, (Р), функция (еа (Р)), принимает в точках Вь постоянное значение 0 (г7В) 0 (Вй,я) ! ът и т($ь,в) ! ъ1 т($ь,,), т(гь) 0 (Вл),юев, 0 (8ь, я) 0 (Вь) ~ее 0 (Ьй, я) 0 (гаь) Йй, 5 в т, е. (ь, (Р))„= ла (Р).
(80) 79. Вспомогательные предложения (продолжение). Введем новое понятие, важное для дальнейших построений. Пусть гр (В) и 'г(В) Я (г, и В=В'+В" — - некоторое разбиение В на два подмножества без общих точек. Обозначим через )п((у, г! зочную нижнюю границу сумм г7(В')+ф(В") для всевозможных разбиении В: (8!) !и(!е,Я= гп! (~(В)+ ь(В")3 =в(В), а=а'+ а" 7(В')+,(В") ~м(В), г.
е. (82) и для любого заданного положительного - существует такое раз. биение В=В'+В", гго у(В)+Ф(В-) Ем(В)-!-$. (83) Функггия м(В) при любом В из (о имеет конечное значение, ибо гя(В') и ф(В") ограничены. Если взять за В' само В и за В" пустое множество или наоборот, то получим (В)(~у(В); м(В)~ф(В). (84) '~ (В) = Х '7 (Вь)' ) (В) = Х ф (Вя) при ~ем написанные ряды сходятся абсолютно. Ь силу (84), положительные а(Ва) образуют сходящийся ряд, ибо ряды с членами с7(Вд) Докажем, что м(В) вполне аддитивна. Пусть имеется разбиение В на конечное н бесконечное число множеств Вь (попарно без общих точек).
Мьг имеем 284 ятнкции множеств, ласо,нотная нею яиывность (у9 и ф((зоа) абсолютно сходятси, а по~пну и весь ряд, составленный из ш(ьь), имеет опРеделеннУю сУммУ, пе зависзщУю от поРЯдка слагаемых [1; 1341. Пусть а) О задано. Существуег такое разбиени~ ф = ф' + р,", ч т о ф ф,') + ф (гь") =- ш((8) и ф ®') -г ф ((З ) ==.: ш(ф) г. (85) Обозначим (за=та',",' и (ь;,'=,'"ь(":", гак что Ьь+Ьь'=Вь) ХРшг =Ю', ХФь'=Ь" Пользуясь определениями ш ®), можем написать ф(бь) ~- ф (сь) ) =чш(1-., ) и, суммируя по М., в силу полной аддитивности -(;-) и ф(1), получим Хш(ра) = ф(Ф')+ ф(Р"), и второе из неравенств (88) лает Х ш (Фь) ~ ' (б) ! огкуда, и силу произвольности з, следует Х ш (За) ~ ш (и) (86) Локажем теперь противоположное неравенство. Берем такое разбиение Уь=Ра г+('„ш чтобы выполнЯлось неРанепсгво ф (фм,) + ф (ф» з) (ш(Гзь) (87) 9 (В~) + ф (Гт) ~ Х '» (Рь) )- -, а (88) пРичем ~,$,=0 и Ьч, -' 8з=$.
Но ф((),)+ф(5,))ь>(5), в силУ определения ш(ач), и перавенсаво (88) дает и, ввиду произвольносзи а, получаем неравенство, противоположное (86), откуда и следует полная адаптивность <о((„): ш ®) = ~',, ь) (гзь). Из сказанного вьппе следует, ч го ч(ф), о и р е л е л я е м а я ф о рм у л о й (81), п р и н а д л е ж и т Суммируя по К обозначая сумму ф„, через 5, и сумму ф» з через бз получим 79[ Вспомогателю(ые пгвдложвния (пводолжение) 2об Введем еще следующее обозначе,(ие для любав' функции «(В) из )«(: о„(В!) = 1п( [!ь, пс([.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
