1610915356-5872c4d4ad41802c73f2f3fcece03aba (824746), страница 53
Текст из файла (страница 53)
(89) Принимая во внимание, что 0(В) л О, ляжем угверждать, что о„! (В) тв 2„(В), и, кроме того, в силу (84), (у„(В) ( и(В). Таким образом, при всяком В, принадлежащем В,, последовательность (ь„(В) имеет конечнып предел при п — со. Напомним еше определение абсолютной непрерывности: (у(В) называегся абсол(отно непрерывной на В„, если для любого заданного положительного я сушествуег такое положительное ть что [ р (В) ( ( г, если В с: В,,  — принадлежит ! о и 6 (В) Лемма 1. Если ((ь®) абсолютно непрерывна на Вь, то (г„®)-ь — (~(В) для всякого В, Пусть г ) 0 задано. При некотором разбиении В =В„'+ В„", в силу (83), имеем (р (Вл) + п0 (Вл) ( ол (В) + я ~ 'р (В) + а ° (90) Но по теореме из [72[ 1 о(В'„))7, где Š— определенное число, и из (90) следует т (и) + е — ! (91) причеи правая час~ь (т) при всех достаточно больших п, откуда в силу абсолютнои непрерывности (я ®), имеем [(1((В„") / ( а при поста (очно больших п.
Первое из неравенс гв (90) дает о (В„') ( ( о„(В) + ь. Но (р (В„') = (р (В) — ч((В,';) и, следовательно, (ь(В) = (7„(В)+ а+(ь(В„') и, в силу ! 7(В„") ~ =а, имеем о(В) — (у„®)«= 2а, откуда, ввиду произвольности а, и следует ь„(В) — ьь(В). Лемма 2. Для неотрицательной вполне аддитивной функции (у(В) предел (ь„(В) еспгь вполне аддитивная функция, абсолютно непрерывная на В,. Обозначим 1пп (ь„(В)=(~!"'(В). Принимая во внимание, что (ь„(В) И ОЗ вполне аддитивны и неотринательны и лемму из [63], можем утверждать, что о(си (В) вполне аддитивна. Из (84) следует, что О ( ~(у„®) - пО(В), а потому каждая из т„(В) абсолютно непрерывна.
!(алев из нераве,(с гва 2!"'! (Вь — В) ) (у„(Вь — В), где В с: Вм следует р("'(Вь) — 2!"! (В)) яя(Вь) — о (В), т. е. 0 ( ~(ью (В) — (ь„(В) ( (~("'! (В,) — (я„(Вь). (92) Отсюда видно, что (ь„(В) стремится к ~ь'"' ®) равномерно по отношени(о ко всем В из В,. Принимая во внимание абсолютну(о непрерывность 2„(В), можем утверждать и абсолютную непрерывность (р!"! (В) на В,. тьеиствитетьно, пусгь ! — за.(а шое положительное число. Мы можем фнксирова гь такое и = п„, что 7("! (В,)— 256 Фуьькции ььиожяста.
насолю Гиля ияпРБРыяьсость [79 —,чьим„) =. —, При этом, я силу (92), имеем салют([3) ~ сны((()+ —. В силу абсолютной иепрерыяиости сч„„(5) сущестаует такое положительное ть что сои(с)( — ', если йс:фч и 0(5)(тс, и из иаписаььиого выше иеРааеистиа следУег, что сус "Ь (Г) «= в, если й с: (ьч и 0(ьчь) =.т, и лемма доказана.
Лемма 3. Если ср®) Е 'ьг„неотрььцотельна и абсолютно непрерывна на асч, то для любого заданного а)О амеется такая суьцественно ограниченная функция с[с(5), что [[ св — с) [ь ь ( а. (93) Из (84) следует, как мы уже указывали, что О(су„(ф)(п0(ф), т. е. каждая из о„(5) — сущестяеьшо ограничена.
Кроме того, у(ьэ)— — сй„®)твО и, следопателыю, полная вариация этой разиицы иа гьч равна ее значению при асв, ь е ['9(Ф) — т~(м)[[ь=т(вв) — сгч(ч'ч). Но, и силу абсолютной непрерывности сг ®), мы имеем, согласно лемме 1: ср„(Р„) — о (Вч), т. е. Ь' ср (йч) — срл (1в)!'ь — О, и чтобы удовлетворить неравенству (93), достаточно взять за ф(В) функцию св„(5) при некотором достаточно большом п. Оказывается, можно удовлетворить неравенству (93), выбирая за с[ь (ф) некоторую кусочно-постояипую иа $в функцию. Предварительно докажем это для функций сьч(й) из Теорема 7.
Гельь с7(В) с 1сч, то для любого заданного а) О существует такая кусочно-постоянная функция оь(5), что ['у — м[[ь~ . (94) Пусть 7"(Р) — измеримая функция из (.ч иа $ч и а=;,.-',—,) ~.У( ) 0(бо, $ причем считаем это выражение равным нулю, если 0 ($) = О. Мы имеем очевидное равенство ~ [7" (Р) — а[" 0 (асс,) = ~ уч(Р) 0 (сь$) — ач0(5). $ Полагая я ием 5=1-;, и а= [ 1(Р)0(сьй): 0(гив), где гав — чайь стичиые множества из некоторого разбиения 3 множества $„и суммируя по 7г, получим [; У(Р) — Дс (Р)[7,,=!' У(Р)[йь — [[ Уь(Р)'[$,. (95) Если примеч 7(Р) = кс,(Р), где 3' ) о и яь(Р) функция, входящая я формулс 177), то, я силу (80), ув(Р) =яь(Р) и (95) дайс: [[вьь (Р) А (~ ) Йь =[[да ( )1[Во [ь Кь ( )Ью (98) 79) вспомоглтяльпыв пввдложвния (пеодолжвнив) 257 Принимая во внимание (78) и (79), может написать .' (7 В)а '- = ' 'Рн Р— 7с ть (97) В силу (76) существуют такие последовательное~и подразделении д„и дч что ~((р — барс)с„~г +! ср — сра~а и 17н„р-ь(ш:~ь Лля последовательности 3;;=3„6„' мы имеем и подавно ~(7 — 7а)с'„'8я ~)ш — 9а~|з и ~)р,"(,— ь ~7(, Полагая в (97) 3'=3„" и переходя к пределу, получим ( т 'Рь(~ а'т' (г !, '7а г2.
(98) Принимая во внимание опять (76), можем утверждать, что существует такое разбиение Ь, что правая час~ь (98) ~ а, и, полагая ш (9) = =ср„((6), мы и получим (94). Теорема 2. Егла ~Е($) с Р, и абсолютно непрерывна в 6ш то для любого заданного а)0 существует такая кусочно-постоянная на Вв функция ш(ге), что ) ~ — ш)1 (а. (99) Мы можем предсгавить 7 в виде разности двух неотрицательных функций из Ь',:э(6)=ш,®) — ря($), и если существуют кусочно- постоянные функции ш, (ф) и ш,(ф) такие, что ~ ш, — ш, ~), (— и (7„— ш,~, '=- —., то, вводя кусочно-постоянную функцию ш ®) = 2' =ш,(6)+ ша(гд), получим, в силу (59), ~р — ш ((1 ( () ср, — ш~ ! ~ + (! шя — шя!~~ ~ а, и, ~аким обрааом, достаточно доказать теорему для случая неотрицательных функциИ с(ф).
Согласно лемме 3 существуег такая существенно ограниченная функция ф(С), что 1,7 ф !',ч- —, функция ф(6) Е Ря [78] и, следовательно, существует такая кусочно-постоянная функция ш (ф), что ~ф — шя, (,, В силу (63), имеем ) 7 «'(, ( —, и, пользуясь 4О (9,) ' (59), л|ожем написать ~ с~ — ш !;, ( / ср — ф )/, + (/ ф — ш, ( — + — = а, и теорема доказана. утверждение теоремы 1 сводится к тому, что в ~', пРи ноРме ," 7'а кУсочно-постоЯнные фУнкции повсюдУ плотны, а теорема 2 сводится к тому, что кусочно-постоянные функции повсюду плотны в просгранстве абсолютно непрерывных функций из Рг при норме )~р)н 238 етнкции множвств.
лвсолютнля нвпгввывность [80 80. Основная теорема. Переходим к доказательству основноп теоремы, формулированной нами в [73]. Как и выше, достаточно доказать теорему для случая неотрицательной функции ср(В) из (гс. Обозначим, как всегда, через р'"'(В) предел ср„(В), определенных формулой (89). Равенство ср'"'(В)= ср(В), в силу лемм 1 и 2, имеет место в том и только в том случае, когда ср(В) абсолюпсо непрерывна в Во. Пусть ср(В) не абсолюз но непрерывна. Посгроим неотрицательную вполне аддитивную в В, функцию , Ы1 (В) = ср (В) — ср1"' (В). (100) Мы покажем, что ср1сг(В) есть сингулярное слагаемое в формуле (14) из [73].
Образуем 'Р„"'(В)=1пр[Р"', п0]= 1п( [Р(В) — 'Рпм (В)+л0(В")!. (!01) й = й'+ йл Вспомним разбиение В = В„'+ В„", удовлетворяющее условию (90), и неравенство (91), в силу которо~о 0(В„') — 0 при л — оо. Принимая во внимание определение (101), можем написать р„ы ' (В)» ср (В„') + п 0 (В„') — ср1 ~1 (Вл) = (В ) ! л0 (В ) [,!лс1(В), гос1 (В )] т. ео в силу (90), , „"'(В) = р. (В)+ — Ь'"' (В) — ~'"' (В.")1.
Но, ввиду абсолютной непрерывности ср'"'(В), имеем 0»ср'"'(В„")»в для всех достаточно больших и и, следовательно, 1с" (В)» ~„(В) — р'"' (В) + 2 . Принимая во внимание, что ср„(В) -ь ~слог (В), получим 11ш сргс1(В)» 2а, л со или, ввиду произвольносги в, можем написать Игп ср~'1 (В) = 0 при л оо всяком В. Но о'„сс(В) неотрицательны и не убывают при возрастании л, и потому при всяком и имеем срс" (Р) = 1п( [осссг (В') + п0(В')] = О. 3=8'+Во Применяя это к Во при п=1, можем утверждать, что для любого заданного с )О существуют такие множества Вл, принадлежащие Во и ьо, что 'рнн (В ) + 0 ((р — В,)» — „ откуда, в силу неотрицательности ср1сс (В) и 0(В), сры (Вл) — „и 0(ВΠ— Вл)» — л. (102) 239 во) осноянля теоввы л Обрззуем множество В',=В,+Вя+..., принадлежапгее Вь и 1о. Принимая во внимание, что В„~:.
В', при любом п, можем нзписать Е ы (Вь — В.) ~ †,„- и, устремляя и к бесконечности, получим О (Вь — В:) = О. С другой стороны, принимая во внимание, что Пусть ь„положительны и а, — О. Можем написать я(В,— В,„) =- =-„° О(В,„) = О. Введем мнокество Н=Р, +В, -' ... В силу второго из последы ник неравенств 0(Н)=0, и принимая во внимание, что В, с:. Н при любом п, имеем, в силу первого неравенства: е~'~ (Вь — Н) =- ь„, и устремляя п к бесконечное~и, получим о "'(Вь — Н)=0.
Итак, су~пествуег такое Н, что ср1ю(Вь — Н)=0 и а(Н)=0. Всякое В=ВН+( — ВН), но  — ВНс:.В,— Н, и первая из формул (103), в силу положительности у"1(В), дает ф ( — ВН)=0 и, следовательно, р1*'(В)=в"1(ВН). Итак, существует такое Н, что о1ь1(В)=сргь1(ВН) и О(Н)=О. Таким образом, ры1(В) есть сингулярное слагаемое в формуле (14) из ~73] и, принимая во внимание (100) и абсолютную непрерывность Т'"' (В), наы для доказательства теоремы из 1731 остается доказать следующую теорему: Теорема 3. Всякая абсолютно непрерывнаа функция у(В) из (г, молсет быть представлена интегралом В(В)= ~У(Р)6(бВ), (1О4) где у(Р) измерима и суммируема на Вь.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
