1610915356-5872c4d4ad41802c73f2f3fcece03aba (824746), страница 54
Текст из файла (страница 54)
Согласно .теореме 2, существуют такие кусочно-постоянные функпии ы„(В), что 1 (105) В) = Вг -1 (Вя В~) + (Вэ — В~ — Вя) + первое из неравенств (102) и неотрипательность е" (В), получим 'гьн (В'.) =-- а. Итак, (В)~ '" О( — В')=0 Обозначая В,— В',=В„можем угверждагь, что для любого ь ) 0 сущесгвуег такое множество В„из В„, что ~ы' (Вь — В.) ( а и 6 (В,) = О. [~ылы гл» ~ ~~'Р»'лы ~+ 'и '"л и('эл 1 Но всякая вл(В) есть интеграл от кусочно-постоянной функции а„(Р) с конечным числом конечных значений на В„[78[: м., (Ы вЂ” . (В) = ~ [К., (Р) — К.(Р)[007(6).
В Полная вариация этой функции множеств, представимой интегралом, выражается формулой [73[: — „,.'' = ~[К„, (Р) — К„(Р) П(г)В), Йл откуда ~,К., (Р) — К. (Р) [О 07В) === .,;, В» (106) и ряд, составленный из этих интегралов, сходится. При агом почти везде в Вл сходится ряд [54[: ~д(Р)[+[д,(Р) — К,(Р) ~+[да(Р) — д„(Р)[+... ()07) и тем более почти везде сходится ряд 1(Р) = аг (Р) + [а (Р) — а (Р)[+ [аа(Р) — К.
(Р) [+." т. е. почти везде в В,:д„(Р) — г"(Р). Сумма ряда (!07) есть, в силу оценки (106), суммируемая на В, функция. Но (Д(Р) ,'-= эгон суммы, а потому 7"(Р) также суммируема. Мы можем написать У(Р) =и. (Р)+М.л (Р) — К. (Р)[+ [А"., (Р) — К., (Р)[+.", и, принимая во внимание оценку (!06), получим для любого В из Ва: ~ г(Р) — ~л (Р) [ П ИЫ ~ 2» + 2. - + " — 2л! ! ! $ откуда непосредственно следует, что 1)п1 ыл(В) = )пп ~ с»л(Р) 0 (г)В) = ~ 7(Р)О(г(В) и лл л со Й В 260 Функции чножестя. Авсолютная нвпевеывность [80 очкуда следует, в силу (69), 261 81) интягРлл ХРллннгяРл откуда ш„(8) — м(б) при всяком б, т. е. ! (8) = ~ У(Р)0 (г!б) и теорема доказана. До сих пор мы предполагали, что 0((Х„) конечное число.
Если 0(бл)=+со, то результат получаегся предельным переходом от множеств бл с конечным значением 0 (бл), для которых теорема доказана, причем у(Р) не зависит от и. 8!. Интеграл Хеллингера. Исследуем более подробно семейство Им Отл~етим прежле всего, что из условия (60) следует, что если м(8) ь рм то она абсолютно непрерывна. При этом мы имели формулу (98) !1; таЬ=~~~ 1я — !1В Ь и, кроме гого !781: уа (5) = ~ ~а (Р) 0 Ыб) и ',~ сра1, = ~ 8', (Р) 0 (г(8). ( ! 09) г, 'лл В силу (76), можем выбрать последовательность подразделений бля так, чтобы иметь неравенство 1 1~9 тгл(Я !9! Я ~)!лгл1Я 4л+10(фл) ' При этом, в силу (62), будем иметь )~7 — э,„,, -- —,„,, и из доказательства теоремы предыдущего параграфа следует, что е.
(Р) -' — у(Р) почти везде на бя и ~(б) = ~ У(Р) 0((В). (111) Из (100) и (11О) следует, что при эгон 1 ~,-'„(Р) 0((В) ~~~ ~~!, и 1 а-'.„(Р) 00(б) Ы' Вл Фа Пользуясь теоремой 4 из [641, можем написать Уг(Р) 0Иб) М~) Ва (! 12) при всяком б. С другой стороны, из определения полной вариации по б, и (105) следует 19(б) мл(б)~ — !'л мл'! л-1 262 Фанк!!Ии множвств.
твсолка ноя нвпгн'ыаность [81 ОтКуда СЛЕдувт, Чта У(Р) Е Е, На сьЬ. ЛОКажси тЕПЕрЬ НЕраВЕНСтВО противоположное (112). Применяя к (111) неравенство Буняковского, напишем У'(бь) « ~ У" (Р) 6(дВ ~ 0 (Ф) = 6 (Ф ) ~ Уэ(Р)0(с(В). ьь Пела на 6(~ь) и суммируя по и, получим (113) а потому и для точнои верхнеи ~ранним написанных сумм будем иметь ~1 у!! « ~ У'(Р)П(йВ). Юь Сравнивая с (112), получаем (1! 4) Мы доказали, что для всякой о(8) из 1', функция у(Р), входящая в представление (111), принадлежит Ум и что имеет место формула (114). Наоборот, если нам известно, что д(5) представимо формулон (111), где у"(Р) Е Е, на Кь, то из оценки (113), выведенной лишь на основе (111), следует, что р(5) е (гя Принимая во внильание единственность представления в виде (11!), можем утверждать и справедливость формулы (!14).
Мы приходим, таким образом, к следуюшеи важнои теореме: Теорема 1. Для того, чтобы у(5) принадлежала !г, на Ьь необходимо и достаточно, чтобы е®) н,пело представленпе (1!!), где у(Р) С Ея на Сь. Если это условие выполнено, то имеет кесто формула (114). Укажем другое необходимое и достаточное условие принадлежности у(5) к (гэ. Теорема 2. Для и!ого чпгобы и (8) принадлежала (гт на фь, необходимо а достаточно сугцествованпе такой вполне аддптпвной на 9 неотрицательной функции Н(ф), чп!о выполняется неравенство ~'($) «0(Ф) НЮ. (115) )!еиствительно, если это услсвне выполнено, то суммы Бь(м) ограничены: Бс(у)= у 9— „. ь"-;(УНа,)=Н(1„!. 263 81) ингягРАл хяллингвял Наоборон если р ®) Е ! и то имеет место формула (1! 1) и У(Р) Е 1., на ~ч, а следовательно, и на як~бом измеримом относительно 0 (5) подмножестве $„.
Положим (! 16) Применяя к (!!1) неравенство Буняковского, мы получим (115), и, таким образом, теорема доказала. Если Е ®) Е !гя на о~а, то точная верхняя граница сумм Ба(~) называется интегралом Хеллипгера и обозначаегся следующим символом: ~ т!в= япроа (т)= ) б(д8) Ве (117) Формула (114) дает при этом преобразование интеграла Хеллингера в интеграл У!ебега: 1 у( ) (в). (118) Если подразделение 6' есть продолжение 3, и 1 есть интеграл (!17), т. е. точная верхняя граница сумм 5,(а), то, как мы знаем, Ба (в) ( 5м (а) == г.
Принимая это во внимание, можем утверждать, что интеграл (117) обладает следующим свояством: при любом заданном я)0 сущес гвует такое подразделение Ь„ что лля любого его продолжения имеет место не- равенство 11 — Ба (9) ~ ( а(Ь' — пРодолжение Ь,). (119) ~1 — 8,. (!ч); — а и /1' — Ба(!я) /(а; (ч — продолжение в ). для указанных 3, получим асилей г" — 1=(1 — оа(9)) +(ог(т) — !): )1' — 1) =.
)р — Я,(а) ~+11 — 5,(ср);(2а, откуда, в силу произвольности а, и следует, что Р=!. Пусть ~(ф) и е,($) ~ 1',; рассмотрны сумму (120) Покажем, ч ~о число 1 с указанным своиством может б ы т ь т о л ь к о о д н о. Пусть имеется еще число с' с указанным свойством. Кроме (119) мы будем еще иметь ( Н вЂ” Ям (р) ! (а, где 6,' играет роль Ь, в (!19).
Взяв произведение Ь =Ь,ч', можем написать оба неравенства 264 ФХНКННИ МНОЖЕСТВ. ЛВСОЛЮТНЛЯ НЯПРВРЫННОСТЬ (81 которая может бьмь, очевидно, предсганлена и ниде 1 'С')(Т(Ва)+" (Вь)!о 1 'ь':;о($!) 1 С~ Т (Во) — о 0(ВА) - 0 (Во) 2 о О(!'о) т. е. 1, 1 1 2 'а(о) '! ' тИйт (пВ) 0 ИВ) Во (122) Принимая во внимание (121), можем написать т(нВ)т ИВ) 1 (' (ТИВ)+т (лВ)!' ! 1" ТТИй 1 (' е 'ИВ) 0(аВ) 2,) 0(а$) 2 ) 0(аВ) 2,) О (чВ) ' Во Во Во Во или, принимая во внимание (118), у(Р)У (Р) 0 ИО оГ (' 0 ИВ) (123) Во где уо(Р) — функция точки из !'и соответствующзя вг(В): В (В) = ) у"! (Р) 0 ФВ).
$ (124) Более общие суммы инда а= тп(l„)— Ъ ! т (Во) у! (Во) (В!) (125) где сс(Р) ограничена и измерима оыгосительно 0($), и Ра — любая точка из В», изучаются так же. Можно показать, что и для этих сумм сущестнует единственное число г, обладающее свопством (119), в котором Яо надо заменить на во, причем указанное в (119) нераиенство выполняется при любом выборе Р„. Это число ! может быть выражено интегралом Лебега — Стилтьеса: г= — ~ п(Р)У(Р)Уо(Р) 0(НВ). Во (126) Для каждой из сумм, стоящих справа, мы имеем свойство (119), причем В мы можем считать одним и тем же, так как различные 3 можем заменить их произведением. Таким образом, и для сумм Я! (оу, а!) Мы имеем снодство (119); соответствующее число ! для сумм (120) обозначается так: 265 82] СЛУЧАЙ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО Свойство (119) лежит в основе общего определения интеграла. В следуюГцих параграфах мы более подробно рассмотрим случай одного переменного.
82. Случай одного переменного. При исследовании случая одного переменного мы будем исходигь ог функции точки и рассматривать простеИший случай непрерывных функциИ. Для краткости письма будем пользоваться следующим обозначением: если и — некоторый промежуток [д, 8], то символом Ь т(х) будем обозначать разность -.
([6) — -. (я). Пусть А (х) — неубывающая непрерывная па конечном промежутке [а, Ь] функция и г (х) — вещесгвенная непрерывная на этом промежутке функция, обладающая тем свойством, что Ь Р(х) = О, если Ь 6 (х) = О. Пусть д — некоторое разбиение промежутка [а, Ь[ на конечное число частичных промежутков Ьь и (127) Слагаемые, имеющие вид 0: О, считаются равными нулю. Эта сумма не убывает при добавлении новых точек деления [78].
Мы пользуемся разбиением только на промежутки и должны будем приводить доказзтельства теорем, аналогичных тем, которые имели при разбиении на множества, измеримые относительно 0(Р). Теорема 3. Для ограниченности .Нножества значений сумм О необходимо п достаточно, чтобы сущеспгвовала такая неубывающая ограниченная на [а, Ь] функция й (х), чгпо для любого промежутка пз [а, Ь] выполняется неравенгтво, (Ь Р)'(Ь е Ьй. (128) Если это условие выполнено, то слагаемые суммы Я6 не превышают йьй и для любого разбиения имеем Я6--й(Ь) — Ь(а). Докажем теперь необходимость (128). Если суммы 56 ограничены для всего промежутка [а, Ь], то тем более они ограничены и для любого частично~о промежугка.
Обозначим через Ь(х) точную верхнюю границу Я6 для промежутка [а, х]. й(х)=зцр56 для промежутка [а,х]. 6 Совершенно так же, как мы доказывали аддитивность полной вариации [8], можно доказатгч что точная верхняя граница Я для любого частичного промежутка [я, р] равна й(8) — Ь(х)=йй, и, следовательно, Ь (х) есть неубывающая и ограниченная функция.
Если мы не будем делить й на частичные промежутки, то сумма 36 для промежутка й приведггся к одному слагаемому (Ь р)6: йа, и оно ме ыпе точной верхней границы йй сумм 56 для Ь, и, следовательно, (йгг)6: йй(ЬЬ, чго и приводит к (128). 288 Функции множеств. лвсолнггштя нкпегщын!юсгь [82 Пусть 0®) — функция множеств нз [а, Ь[, порождегшая функцией точки и(х), и предположим, что тч(х) имеет вид (129, где у(х)Е!.е Имеем ото= ~ /(х)0(с(8) = ~ г"(х) гУа(х), и, применяя нераненстяо Буняковского, получаем (11Р)а ~ ~ Уч(х) 0 (Ф) ~ 0 (Щ=- Л8 (х) ~ Уч(х) 0 (8$), т. е, выполнено условие (128), и (130) причем, в силу непрерывности е(х), указание на замкнутость или незамкнутость промежутка [а,х[ несущественно.
Формула (129) приводит к нполне аддитивной функции множеств '~1 та(ра) ;и 0($„) (131) имеют точную верхнюю границу 1, выражаемую формулой (118): (132) Покажем, что ту же верхнюю границу имеют н суммы (127), соответствующие разбиению [а, Ь[ лишь на промежутки. Она не может быть, во всяком случае, больше!.
Пользуясь абсолюпаой непрерывностью э($), мы покажем, что интеграл (132) является и точной верхней границей сумм (!27), которые получаются при разбиении [а, Ь[ на промежутки. В силу сказанного выше, для любого задан- определеннов для множеств 8, измеримых относительно 0 ($) и принадлежащих [а,Ь[, причем дтч= а(о). Суммы 82] 267 сл» ч»й одно~о пвеяманного ного положительного а существует такое разбиение 3 промежутка (а, Ь) на измеримые множества Р„(/г = 1, 2, ..., л), что (! ЗЗ) где буквою 1 мы обозначили интеграл (132). Принимая во внимание необходимость услония н теореме 1 из !37), можем утверждат»ч что для любого га» существуег элементарная фигура 77», т.
е. конечная сумма полуогкрытых промежутков бев общих точек, такая, что 77» -' е~, = 13» + е»' (7 =1, 2, ..., и), (134) где меры е„' н е» вЂ” сколь угодно малы. Множества 8» попарно без общих точек, но»с» могут иметь общие точки зз счет е», т. е. )с»)с»с. е';е~', и меры этих общих частей также сколь угодно малы. В каждом из равенств (134) мы можем общую чзсть 74» с остальными Яп которая представляет собой сумму конечного числа полуоткрытых промежутков, отнести к е». Если т,— наиболыпая из мер е» и е», то при таком переносе для новых е» будем иметь 6(е»)((и+1)т1, ибо 0()7»)7,)<О(е»е,")(т» Таким образом, можем считать, что в равенствах (134) Я не имеют попарно общих точек, и меры е~,, и е;,' сколь угодно малы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
