1610915356-5872c4d4ad41802c73f2f3fcece03aba (824746), страница 55
Текст из файла (страница 55)
Принимая во внимание (133), з также абсолютную непрерывность 7((3) и взяв меры в» и е» достзточно малыми, можем написзть Пусть Ь, (а=1, 2, ..., т) — промежутки, входящие в состзв нсех 77», Припивая во внимание (62), получим т !41 0 [Ь,) » ! (135) В силу непрерывности е(х) и Г(8), можем Ь» считать замкнутыми или открытыми промежутками. Эти промежутки могут не покрывать 1а, д). Лоб»ваяя неотрипательные слагаемые, соответствуя>щие оставшимся промежуткзм, мы для полной суммы тем более будем иметь (135) и, н силу произвольносги а, следует, что интегрзл (132) есгь точная верхняя гранина сумм (!27) при условии (129), где 7(х) с 7.» Отметим ен!е, что, в силу предположенной непрерынности д(х), фупкпия 7»(х), определяемая формулой (!30), непрерывна.
Покажем теперь, что если выполнено условие (128), т. е. суммы (127) ограничены, то Г(х) представима формулой (!29), гдеу (х) с 7». 268 Фуикнии ьн!Ожвстя, ласолю'пгля нвпгвгывность [82 Пусть о — некогорый промежуток из [а, Ь[ и Д'„— частичные промежуп<и его некоторого разбиения. Из (128) следует, в силу неравенства Буняковского: (~, 'Д'„Е])з== (~ [~дьЬ [~Л'„д )" ~„б„'Ь ~ Д'„8; (136) а ь т. е.
(~~~ ~ <а<Е]]" ==-. <ги Ыь Лля точной веркней границы сумм, стоящих слева, при любых разбиениях спранедлнво то же неравенство и, следовательно, Р (х) есть функция ограниченной вариации и для ее полной вариации э(х) мы имеем неравенство (и о (х) )я ( (г ч <1<6.
(137) Если Д'„— какие угодно неперекрыяаю<пиеса промежутки иа [а, Ь], то из (136) следует (~ ] ца(< ~ )" ( ~ Да8 [й (Ь) — й (а)]. Если сумма, стояшая справа, (а, то имеем ~] Ьа(г] <= [< в )< й(Ь) — й(а), и, в силу произвольносги м отсюда следует, что Р(х) абсолютно непрерывна по отношению 8.(х), и, следовательно, гч (х) = ~ 7" (х) <(у (х) + С << (138) Остается показать, что у(х) Е (.з. Построим ограниченную функцин: л, если 7(х)) и, 7"„(х) =у (х), если /7 (х)] ( л; ~„(х) = — л, если ~(х)( — и, и положим Р„(х) = ] 7'„(х) в<и (х).
(139 а функция 7"„(х) Е (., и, следовательно, в силу доказанного выше, зцр ~ ь " = ~ 7'„г(х) <(д'(х). ь а а (140) Если интеграл (138) мы будем брать по различным множествам 5 из [а, Ь], измеримым огносп<чк<ьцо д(х), то получим функцао мно- 83] снойстВА интвггллл хвлликгвгл жести, полная варгюния которой на [а,х] выражается интегралом ]73]: с (х) = ~ ] /(х)1г/» (х). а (141) Если будем разбивать ]а, х] только на прол~ежутки, то получим для функции (138) ту же полную вариацию (74].
Принимая во внимание (137), имеем ° р з'""' =/и д»я (142) где Л- — конечное число. С другой стороны, в силу (139) и (141), имеем' ,Ь»р„, '( Л»о и, принимая во внимание (140) и (142), получаем при любом п: ~ )'я (х) /. (х) (М, а 83. Свойства интеграла Хеллингера. Точная верхняя гранина сумм (127) есть интеграл Хеллингера, который обозначается аналогично (117): » ] р(х) ]' (143) ая (х) а причем имеем для него формулу (144) Г(окажем, что этот интеграл является просто пределом сумм (127) прп беспредельном измельчании прод жутков Ь». откуда и следует, что )(х) с / и Г!редыдущие рассуждения дают следующую теорему, Теорема 2.
Условие (128) равносильно тому, что с (х) представил»а в виде (138), где /(х) С /.и и если условие (128) выполнено, то точная верхняя граница сумм (127) выражается интеграла.н (132). Бо всем предыдущем мы можем не считать я-(х) и с'(х) непрерывными. При этом основной промежуток берем полуоткрытым н делим его на полуоткрытые промежутки, для которых Ьи=д(р + О)— — » (а + О). Все результаты, кроме непрерывности й(х), сохранятся.
Отметим, что из условия (128) и непрерывности 8 (х) следует, что можно написать условие (128) с непрерывной й(х). 270 ьь нкцин множвств. ласолютная нвпгввывносы 183 Теорема 8. Если Е(х) уг)овлетворяет условссю (! 28) и Р~ (х)— аналогично.иу условссю (~Е,)'~баб|,, (14о ) (8 (х) — непрерывна), то сумма (127) и су.има, Ху' Дьр аЬЕ! аьа (146) имеют определенный предел прп беспредельно.и ггзлсельчанггп йь, причем предел гум.пы (127) равен точной верхней грангще таких гччп.и, т. е. интегралу (143). Пусть, как и выше, 1- — точная верхняя граница сумм (127).
Для заданного г)0 существует ~акое фиксированное разбиение 8, на промежутки, что Я;„тм1 — а. Пусть 8 настолько тонкое разбиение, что каждый частичный промежуток 8 содержит не более одной точки деления из дь, и что приращение непрерывной функции Ь(х) на каждом частичном промежутке 8 не больше а.
7(ля разбиения 88ь мы имеем оьь ~оь ~1 — -'. п ь (147) Если р есть число точек деления в разбиении дм то не больше р частичных промежутков В при переходе к ЬВь разобьются на два промелгупса, и при этом соответствующее неотрицательное слагаемое суммы Яь заменяется двумя неотрицательными слагаемыми суммы Яььы Каждое из этих трех слагаемых, в силу сказанного выше о приращении гг(х) и свойства (128), не больше а, и, следовательно, 0 ( Ям — 8ь ( 2ра. (аь (Е+ Ед)" аьа так же, как и аналогичные суммы для Рг(х), имеют предел при бес- предельном измельчании Ь .
Отсюда следует, что и сумма К~ ('+ )р С(а. ) ~(а,е,)' аьй 2 Л, аьн 2 ' Лье 2 ' ььд ь Ф а а Сравнивая с (147), получаем Яь)1 — (2р+1)а, откуда, в силу произвольное~и а, и следует, что сумма (127) при беспредельном измельчании Ьь стремится к Е Лля исследования сумм (146) отметим, что Р (х) + Е,(х) предсгавима формулой вида (138), где Дх) -1- + Уг(х) ~ )и и суммы 27 ! 88) свойства интвгиалл хвллингвят также имеет предел. Он совпадает с интегралом (122). Таким обра- зом, получаем следующие интегралы Хеллингера: ь а ~ — =1пп ~~ ! ) — — — 1пп ~~ ' . 148 И~)' ! ~т (ааЬР .
(' Л~'Ь' 1 У аь' аьЬ~ (!48) а ь й а В силу сказанного в !81~, ' = ~ 7'(х)/~(х) л!л (х), а и где ~,(х)= ~ У,(х)г(я (х). О (149) Можно рассматривать более общие суммы ~~! и (Еа) —" (1о0) чу ) дьг а„Р, аьа (!51) где и(х) непрерывна в !а, Ь], существуют интегралы (148) и („— любое значение из ба. Эти суммы также имеют определенный предел при беспредельном измельчении ба.
Достаточно доказать это для сумм (150). Рассмотрим суммы Х ° ' ' гл (аьО' (1о2) вал ' ь а ь (153) где гла — наименьшее значение непрерывной функции н(х) на замкнутом промежутке дь. Совершенно так же, как и выше, можно показать, что суммы не убывают при добавлении новых точек деления, что они ограничены и имеют определенный предел при беспредельном измельчении 5ь. В силу равномерной непрерывности а (х) и условия (128), разность сумм (150) и (152) стремится к нулю при беспредельном измельчении и„, и, следовательно, суммы (150) также имеют определенный предел. Мы получаем, таким образом, следующие и~!тегралы Хеллингера: Изложенную теорию можно распространить и на тот случай, когда и(х) разрывна. Указанные суммы имеют определенныа предел для регулярной в смысле общего интеграла Стилтьеса послсдозательности подрвзделении 3„.
Вся изложенная теория остается, очевидно, справедливон и для того случая, когда с'(х), Г,(х) и и(х) — комплексные фуш<нии, причем Р (х) и Р~(х) должны удовлетворять условию )Дс!(Дд Д/г; (Дс )(ДаДДР Везде надо заменить квадраты на квадраты модуля, т. е. (Дяс)' На ) ДВС'",. Отметим еще некоторые простые свойства интеграла Хеллингера. Пусть Ф(х) удовлетворяет условию (128) и пе убывает. Построим функпию (154) где п(х) непрерывна, и рассмотрим суммы '~" (аь7')" аяа й (155) Применяем теорему о среднем: Д,Р= ~ п(х)В1Ф(х)=п((я) Даф, где са с Д„. Сумма (155) перепишется в виде и в пределе получим ~ (ЛР)' ~ пя( ) (ЛФ)' Совершенно аналогично, если наряду с (179) имеем Р,(х)= ~ и,(х)ЫФ,(х), й 272 ФУНКГГНИ МНОЖЕСТВ. ВБСОЛЮГНЗЯ НЕПРГРЫВНОСТЬ (83 Вз) 273 свойства интвсвллл хвллинГРРА еде Ф,(х) удовлетворяет условию (128) и не убывает, а п,(х)— непрерывна, то получим (156) Если Ф(х) и Ф,(х) удовлетворяют условию (!28), но не монотонны, то получим также формулу (156), пользуясь каноническим представлением Ф(х) и Ф,(х) в виде разности неубывающих функций.
Отметим, что тт(х) и Р, (х) также, очевидно, удовлетворяют условию (128). ГЛАВА 1Ч МЕТРИЧЕСКИЕ И НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА 84. Метрическое пространство. Начало настоящей главы мы посвятим изложению теории некоторых абстрактных пространств, а затем укажем приложения этой теории к различным конкретным пространствам — главным образом к функциональным пространствам, т.
е. к множествам функций определенного класса. Одно и то же абстрактное пространство может иметь несколько различных конкретных осуществлений, и изложение теории абстрактных пространств является поэтому целесообразным. Всякое абстрактное пространство есть непустое множество элементов, которое подчиняется некоторым аксиомам. Природа элементов не определяется, н теория какого-либо абстрактного пространства есть следствие тек аксиом, которые определяют это пространство.
Мы будем, для связности изложения, сначала полностью проводить теорию абстрактного пространства, а в конце — применения этой теории при различных конкретных осуществлениях этого пространства. Начнем с теории так называемых метрических пространств. Множество Х элементов, которые мы будем обозначать последними буквами латинского алфавита (х, у, г и т. д.), называется м етрическим пространством, если в нем, каждой паре элементов х, у сопоставляется неотрицательное число р(х,у) (расстояние междухиу), причем имеют место следующие условия: 1. р(х, у)) О, причем знак = тогда и только тогда, когда х=у, т. е. х и у — один и тот же элемент; '2. р(у, х) = р(х, у) — аксиома симметрии; (!) 3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
