1610915356-5872c4d4ad41802c73f2f3fcece03aba (824746), страница 59
Текст из файла (страница 59)
Рассмотрим краевую задачу для эллиптического уравнения: (О), (25) (26) и) непрерывна в четырехг, и), соответствующей д и — ЛУ(к,у, л, и) =О внутри и[,=О, ~ де д — оператор Лапласа. Мы считаем, что /(к,у, г мерной замкнутой области пространства (х, у, у(х)=л ~ К[к,с,у(с)[д(, а где [а, Ь[ — конечный промежуток, К(д, й л) — непрерывная функция своих аргументов при а ( к ( ь, а ( с ( ь и [ г [ с с, где с — данное положительное число.
При любом выборе функции у(г), непрерывной при а (т(Ь и удовлетворившей условию ! у (г) ~ ( С, К [х, О у (т) ] — непрерывная функции (х, Г) в указанном выше квадрате (Л. Пусть [К(х, О л), (Ы при (х, С)((Л и [л [(С. Если [Л [и'(Ь вЂ” а) (С, то правая часть (24) есть оператор Ау в С [а, Ь[, у которого 0(А) есть сфера р (О, ч) ч С, где О есть непрерывная функция, равная нулю на [а, Ь[, и )с(А) принадлежит этой же сфере. Отлгетим, что неравенство р(О, у) (С можно записать в виде [ у(х) ! ч-.С. Положим, кроме того, что ядро К(х, г, а) по третьему аргументу удовлетворяет условию Липшица, т. е. [К(х, О л1) — К(х, О лэ) ! ( Ф[ лг — ат [, 288 э!БТРические и ИОРмиРоелиные ПРОстРлнстзл [89 изменению (х, у, г) в замкнутоИ области 0 ири ! и ! ( С, и имеет непрерывные производные по своим аргументаи внутри этой области, причем эти производные непрерывны вплоть до ее границы.
Положим далее, что !У(х, у, г, и)! ( л' при (х,у, г)(0 и !и!(С и ! у(х, у, г, и ) — г (х, у, г, и ) ! ( Ла ! и, — и, ! при указанных условиях ( ! и, ! н ! и, ! ( С). Пусть 0(х, у, г; Б эв С) — функция Грина оператора Лапласа для области 7) при предельном условии (26) [1Ч; 220!. Введем точки Р (х, у, г) и 0 (.-", ч, С) пз О. Решение задачи (25) и (26) равносильно решению интегрального уравнения (27) и(Р) =л 0 (Р; 01У[Д; и (Д) ! а(эо в пространстве С(0) функций и(Д), ненрерывньах в 0 [!Ч, 224!.
Известно, что 0 (Р; 0) ) О в 0 !1Ч, 221[, н существует конечный шах [ 0 (Р; О) ага, = О,. РЕо ) Если ! Л ! 0, а((с, то правая часть (27) есть оператор в С (0), у которого Р(А) есть сфера р (О, и) ( с в С(77), (т. е. ! и (Р) ! ( с в В) и )7(А) приналлежит этой сфере.
Принцип сжатых отображений применим к уравнению (27), если ! Л !)Ч0а ( !. Таким образом„ при выполнении условий !Л!гЧ0а ( 1 ! Л ! 0аа((~ с задачи (25) и (26) имеет в сфере ! и(Р) [(с одно единственное решение. Оно может быть получено по методу последовательных приближений, примененному к (27) при любом выборе начального приближения из указанной сферы, и приближения сходятся равномерно к решению в О. 89.
Компактностьэ Мы вводили раньше понятие компактности для одного частного случая [1Ч; Зб[. Сейчас мы рассмотрим это понятие для общего метрического пространства Х. Множество У элементов Х называется компактным в пространстве Х или просто к о м п а к т н ы м, если любая последовательность элементов х„из У содержит сходящуюся подпоследовательность.
Если, кроме того, У замкнуто, то оно называется кои па ктным в себе. Нетрудно видеть, что ограниченность множествз У есть необходимое условие его компактности. Лействительно, если У неограничено, то существует такая последовательность х„ из У, что р(а, хл) -а. -+ + со, где а — какой-либо фиксированный элемент. Из этой последовательности х„ нельзя выделить сходящейся подпоследовательпости, ибо всякая сходящаяся последовательность ограничена.
Ограниченность У является и достато щым условием компакпюсти в )2„[1Ч; 16[. В общем случае метрического пространства это не имеет места, и мы установим сейчас необходимое и достаточное условие компактности. Введем сначала одно новое понятие. Будем говорить, ч а о и н ожестио У имеет конечную а сеть, где г — заданное положи- 289 891 компактность тельное число, если существует конечное множество х (<г = 1, 2,..., 1) элементов Х таких, что для любого х из У найдется такой алеке<п х, из указанных элементов, что р(х, х,) г.
Отметим, что элементы хь могут и не принадлежать У. Теорема. Длн того чтобы .иножес<пво У элементов полного ие<прического пространства было ко.ипактным, необходимо и достаточно, чтобы оно п.иело прп любо.и г)0 конечную а-сеть. Н е о б х о д и м о с т ь. Предположим, что при некотором ь,) О для У нег конечной ь„-сети, и покажем, что У пе компактно. Возьмем некоторый элемент х, Е У. Можно угверждать, что найдется такой элемент х, к У, что р(хп х,))а,. Действительно, в противном случае мы имели бы р(хп х)ч-.г, для всякого х й У, и один элемент х, давал бы а;сеть для У. Далее найдется такой элеме<ы ха, что р(хп ха))а, (<=1, 2), ибо в противном случае элементы х, и х, давали бы ь„-сеть для У и т. д.
Таким образом, получ«м бесконечную последовательность элементов х„ из У такую, что р(х , хч) ) г, при всех р г'= д. Для любой подпоследовательности х„ь(н = 1, 2,...) будем тзкже иметь р(х„т х„, ) ) аь при пь --,~ пп и, следовательно, никакая подпоследовательность для х„ не может быть сходящейся, т. е. У не компактно. Д о с т а т о ч н о с т ь.
Предположим, что У имеет конечную а-сеть при любом г)0, и пусть х„— какая-либо последовательность элементов У. Нам надо доказать, что из нее можно выдели~ь сходящуюся подпоследовательность. Если при бесконечном числе значений п элементы х„ совпадают с одним и чем же элементом у, то подпоследовательность у, у, у,... есть сходящаяся подпоследовательность. Положим, что указанное обстоятельство не имеет места. Тогда, оставляя в последовательности х„ из группы равных элементов только один (например, элемент с наименьшим номером), мы получим последовательность различных элементов. Можно считать, что уже основная последовательность обладает этим свойством. Фиксируем какое-нибудь положительное число а.
В силу существования для У конечной — се- 2 Е ти существует конечное число замкнутых сфер радиусз — таких, что 2 все элементы У, тем самым и все х„, принадлежзт этим сферам. По крайней мере одной из них принадлежит бе численное множество хег ь Обознзчим одну из таких сфер Я< < — ). Дзлее существует конеч- (2)' ь ь ное число сфер радиуса — „которым принадлежат все х„из 5< ~ — 2), Возьмем из них ту сферу Яч < — ь1е которая содержит бесчисленное ч(2<о множество упомянутых элементов. Точно тзк же существует сфера < Е 6 Яь1 —.„) радиуса —;, содержзщзя бесчисленное множество элементов 290 мнггн'!Бскнз н ноР«|ивов«!шь$в пвостР«пстнв [90 !Е1 !я х, принздлежащих одновременно Я! [ — [ и Я, ' — !.
Продолжзя так н л [ 2 [ 1 2! !ч дальше, получим бесконечную последовательность замкнутых сфер !'! ! Яд, -« таких, что рздиус Я« ! †«! есть †,«, и Я« [ -«1 содержит бесчис- «!,2 ! ленное множество элементов х„, принадлежащих одновременно всем сферам Я вЂ” ) при лг(к. Из каждой из указанных сфер Я«, -«, ['«! «! !2«!,) мы берем по одному элементу х„«, причем можем считзть п!) л« при 1) Ь. Таким путем у нас получается бесконечная подпоследовательность е„ последовательности х„. Принимая во внимание, что для любых двух элементов х и у, принадлежащих одной и той же сфере радиуса г, мы имеем, в силу аксиомы треугольника, р(х, у) ~ 2г, можем утверждать, что Р (е„, х„«) (2«= — ! при л!) л«. Отсюда, в силу полноты пространства, следует, что х„«есть сходящаяся последовательность. Теорема доказана.
3 а ме ч а н не 1. Лля компактности достаточно наличие не конечной, но лишь к он па ктной а-сети при любом а)0. Это значит, что при любом а)0 существуют такие сферы радиуса а, содержащие все элементы У, центры которых образуют компактное множество. Обозначим это множество центров через Уп Для У, по доказанной теореме (необходимость) существует конечная «-сеть, и из аксиомы треугольника непосредственно следует, что зта сеть будет конечной 2« сетью для У, откуда, в силу произвольности а и доказанной теоремы (достаточность), и следует, что У в компактное множество.
3 а м е ч а н и е 2. Отметим, что У может совпадать с Х, так что можно говорить и о компактности всего пространства Х. Пользуясь непрерывностью расстояния, легко доказать, что всякое компактное пространство есть полное пространство. Тем самым всякое компактное в себе множество У элементов Х есть полное метрическое пространство, 90.
Компактность в С. Пусть С вЂ” пространство функций, непрерывных на конечном промежутке [а, Ь], и У в некоторое множество элементов С. Мы видели, что ограниченность и равностепенная непрерывность функций, входящих в У, есть достаточные условия компактности У [1Ч; 16[. Локажем, что эти условия и необходимы. Пусть У компактно. По доказанной теореме, при любом заданном « ) 0 существует конечное число функций !«!(1), !уя(Г),..., в (1) из С таких, что для любой функции !«(Г) из У имеем [ р (1) — 9, (Г) ! ( — при а (1 =.
Ь, 291 компактность в (.р 91) где о,(1) — одна из указанных выше функций. Для всех этих функции, поскольку их конечное число, существует такое положительное т), что ! ~а (т+ Ь) — ~уь (1) ! =. З при ! Ь ! =- т1 (Ь = 1, 2,..., р), (т и 1+Ь Е [а, Ь!) причем т) зависит только от а.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
