1610915356-5872c4d4ad41802c73f2f3fcece03aba (824746), страница 63
Текст из файла (страница 63)
Из хи= ° 0 следует, что при любом задан«ом 5) 0 существует такое !Ч, что ~,хи <'( з при и )<Ч и, в силу (44), / Ах„', -.СВ при л- <Ч, оп<уда, ввиду произвольности 5, и следует, что Ах„=' <У. Положим теперь, что Ахи=~0', если х„=~~ =)О, и докзжем (44). Если х=0, то (44) приводится к неравенству (0') =.С<!О<<, т. е. 0(СО, которое выполнено (со знаком=) при любом выборе С, и достаточно доказать (44) при х ф О. Доказываем от обратного.
Если (44) не имеет места, то существует такая последовательность х„Е Е<(А)((х„'<)0), что !Ахи)'=С„(,х„~1 где С„-и ! -и + сс. Вводя элементы «„ = хи( В (А), у которь<х,'~«„~ -и О, и ! «и !' получаем )<А«,('=1, что противоречит непрерывности оператора Ах на нулевом элементе. Если А есть оперзтор апулирования, т. е. Ах = 0' для любого хб О (А), то в (44) можно положить С= О.
Для всякого другого операторз обязательно С) О, и существует наименьшее положительное С, при котором имеет место неравенство (44). Оно называется нормой оператора А и получается по формуле: 971 305 Опвглтогы в 1югмиговлнных пгостглнствхх Теорема г. Гслп длл дпсгнрпбутовного ограниченного операгпора А лпнеол 0(А) плотен в Х, пго Л моанно распространить на все Х с сохранение к дастрпбутпвносгпп и нормы. Поскольку 0(А=Х, можем любоп элемент х,С Х представить как предел х„=)х„где хлС 0(А). Покажем, что в Х существуег предел Ахл, когорып не зависит от того, какую именно последовательность хл мы взяли.
Денствнтельно, '(Ах„— Ах '!=,';А(х„— х ))()',А ~~,'х„— х ') и, в силУ х„=гхл, пРаваЯ часть -ь О, пРи и и т-ь+оп, но тогда и )Ах„— Ах 1-ь О, и, в силУ полноты Х', сУществУет пРедел Ахл. Остается доказа~ь незанисимосыь предела Ахл от выбора последовательности хл. Пусть хл и х,'С 0(А), причем х„=гхл и х„' = гхл. Надо доказать, что пределы Ахл и Ах„' совпадают. Самое существование пределов вытекаег из предыдущего. НетРУдно вилетгл что последова гельпость х,, х„х,, х.'„хл, х,....,также имеет предел х,. Следовательно, и последователыюсть Ахь Лхо Ах,, Ах'„Ах„Ах',, имеет некоторып предел уЕ Х'. Но тогда и подпоследовательности Ахл и Ах'„имеют тот же пределу, т. е. одинаковый предел. Если хлС Х, но хсг- 0(Л), то берем какую-нибудь последовательность х„С 0(Л) и х„=гхл и, полагаем Ах„=!пи Ахл.
Докажем, что л .сс определенный таким образом в Х оператор дисгрибутивен и его норма при переходе от 0 (Л) к Х не увеличилась. Пусгь х, и хлЕ Х х„ и хл — две последовательности из 0 (А), имеющие пределы х,' и хл (если, например, х„е 0(А), то можно положить все х„ = х,). Принимая во внимание, что в 0 (А) оператор А дистрибутивен, а также непрерывность сложения и умножения на число, получим А (сх,' + сяхл ) = 1)ш А (с,х„' - (- сях„') = с„) пп Ах'„+ с, 1пп Ах„' = л сс л сс л сс : сгАхс + сяАх Сохранение нормы выгекает из неравенства ,'! Ах„' '(-=,( А ~,'~х'„1, в котором справа )А~,' есть норма Л в 0(А), после перехода к пределу. Норма не может, очевидно, понизиться.
Теорема доказана. Указанныи выше способ распространения А называют обычно распространением по непрерывности. Покажем еще, что распространение А из 0(А) на Х в известном смысле единственно: если  — дистрибутивнын ограниченнып в Х оператор, совпадающий с А на 0(А), то В везде совпадает с расширением А по непрерывности. Пусть х С 0(Л), х„Я 0(А) и х„=гхм В силу непрерывности В и совпадения В н А на 0 (Л), имеем Вх, = Опп Вхл =1пп Ахл = Ах„, 306 МЕТРИЧЕСКИЕ И НОРМИРОВЛННЫЕ ПРОСТРЛНСТВЛ [97 7(х)= ~ 7"(1)Ж, о (47) причем мы считаем, что Х' есть то же самое пространство С. Это возможно, ибо о(х) С С на [0,1].
Оператор (47) переводит все С в линеал, состоящип из функции 7(х), имеющих непрерывную производную и равных нулю при х=0. На этом линеале функций 7(х) существует обратный дистрибутивный оператор г"(х)= 7'(х), но он неограничен. )(ействительно, функции 7„(х) = сйп иих, принадлежащие этому линеалу, имеют норму 1 при любом выборе числа л, а 7„'(х) = = ли соз иих имеет норму ии, которая беспредельно растет при и — со. Теорема 2.
Если  — линейный оператор в Х, Я(В) ~. Х и [В![=а(7, то оператор(Š— В), гдеŠ— оператор тождеспгвеиного преобразовании (т. е. Ех=х), и,иеет обратный (Š— В) определенный во всем Х, дггсгпрпбутггвиый и ограниченный. Рассмотрим уравнение у =х — Вх (48), или х=у+ Вх; (49) где у — заданнып и х — искомыи элемен~ Х. Р!етрудно проверить, что оператор Ах=у+ Вх (А — обозначение из [96!) удовлетворяет условию применимости принципа сжатых отображений. !(ействительно, [1 Ахя — Ах, [=[В (хя — хг) [( а[ха — х, ['.
(О (а( 1). Таким образом, уравнение (48) или (49) имев~ единственное решение при любом у С Х, т. е. существует обратный оператор х = =(Š— В)-'у, определенный во всем Х. Его дистрибутивность очевидна. Л(окажем ограниченность. Имеем [! х — у [ = ] Вх [' ( а ,'[ х ( и те» более ![х[; — [!у[~и[',х[[, т.
е. ![х!'( [!у!! откуда следует, что норма (Š— В) не больше . ! ! что и требовалось доказать. Если опера~ар А определен во всем пространстве Х, дистрибутивен и ограниченен, то будем называть его линейным оператором (иногда в этом случае говорят— ограниченный линейный оператор). Если различным х из линеала В (А) соответствуют различные Ах из )7(А), то существует о б р а т н ы И оператор, определенный на Я(А) и сопоставляющип каждому х' из !т (А) один единственныи элемент х из В (А), связанный с х' соотношением х' = Ах.
Из дис грибутивности А непосредственно следует дистрибутивность и А — '. Но из ограниченности А не следует ограниченность А-'. В качестве примера рассмотрим в пространстве С на отрезке [О,1) оператор 7 = Ау' 897 липвиныв ьг нкггионалы 98[ 98. Линейные функционалы. Рассмотрим пешее~венное пространство Х типа В (элементы Х умножаются лишь на вегпесшгенные числа). Функционалом в Х называется оператор, область значений которого находится в пространстве вещественных чисел. Последнее есть вещественное пространство типа В при обычном определении сложения вещественных чисел и их умножения нз вещественное число.
Норма — абсолютное значение вещественного числа [87]. Все сказанное в [97[ об операторах справедливо и для функпионалон. Ограниченность функционала определяешься неравенством [ 1(х)( ([11)[[х[[, (50) где [1(х) [ — абсолютное значение веществеьшого числа 1(х) и норма 1(х). Линеиныи функционал — частныи случаи линеиного озератора. При этом 1)(1) совпадает со всем Х Теорема 1. Если на некоторолг линеале У задан дистрибутивный ограниченный функционал 1(х), гпо его можно распространить на все Х так, что 1(х) будет в Х линейным функционалом с той же нор.иой, что и в У.
По условию, кроме дистрибутизности 1(х), имеем [1(х) ~ - [',1'ъ,г[х! (х С и), (51) где ",11и — норма 1(х) в Ег. При доказательстве будем считать, что пространство Х сепарабетьно, что упростит рассуждения. Но теорема верна и для песепарабельных пространств. В силу сепарабельносги,сугцествует счетное множество элементов, плотное в Х Оставим в этом счетном иножестве лишь элементы, не принадлежащие У.
Если тзких элементов не будет, то У повсюду плотно в Х, и иы можем продолжить 1(х) по непрерывности на всем Х [97[. В противном случае осгавшиеся элементы счетного множе. ства можно также пронумероватги хи хм хг. Теорема 3. Линейный операпгор преобразует ко.ипактиое множество в ко.ипактное. Пусть () — компактное множество элементов Х, х„(п = 1, 2,...) — какая-либо последовательность элементов Ег и А — линейный оператор. Нам надо доказать, что из последовательности Ах„(и=1,2,...) можно выбрать сходящуюся в Х' подпоследозательность.
Из компактности У следует существование под последовательности х„ь, имеющей предел: х„ь =)хь в Х. При этом, в силу непрерывности А, имеем Ах„ь=гАхь в Х', что и требовалось доказать. Приведем без доказательства еше следующую теорему: Теорема 4. Если в пространстве Х (типа В) определен линеиный оператор А, преобразуюгций Х биоднозначно во все прогтранство Х' (типа В), то обратный оператор А — ' (определенный во всем Х') есть также линейный оператор. 308 мвтвичвскив и ногмиговлнныз пеоствлнствл 198 Рассмотрим множество Сг, элементов г вида: «=у -[-1х„где у — любой элемент У н 1 — гвобое весцествеппое число.
(-(етрудпо видеть, что У, есть, как и 1«', лнпеал. Покажем, чго представление « в указанном виде единственно. Если г имеет два различных представления: «= у+1х~ — у +1хн (52) то в этих представлениях 1~ 1', ибо если 1=1', то и у=у'. Покажем, что неравенство 1~ 1' приведет нас к нелепости. Из (52) имеем ! х, =- †, (у' — у), откуда следует, что х, с У, з это противоречи~ сказанному выше. Возьмем теперь два любых элечшиа х' и х" из У и установим одно неравенство. Имеем 1(х') -- 1(х") = 1(х' — х") ( [ 1(и!х' — х"!). (53) Отметим, что если слева стоит отрицательное число, то неравенство тривиально.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
