1610915356-5872c4d4ad41802c73f2f3fcece03aba (824746), страница 65

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 65)

Иными словами, Х изометрично части Х"*, сИьс увидим дальше, что в некоторых случаях Х изометрично всему Х'", т. е. Х"" = Л'. Такое пространство Х называется ре г у л я р н ы м, Часто вместо 1(х) = Е„(У) пользуются обозначением (С, х) или (х, У): (6!) (х, с') = (У, х) = с'(х), и (х, Е) называю~ внутренним произведением элемента Ес Хв на элемент хЕ Х. Элементы ! и х называют ортого- н а л ь н ы м и, если (х, Е) = О. Неравенство (59) записывается в виде; ! (х, Е) / «с!с!! !сх1 (62) из сказанного выше следует: (ах, Ы) = аЬ (х, Е)! (х, + х, Е) = (хс, с) + (х„с); (х, сс+ сс) = =(х, 1с)+(х, (я), где а и Ь вЂ” любые вещественные числа. До сих пор мы рассматривали вещественные пространства типа В.

Все сказанное выше сохраняется и для комплексных пространств типа В (умножение элементов х на любые комплексные числа). В этом случае и функционалы могут принимать лю5ые комплексные знзчения. В даль- нейшем через а мы, как и раньше, будем обозначать число комплекс- ное, сопряженное с а (а = а + Ьс; а= а — Ьс). Отмегим, что если Р(х) есть линеиныи функционал в В, то У(х) есть также о~раничен- ссый в Х, но не линейный функционал, ибо ((х) умножается на с при умножении х на комплексное число с.

Сонря'кенное пространство Лсм определяется не как мноясество всех с'(х), а как множество всех 7(х). Сложение элементов Х' и умножение на комплексное число есть )00[ сллвля сходимость ькнкпионьлов обычное сложение и умножение комплексных чисел. Норма [[7[[ берется равной,[~[[, при этом[1(х)[ ( '[1['.~~х[1, и число[[1~ нельзя заменить меньшим. Пространство — Х* типа В. Внутренние произведения определяются формулами (1, х) =1(х); (х, 1) = (1, х) =1(х). (63) При этом для любых коиплексных а и Ь (а1, Ьх)=аЬ(1, х), (64) Пространство Хв*=(Хв)" имеет ту же связь с Х, что и в случае вещественного пространства. [ 1(х)[ ( Ь (1 Е Е), (65) если х принадлежит некоторой замкнутой сфере Я(х„а) ((х — ха[[~ (а) и пусть у — любой элемент Х, отличный от нулевого.

Элеи мент х= —.у+х, принздлежит Я(х„а) и, в силу (65), имеем ~[У [[ ! [, „[[ 1(у) + 1(хь) ) ~ Ь [[у[[М-! 1(") 1=Ь и тем более 100. Слабая сходимость функционалов. Мы рассматривали в [99[ следующую сходииость последовательности линейных функпионалоп 1„(х) к функпионалу 1(х): [[1 — Ц вЂ” 0 и тем более 1„(х)-1(х) при любом х Е Х. Такую сходимость называютобычно сх о димо ст ью по но р м е. При этом из [99[следует, что нормы 1„(х) ограничены, т. е.

не превышают при любом п некоторого положительного числа. Введем теперь новое понятие сходимости, Говорят, что последовательность линейных функционалов 1„(х) слабо сходится, если для любого х С Х числовзя последовательность 1„(х) имеет предел (конечный). Обознзчим этот предел через 1(х). Это есть функционал, определенный во всем Х. Его дистрибутивность вытекает из дистрибутивности 1„(х), и мы смогли бы утверждать н его ограниченности (и тем самым линейность), если бы знали, что последовательность [[1„[[ ограничена, Оказывается, что это действительно имеет место. Теорема 1.

Пусть 1. еппь некоторое множество линейньгх функционалов 1(х), причем для любого элемента х сугцествует такое положьипельное число т, что [1(х)! ( т„, если 1 Е Е, т. е. при фтссированном х множество чисел [1(х) [ ограничено. При этом нормы функционалов 1(х)(1 ~ ~1.) ограничены. Покажем сначала, что для доказательства теоремы достаточно установить ограниченность [1(х)[ в какой-либо сфере. Действительно, пусть существует такое положительное число Ь, чго 314 ыь!'Ричвскив и цоемигоялии!!Г пгостглпствл [!оо откуда [1(у) ~ ~ „" ' 1!У1~ — „[[.у,! (66) 2Ь для любого у Я Х, т.

е. 1У' = —, что и составляет утверждение а ' теоремы. Тем самым, если множество чисел ~г'(х)[ ограничено в какой- либо сфере, то теорема доказана. Теперь доказьшаем теорему от обратного. Предполагаем, что указанное множество неограничено в любой замкнутой сфере и приводим это к прогиворечию. Фиксируем каку!о-и!16!удь ззмкиутую сферу Ь!.

По доказзииому имеется такой элемеиг х, Е Я! и такой функционал У! с 1., что !1г(х,)1) 1. В силу непрерывности 1! (х) можно считать, что х, лежит внутри Я! и что неравенство уг(х)) 1 вьшолпяется во всей сфере 5(хг, г,), где г,— достаточно мало положигельиое число. Как и выше, иайдется такой элемент хм лежаший внутри оэ(хг, г,), такой функционал Ря~ Я и такое малое положительное гм что сфера Я(хя, гя) припадлежиг 5(х!, г,) и во всей этой сфере выполияется неравенство 1сг,(х!)[) 2. Продолжая так и дальше, полччим последовательность вложенных сфер Я(х! г!):-э Йхм гя):э Ь'(х„г!) -.:! ... и фуикциопзлов 1ь Е 1.

~аких, что во всей сфере Ь'(хь, гь) выполняется неравенство ( 1ь (х) [) и. При эгом можно считать, конечно, что г — 0 при д — оо. В точке хы принадлежащей всем этим сферам [85[, выполнЯетсЯ тем самым иеРавеиство 1Рь(хь) ,')й, что пРотиворечит тому, что множество чисел 1~ь(х„)) должно быгь ограничено. Теорема доказана. Если некоторая последовательность функционалов У„(х) при любом х имеет конечный предел, то тем самым последовагельиос!ь чисел [!',(х), ,'при любом х ограничена, и, в силу теоремы, последовательность,", 1„,'! ограничена.

Как мы выше отметили, отсюда следует, что предел У(х) слабо сходя!цейся последовательности линейных фуикциоиалов есть также линейный функционал. Если последовательность !!!'1„[ ограничена, то оказывается, что для слабой сходимости функционалов достагочпо потребовать существование предела 1„(х) ие па всем Х, а лишь па плотном в Х липеале. Теорема 2. Для !лого чтобы последовательность функционалов l„(х) слабо сходилась, необходп.ио п достаточно, чтобы последовательность [1„", была ограниченной и чтобы суглесгпвовал предел У„(х) на линеале, плотном в Х. Необходимость первого условия вьпекает из теоремы 1, а второго — очевидна.

Переходим к доказательству достаточности. Обозначим через У лииеал, о котором говорится во втором условии теоремы. В силу первого условия [11„'! ( С, где С вЂ” положигельпое число. Обозначая через 1(х) предел У„(х) при х с У, мы можем утвер кдать, что 1(х) — дистрибутивный ограниченный па У функционал (его норма пе превышает С) 1011 315 сллвля сходимость злю!вп Гоя Мы можем распространить его по непрерывности па все Х. Будем по-прежнему через Е(х) обозначать полученный аакии образом линейный функционал и докажем, что г'„(х) — l(х) при любом х ~ Х.

Если х с У, то это имеет место. Пусть х, Е У. Прн любом заданном в) 0 существует тзкои элемент хо а У, чго ~ х„— хо" ( — —, о ~ 4С Принимая во внимание, что нормы гл(х) и г(х) не превышаюг С, можем написать ~ У(хо) — Ул(хо) ~ ~! 1(хо) — 1(хо) ~+ ~1(хо) — Ул(хо) ~ -~- + ~ 1л (хо) — ул (хо) ~ ~ ~' У Д хо — хо1+ ~ У(хо) — ~, (хо) ~ + + ) Гл 1 $ хо — хо ~~ ~ — + ~ у (хо) — ул (хо) ~ Но г„(хо) — 1(хо), и, следовательно, существует такой значок гЧ, что /1(хо) — У„(хо) ~ --- — при и» ут', и из предыдущего неравенства: 1((хо) — тл(хо) ( о пРи л» Лг, откУда и следУет, что 1„(хо) — Г(хо). 3 а м е ч а н и е.

Вгорое условие теоремы можно заменить следующим: существует предел г'„(х) на множестве элементов (г, линейная оболочка которого У(линеал) плотна в Х. Действительно, из сходимости 1„(х) на (г, в силу дистрибутивности 1„(х), следует сходнмость 1„(х) на У. Понятие слябов сходимости функционалов приводит естественно к понятию слабой ком п акт ности. Множество К' элементов Хо называется слабо компактным, если из любой последовательности функционалов 1„Е 11т можно выделить слабо сходящуюся подпоследовательность. Теорема 3. Если Х селарабельно, то, любое ограниченное мноаюеслгво фунннаоналов ( '1))(г (г) 0) ) слабо нолланглно. Нам надо показать, что если у последовательности липеиных функционалов г'„(х) нормы ограничены (У„1=-- г, то можно выбрать подпоследовательность Р„а(х), сходящуюся для всякого х б Х. Пусть хн хо — счетное множесгво 1' элементов Х, плотное в Х.

При любом гп имеем (7„ (хм)( ~ г~',х ~,', т. е. последовательность чисел г'„(х ) (и = 1, 2, 3,...) ограничена. Применяя обычный диагональный процесс [1Ч; 15], мы образуем подпоследовательность г'„я(х), сходящуюся на всех элементах 1г. Из замечания к предыдущей теореме следуе~, что последователыюсть сходится на всем Х, и теорема доказана. 3 а м е ч а н и е. Слабо компактным является, очевидно, и всякое ограниченное ьшожество элементов Хо, поскольку его можно заключить в некоторую сферу 11~ ( г. 1О1. Слабая сходимость элементов.

Введем теперь понятие слабой сходимости элеменгов пространства Х тнпз В. Говорят, что последовательность х„ элементов Х с л а б о с х о д и т с я к элементу х„, ь~ и пишут хл — "х„, если 1(х„) — 1(х) для любого линейного функцио- 316 мвтвичвскнз и новь!ивовлнныз пвостввнствл [101 нала Е(х). Элемент х, называется слабым пределом х„.

Покзжем, что последовательность [х„] не может слабо ю. сходиться к рззным пределам. действительно, если х„— "х, и х„ †'' ус, то, по определению, 1(х„) — 2(х,) и 2(х„) — с'(у„) для любого УЕ Х"', откуда 1(ус)=1(хс) или Е(у„— х„)=0 для любого 1б Х*. Но если ус~ха, т. е. у,— х, не есть нулевой элемент, то существует такой элемент 2 С Х*, что Е(ус — х,) = ! у, — хс!!) О, что противоречит сказанному выше, и тем самым сфорлсулированное сл. вьнне утверждение доказзно. Если х„— '-'х„то, очевидно, что и всякая сл.

сл. сл. подноследовательность х„ь — "х,. Если х„— "х„, у„— 'у, и а„' — ас, то а„х„— ' асх„х„+у„—" х„+у,. Это непосредственно следует из дистрибутивности функционалов. Сход имость по ноРме ~1хс — х„'1 — О, котоРУю мы записывали выше в виде х„=ьхс, называют иногда сильнои сходим ос т ь со. Мы ее называли просто сходимостью. В силу непрерывности линейного функционала из х„=)хч следует, что 1(х„) — л'(хл) для любого 1С Х*, т. е. из сильной сход и мости следует слабая сходимость. Из слабой сходимости, вообще говоря, не следуе~ сильной.

Приведем пример. Рассмотрим пространство Ес на отрезке [О, 1]. В качестве последовзтельности х, возьмем функции з!п ля 1 (л = =1, 2,...). Как будет показано ниже [102], общий вид функционалов в Ес [О, 1] дается формулой «х) = 1.У(1)х(1) (1, о где у(1) — фиксированная функция из Ля[0,1] и х(1) — любои элемент этого пространства. В частности, для элементов х„(1) = абп ля( имеем: ! 1(х„)= у'(1) абп лв1й1, откуда видно, что, с точностью до множителя )'2, 1(х„) суть коэффициенты фурье г(1) оанэсительно системы з1п лп1 на промежутке [0,1].

Характеристики

Список файлов книги