1610915356-5872c4d4ad41802c73f2f3fcece03aba (824746), страница 69
Текст из файла (страница 69)
Пусть далее х„— любой фиксированный элемент Х и р — такой элемент Х'"", что ()Г~)= 1 и Р(Ах„)=1Ахь'~. Получаем ) АхьЬ=Р(Ахь)=~(хь) =-, И ~~хь! = =~)АьР,! /,'хь/,(~~А")~ ~!'Р~),,'хь~/=~~~Аь~~ ~ хь~~ т. е. )'Ахь|н=1А" 1 '1хь|, откуда ~~~А,'/-. 1А:!, что, 'совместно с (А' (,-=~(А/! и дает 1Аь)='/А/~. Это приводит нас к следующей теореме. Теорема. Оператор А:, сопряженный с линейным оператором А из Х в Х', есть лпнейный оператор из Л' ' в Хь и (А" ~' — — ,'/А~).
3 а м е ч а н и е. Отмеэим, что если Л' совпадает с Х, то А'ь есть линейный оперзтор в Х: с областью значений также в Л'"'. Если А и  — линейные операторы из Х в Х', то из определения сопряженного операторз следует (А + В)ь = Ав -'г- В'"'. Если А и В— линейные операторы из Х в Х, то (ВА)ь=АьВ", как эго следует иэ равенств у(ВАх)=(Вьй)(Ах)= А"'(В'""Е)(х) =(АяВяу) (х). В случае вещественного пространства (сА)"=сА' и для комплексного (сА)в = сАь. 106. Вполне непрерывные операторы. Линейный оперзтор А из Х в Х' называется вполне не п ре р ы в н ы м, если всякое ограниченное в Х множество он преобрззует в компактное в Х'. Нетрудно видеть, что дистрибутивный оператор А, определенный во всем Х и преобразующий всякое ограниченное множество в компактное, есть ограниченный операгор, т.
е. линейный опер;пор. )(ействительно, по условию А преобразует сферу йх )! «-- 1 в компактное множество Ах. 332 мвтеичсскив и ггоемивовлггнггв пеостеьнствь [106 Но всякое компактное множество огрзничено, т. е. существует такое положгпельное число С, что (Ах1~(С при ~'х1~ -1, откуда и следует, что А — ограниченный оператор. Таким образом определение вполне непрерывного оператора можно сформулировать и следующим образом: дистрибутивный оператор А, определеннып во всем Х, называется вполне непрерывным, если он преобразует всякое ограниченное множество в компактное. Из указанного выше следует, что определеннып таким образом вполне непрерывныи оператор будет и линейным оператором. Теорема 1.
Если А вполне непрерывный оператор и х„— 'хь, то Ах„=)Ах„. Мы знаем, что Ах„— '"' Ах,, если А — линейный оператор. По условию теоремы х„ †' хы и потому последовательность чисел дх„~) ограничена. Из последовательное~и Ахсь в силу полков непрерывности А, можно выбрать подпоследовательность, которая сильно сходится к некоторому элементу у, ~ Х'. С другой стороны, из сказанного выше следует, ~гто эта подпоследовательность слзбо сходится к Ах„, и потому у„ = Ах,. Следовательно, всякая сильно сходящаяся подпоследовательность из последовательности Ахь сильно сходится к Ах,.
Нам надо доказать, что вся эта последовательность сильно сходится к Ах,. Доказываем от обратного. Предполагаем, что существует такое число 3 ) О и ~акая бесконечная подпоследовательность Ах„„, что (~ Ах„ь — Ахь ~() 3. Из последовательности Ах„, можно выбрать сильно сходящуюся подпоследовательность, и эта подпоследовательносгь, как указано выше, должна сильно стремиться к Лхь, что противоречит неравенству 1, 'Ах„ь — Ах, 1! ) В ) О. Теорема доказана. Теорема 2.
Пусть А (пг = 1, 2, ...) — последовательность вполне непрерывных операгпорое, поторые по норме стпелгятся и лпнейнолгу оператору Л( А — А )~ — О). Прп эгполг и оператор А вполне непрерывен. Надо доказать, что А преобразуе~ всякую ограниченную последовательность элементов х„ С Х (п = 1, 2, ...) в компактную. Последовательность А х„ при любом фиксированном т компактна. С другов стороны, из сходимости по норме следует равномерная сходимость на всяком ограниченном множестве. Таким образом, для любого заданного г ) О супгествует такое т, жо 1Ах„— А х„1 -г (и=1, 2, ...), т.
е. Ах„имеет компактную г-сеть А х„, откуда и следует компактность Ахгс Можно показать, что если А — вполне непрерывныи операторор, то и А"', определеггиып в Х'ь и имеющий область значений в Хь, также вполне непрерывен. Мы докажем это в дальнеишем для оперзторов в гильбертопом пространстве. Для этого пространства мы изложим теорию вполне непрерывных операторов более подробно.
107! опгентоеныв ягаинвпия 107. Операторные уравнения. Мы будем теперь предполагать, что линейные операторы А, определенные в просгрансгве Х, имеют область значений, также принадлежащую Х (Х' совпадает с Х). При этом А*, определенный в Х'"", имеет область значений также в Хь. Буквой Е мы будем, как и выше, обозначать опера~ар тождественного преобрззования в любом пространстве типа В, т.
е. Ех=х для любого х != Х. Напомним еще, что оператором аннулирования мы называем линейный оператор, преобразующий любой элелгент х в нулевой элемент. Его норма равна нул!о, а у всякого другого линейного оператора она положительна. Рассмотрим уравнение (9 У) (А — Е) х=у, где у — данный и х — искомый элемент Х. Переписываем уравнение (97) в виде х= Ах — у. (98) Правая часть э!ого равенства есть оператор из Х в Х. Обозначим Вх=Лх — у (В не есть линейный оператор). Мы имеем Вх,— — В,х,=Ах,— Ах„откуда !!Вх,— Вхч~ (!!А!!' !х,— х,!~.
Если !!А ~((1, то к уравнению (98) применим принцип сжатых отображений. Мы получаем следующий результат. Теорема. Если !'А !!( 1, то уравнение (97) пии любом заданном у ~ Х имеет единственное решение, и зто решение в!ожет быть получено методом последовательных приближений из уравнении (98) при любом исходном приближен!т, В дальнейшем мы часто будем име!ь дело с уравнением, содержащим параметр (А — л Е) х =у. (99) Если Х вЂ” вещественное пространство типа В, то Л вЂ” вещественное число. 7(ля комплексных пространств оно может быть и комплек- 7 ! ! ! сным.
Считая Л Ф О, перепишем (99) в виде , '— Л вЂ” 5! х= — у. Из ,л '! л доказанной теоремы следует, что если ! Л !') !!~А ', то уравнение (99) при любом у имеет единсгвенное решение, и это решение может быгь получено по методу последовательных приближений из уравнения ! ! х = — Ах — — у. Л Л Иногда уравнение (97) пишут в виде (ЛЛ вЂ” Е) х=у или (Š— ЛА) х=у. При этом условие !! !)!!А,') заменяется условием !Л!(,'~А/! '. Положим теперь, жо А — вполне непрерывный оператор, и напишем два уравнения: одно в пространстве Х и другое в Х": (А — Е) х =у (100) (Аз — Е) х ' =у'"', (10 !) 334 мвтРичвскив и ноРмиРоилнныв пРостРлнствл [!ОУ где у и у* — данные элеменгы, а х и х* — искомые.
Напишем еще соответствующие однородные уравнения (А — Е)х=8 (Ав — Е) хв = 8", (102) (103) где 8 и 8" — нулевые элементы соответственно в Х и Х*. Множества решений этих уравнениИ являются линеалами. Мы сформулируем сейчас результаты, касающиеся написанных уравнениИ.
Доказательство их будет нами дано в следующей главе для случая гильбертова пространства. Если одно из уравнений (100) или (1О!) имеет решение при любой правой части, то и другое уравнение обладает этим же свойством. При этом каждое из указанных уравнений имеет единственное решение при любой правой части, и, тем самым, уравнения (102) и (103) имеют только тривиальные ре|иения х = 8 и х"' = 8*. Если одно из уравнений (102) или (103) имеет решения, отличные от нулевого, то и другое уравнение обладает этим же своиством, и число линейно независимых решений уравнениИ (102) и (103) конечно и одинаково. Линеалы решений суть конечномерные подпространства.
При этом для разрешимости уравнения (100) необходимо и достаточно, чтобы у был ортогонален ко всем решениям уравнения (103), а для разрешимости уравнения (!01) необходимо и достаточно, чтобы у* был ортогонален ко всем решениям уравнения (102) !!Ч; 9]. Эти результаты сохраняются, естественно, и для уравнении с параметром. В случае комплексного пространства типа В эти уравнения запишем в виде: (Ав — лЕ) х" =ув! (1Об) (А ЛЕ) - =8-:.. (1ОУ) (А — лЕ) х=у (104); (А — ЛЕ) х = 8 (106); Сформулируем еще один результат. Имеется лишь конечное число значений Л, удовлетворяющих условию / Л ! ( К, где й — любое за- данное положительное число, при которых уравнение (106) и, следо- вательно, (107) имеют решения, отличные от тривиального х=8 (или '=8в).
Указанные результаты вполне аналогичны теоремам, которые мы имели в теории ишегральных уравнениИ. Если Х вЂ” вещее~венное пространство типа В, то л надо брать вещественным и Л, = Л, Число Л, при котором уравнение (106) имеет решения, отличные от тривиального, называется собственным значением опера- тора А, а число линеино независимых решений это~о уравнения— рангом соответствующего собственного значения. Решения хи хм ..., х образуют полный набор линепно независимых реше- нив уравнения (106), если общий вид всех решсниИ этого уравне- вполнв ивпгвяывныв опн лтоеы в С, 1. и ! 335 108[ х=х,+сх,+сх,+...+с х, (108) где х,— какое-либо решение уравнения (104), хо ха ..., х полный набор линейно независимых решений уравнения (106) и с— произвольные числа. Все это непосредственно следует из линеиности уравнений (104) и (106) [1Ч; 9, 10[.
108. Вполне непрерывные операторы в С, т'.р и 1р.,1. 1'ассмотрим в С интегральный оператор р (х) = [ К (х, !) ф (!) гг1, а (109) где [а, Ь] — конечный промежуток. Если ядро К(х, !) непре- рывно в квадрате Я[а (х(Ь; а(у(Ь], то формула (!09) дает, очевидно, дистрибутивный оператор из С в С. Его ограниченность непосредственно следует из неравенства ь гпах ! р(х)(( шах (ф(!)~ шах [ [К(х, !)~с!С (110) а к Ь а л ь а к Ь а Если У вЂ” ограниченное множество функпий ф (!) в С, т. е. шах )г)(!) ((А, то нетрудно видеть, что множество соответствующих а г ь о (х) компактно. Ограниченность непосредствешю следует из(110), в силу гпах [ф(!) ! =.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
