1610915356-5872c4d4ad41802c73f2f3fcece03aba (824746), страница 67
Текст из файла (страница 67)
[~-]'=~ ~-(гн$', и последняя сумма стремится к нулю при у и д-ь со, н силу полной аддитивности меры. В каждой ~очке х из ф ряд (73) сходится к мй (х). Покажем, что эта функция множеств, определенная для всех измеримых ф из фм вполне адди гиена. Пусть ф = фг + 5, +..., где измеримые множества Ргл не имеюг попарно общих точек. Ряд линвиныв ятнкционллы в С, Е и 7 321 102] Следовательно, и в Е (сч) он сходи гся к шб (х) [62] (или к экви- валенгноИ ей функции), т. е. шб (х)= ~~ шб (х), ь=! (74) ! ~г1,( )1, ~и~я,ч 1~ ЮЦш»~'=о.
тарам т. е. 7[шб (х)]=О, если т(5')=О, и теорема из [73] дает для Р (6) представление: Е((1) = ] ф(х) г1х, 6 где относительно ф(х) мы можем утверждать пока, что она суммируема на сш Таким образом доказано, что У [шб (х) ] = ~ ф (х) шб (х) дх. бч В силу дистрибутивности 7Я, имеем у(ш) = ~ ф (х)ся(х) вгх (7б) для любой ограниченной функции ш(х) с конечным числом значении. Покзи<ем теперь, что формула верна и для любой ограниченноИ из- МЕрнМОИ На (ЧЧ фуНКцИИ Ш(Х) (таКая фуНКцИя ПрнпадЛЕжнт Ьр(ыьа)). Положим сначала, что ср(х)-- О. По теореме 1 из [46] существует последовательность функций ш„(х) с конечным числом конечных значении такая, что ш„(х) — ь ш(х) равномерно на 9ш Тем самым, ~„(х) ограничены на ф, одним и тем же числом.
Для ш„(х) мы имеем формулу ( (ал) = ~ ф (х) ш„(х) Ых. т, (76) Очевидно, что ш„(х) =)р(х) в ).„ф,), и можно переходить к пределу под знаком интеграла [64] в последнеИ формуле. Непрерывность функционала 7(ш) приводит к формуле (7б), которая таким образом установлена для любои неотрицательной ограниченной измеримои на Фа функции ш (х). Случай ограниченной функции любого причем сходимость можно попинать, как сходимость в Е (5,). В силу непрерывности функционала 7(у") в Л (г.,) из (74) получаем Е(5)= =Е(ф,) + Г(И ) +..., т. е.
полную аддитивность функции Е(6). Если 5' есть множество меры нуль, то 322 мгтгичищгии и иогмнгоаанныг пгостялпстал (102 где 1 при и)0, зепи= — ! при а(0, 0 при а=О, получим 7(2) ~ ~ 1 ф (х)~ 'х, Вя 1 ибо /ф(х)/)!ср(х)~г' — ' и,1 =р. С другой стороны, (78) '(ф)-Я Ы~=И~ [~ ~ф(х)~'8х~', йа и, в силу (78), имеем 1 ~ 1 ф (х) (Я г(х ( !) 71 ~ ~ ! ф (х) 1Я г(х ~ ", откуда 1 1 ~Ф(х)!'( ~~ «И Ва Но из (77) следует ) ф(х) !'" при /ф(х) !~)Ч, №' при 1ф(х) /)М и„ следовательно, Ц !фм(х)1я')~' =171, (79) бя где фм (х) — урезанная функция ф 'х).
ф(х) Е Ь„(йа) и что $'$~1ф~ср (8.) Отсюда следует, что (80) низка непосредственно сводится к рассмотренному путем представления: 9(х)=т' (х) — ф (х), тле ф'(х) и я (х) — положительная н озри- цательная части о (х). Локажем теперь, что ф (х) (- Ьр (5я), где 1 1 — + —, = 1. Подставляя а (75) ограниченную измеримую функ- Р Р цию ф(х), определяемую следующим образом: ф (х) = ( ф (х) )»' ' аяп ф (х) при ~ ф (х) ! ( М, (77) Д7Я' 'здпф(х) при )ф(х)))И, 824 мвтвическне и ног!и!Рованныв пвостввпства [102 что совместно с (8 1) опять дает (82).
Таким образом, ф о р м у л а (75), где ф(х) л!абая гРункция из Ер (9„), лает общую форму линейного функционала в тл(5), причем имеет место формула (82). Эквивалентные функции ф(х) дают, очевидно, одинаковые функционалы (совпадающие на всех з(х) Е 5 (5,). Покажем, что неэквивалентные ф(х) дают различные функционалы. Это сводится, очевидно, к доказательству следу!ошего утверждения: если ф„(х) Е 7.р (5,) и для любого ф (х) с Ер (Вя): ~ ф,(х) ф(х)г(х=О, Ь то ф,(х) эквивалентна нулю.
Полагая и(х)=!'ф,(х) ~м 'аглф,(х), получим [ ф „( ) [ ' !7х = б, откуда непосредственно следуег, что ф„(х) эквивалентна нулю [51[. Рассмотрил! теперь пространство 5 ($ ), где р — все пространство К„. Как и выше, доказывается, что если ф(х) 5 Е (5 ), то формула (75) определяет линейныи функционал в 5 (5 ) и имеет место равенство (82). Локажем, что всякий функционал в 7. (5 ) представим в виле (75), где ф(х) Е 5 (5 ). Рассмотрим те функции ср(х) из 5 (5 ), которые равны нулю вне промежутка Ь„( — и( =ха~+ т; 1=1, 2,, и).
Они образуют пространство 7р(Ь,„). Функционал 7(гр) на 7. (5 ) для таких функцид является функционалом и на Е (Ь ), и его общин вид есть 7 (!р) = ~ ф (х)ср(х)г(х, 5сс где ф (х) с 7р (Ьм), причем ! ф (х)!', (а )(5[7[. Из сказанного выше непосредственно следует, что ф ,„(х) и ф (х) эквивалентны на Ь при 7г ) О. Таким путем мы получаем функцию ф (х) сс (.р (5„), эквивалентную ф (х) на Ьм, и имеем 7 ( р) = [ ф (х) ф (х) г(х. Поскольку финитные функции повсюду плотны в 7 (ф„), мы приходим к тому, что все сказанное выше для 7.
(фя) имеет ьгесто и для Ер ® ). Легко распространить полученные результаты и на комплексйое пространство 5 (5„), причем и функционалы могут принимать комплексные значейия. Из сказанного выше непосредственно следуе~, что просгранство Ер(5,) можно отождествить с (.р (5„) и лингиныв Функционалы в С, ь и 325 102] ф (х) если (ф(х) ((и, ф„(х) = и если (ф(х)()п, (8 4) которая стремится к ф(х) во всякоИ точке х. Если ф(х) любая функция из Ур(0,), то / ф„(х)ф(х) / (! ф(х) ьягх)(, причем произведение ф(х)ья(х), по условно, суммируемо ьи 5м Огсюда следует: 1пп ~ ф (х) ь> (х) аьх = ( ф (х) ф (х) аьх.
л са > 5о во Ио ф„(х), как ограниченные функции, принадлежат Ер (5„), и интегралы, стоящие в левоИ части, суть линейные функционалы от ф(х) в Ер(5а). Из того, что они на льобом элементе 2(х) Е Ее(уса) имеют прейел, следует, что их нормы ограничены некоторым числом А 1100] ~ ! ф„(х) (РЫх ( Ае', 5ь откуда в пределе получаем ]54] ~ ф (х) ("ь(х ( А е ', что и требовзлось доказать. Случай р = 1 представляет особенность. Можно показзть, что просгранстно Е; изометрично М (пространству измеримых ограниченных функциИ) и Е! — нерегулярное пространство. тем самым Ер фь), т. е.
Ер (5а) совладав~ с Ер(5,). Иначе говоря, правая часть формулы (?5) при фиксированном ф(х) б Е ($а) дает общий вид линейного функционала в 5 (фь>) с мормон, равнои (р] Таким образом, пространство Ер(5„) регулярно. В силу того, что Ее(5>ь)=Ее (5,) и ?.р (5а) сенарабельно, можно утвер>кдать, чго всякая сфера в Е (5,) (или всякое ограниченное множество) слабо компактна. При р=2 имеем р'=2: т. е. Еа(5а) есть Ех(5,). Мы рассмотрим подробно этот случай в следующей главе. Все сказанное выше справедливо и для Е (5 ).
Пользуясь установленноп выше формулой линейного функционала в Ер(5„)(р) 1), дока>кем следующую теорему; Теорема. Если ф (х) — нзмервтная на ограниченном азмернльом множестве ф„функ!(пя и произведение ф(х) ф(х) суммпруемо на 5 при любо!! ья(х) ь'- Е (Ж„) (р) 1), то ф(х) Е Л (5 ). Из условия теоремы непосредственно следует, ьто ф(х) может принимать бесконечное значение лишь на множестве меры нуль, и мы можем считать, что ф(х) принимает лишь конечные значения. Определим последовательность функций: 326 метеичвскив и ногмиеованныв пгостелнстВА 1102 3.
Рассмотрим теперь линейные функционалы в 7р(р) 1). Пусть Е(х) — такой функционал. Всякому элементу пространства Ер! х(я„$„,...) соответствует урезанш!й элемент х„($„1!, ..., $„, О, О, ...), и из того факта, что ряд с общим членом )'.а)л сходится, непосредственно следует, что х„ =)х. Введем элементы уь(Цю, ч!ы, ...) (7а = 1, 2, ...) такие, что (','= О при ! ф Уа и ЦЛ = !.
Обозначим l(уь) = а„. В силу дистРибУтивности/(х) имеемЕ (х„)=а!с!+а!!я!+...+а„(„, и, пользуясь непрерывностью 7(х), получим 7(х) =а!!!+ аята+... (85) Ззйз!емся числами ам Введем элементы з,ч (т1нч1, !)!;ч1, ...) из ур следующим образом: ( 1а„,'" ! здп аь пРи 7а «№ О при А)№ Мы имеем Е(ах) = ~ ( ал !л' ! и Г Х ~ !лГ=7( м)«!~7~', ~~М=~17(~ Х !и ~' ~ ь=! ь=- ! откуда ! ( ал 1м «1,!',( и в пределе при д( — со ! ! а„)м «(!711, т. е. в(ан ая ...) гс 7р и !~ !~г, «~~71 (86) амадее, неравенство Гальдера, примененное к сумме (85), покавываег, что !!У'«!!'ц ,', „и, в силу (86), получаем 1~ 7!~ =,'! в ~1!их (87) Совершенно так же, как и для Ер, можно показать, что формула (86), где и (ан ам ...) — любой элемент Урч дает общую форму линейно~о функционала в Е, причем элемент о определяется функционалом 7(х) единственным образом и имеет место формула (87).
Отсюда следует, что 7р есть 7р~ и что 7 — регулярное пространство. сллвля сходимость в С, 1.„ н ~» 103[ Имеет место теорема, совершенно аналогичная теореме, доказанной выше: если ряд Ь»а», »=- ! где Ь» фиксированы, сходятся при любом выборе (а„а„...) Ур Е (р) 1), то (Ьг, Ьм ...) Е Ер.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
