1610915356-5872c4d4ad41802c73f2f3fcece03aba (824746), страница 68
Текст из файла (страница 68)
103. Слабая сходимость в С, т.р и Ер. 1. Слабая сходимость элементов г'„(х) Е С к элементу г (х) Е С (на конечном промежутке [а, Ь[) определяется равенством 1пп ~ У„(х) гРд (х) = ~ У(х) «ГАВ (х) а а (88) 1'ип [ ф (х) ср„(х) Ых= ~ ф (х) т (х) г(х В» 8« (89) для всякой функции ограниченной вариации л(х). Укажем необходимые и достаточные условия этой сходимости: а) существует такое число С)0, что [г«(х)[ =С (и=1, 2, ...); в) ~„(х) — У(х) при любом х Е [а, Ь[.
У с по в и е: а) непосредственно следует из [101[. Лалее, если х=х,— любое фиксированное знзчение из [а, Ь[ и у(х) — любой элемент С, то 7«(у ) =У(х«) является, очевидно, линейным функционалом в С, и, поскольку ~„(х) «»' / (х), мы должны иметь У«(~„) — Е (г), т. е. г„(х«) — г(х«). Теперь надо показать, что из «а» и «в» следует (88) при любом выборе функции ограниченной вариации т(х). В силу [г"„(х)[-=' С и у,(х) †у(х) предельный переход в (88) допустим, если рассматривать интегралы, как интегралы Лебега — Стилтьеса [54[.
Но, в силу непрерывности у'(х) и у'„(х), эти интегралы можно рассматривать и как обы шые интегралы Стилтьеса. О~метим еще, что в силу теоремы из [101[, при соблюдении условий «з» и «в» существует такзя последовательность линейных комбинаций У„(х), которая стремится к у'(х) равномерно на [а, Ь[. Функции /'„(х) и г'(х) предполагаются, как эго указано выше, непрерывными. Отметим, что нерегулярное пространство С не является слабо полньщ. Этот факт соответствует тому, что предел последовзтельности г'„(х) непрерывных функций, сходящихся в каждой точке из [а, Ь] и ограничецнык в совокупности (,'у„(х)[«- т), моя<ет и не быть непрерывной функцией. '2.
Слабая сходимость элементов о„(х) Е т р(В«)(р) 1) к элементу в(х) Е Е ф«) определяется равенством 328 метеическиГ и нояииеовлнные пяогтелистзд [104 для всякой функции ф(х) Е Е ($,). В силу георемы 3 из [101[ необходимые и достаточные условия слабой сходимости в Ер(8,„) можно сформулировать так: а) нормы о„(х) — ограничены, т. е. ! с [ ~,. ( яч ]' ~ с, Вя (90) и в) формула (89) имеет место на множестве элементов ф (х) из У.я,(9„), линейная оболочка когорого повсюду плотна в Е ($я).
При вйполнении условия (90) достаточно, например, чтобы формула (89) имела нес~о для всех характеристических функций ай(х) измеримых множеств 5, входящих в 5,(5,— ограниченное мнокество). Лля того случая, когда В, есть одномерный конечный или бесконечный происакуток, достаточно выполнения условия (90) и равенств !нп ~ р„ (х) вг.е= ~ ср(х) г(х, с с (91) где с — любое фиксированное число из указанного промежутка и .'— произвольное число из этого промежутка.
3. Слабзя сходимость элементов (Ц"', ([в...) 1р(р) 1) к элементу ((н 1„ ...) Е Ь определяется равенством 1нп (Ь,1[ю + Ь~|!ю+...) = Ь~1~ + ЬД +... и- л (92) для любого элемента (Ьь Ь„...) Е Ур Сформулируем необходимые и достаточные условия слабой сходимости: с л-~ 5ь — 1я (Ь = 1, 2,,). (93) (94) 104. Пространство линейных операторов и сходимость последовательности операторов. Выше мы рассматривали пространство линейных функционзлов и вопросы сходимости последовагельности функционалов (по норме и слабой).
Обратимся к тем же вопросам Условие (93) обычно, а необходимость (94) вытекает из (92), если взя~ь Ь, = 0 при г ~ Ь и Ья = 1. Положим, что выполнены условия (93) и (94). Из (94) следует, что (92) выполняется на элементах вида (О, О,..., О, 1, О, О,...) (оргах пространства Ь ).
Но линейная оболочка ортов плопаа в Ь, ибо урезанные элементы, все составляющие когорых, начиная с некоторого номера (своего для каждо~о элемента), равны нулю, плотвы в Ь [59[. 'Таким образом, достаточность (93) и (94) вытекает из сказанного в [101[. 329 194! пвостялнс~ВО линяйнык опввлтоРОВ для лннейпыя операторов в пространстве Х типа В. Пусть У— пространство всевозможных линейных операторов в Х с областью значений в некотором пространстве Х' типа В. Сложение и умножение на число определяются, как и для функционалов (А + В) х = Ах + Вх; (сА) х = с (Ах). (96) Норма элемента А Е 1' вводится, как норма /,'А', соответствующего оператора.
Как и в 199], доказывается, что г' есть пространство типа В. Рассмотрим теперь последовательность линейных опера~оров А„(л=1, 2,...) из Х в Х'. В силу сказанного выше, если '1А„— — А / — 0 при л и гм — со, то существует такой линейный оператор А, что 1А — А„",— О, и тем самым для любого х Е Х мы имеем А„х=ьАх в Х'. Сходимость /А — А„>,' — 0 называется сходимостью опера торов по норме. При этом 1А„'1 (л=1, 2,...) ограничены, что следует из нсравснстваг 1А„/~'(',/ А ~+'А„— А ",.
Отметим, что для сходимости по норме 1'А — А„,1 в 0 необходима и достаточна сходимость по норме в себе, т. е. (А„ — А 1' — 0 при и и лг — со (полнота пространства операторов). Напишем оченидное неравенство 1~ Ах — А„х ~',('! А — А„!,' (1 х (~. (96) Если х принадлежит некоторому ограниченному множеству У прострзнства Х, то существует такое г1, что ~,,'х1( г(, если х С У, и (96) дает(Ах — А„х,'(-=.((А — А„~)г1. Отсюда следуег, что для любого в)0 существует такой значок йГ (зависящий от в и пе зависящий от х), что 1Ах — А„х1(а при п)Лг и хС У, т.
е. сходимость А„х к Ах на любом ограниченном множестве У равномерная. Поэтому вместо сходимости операторов по норме иногда гопорят р а в н о м е рная сходимость операторов, Рассмотрим дру~ой вид сходи- мости операторов. Говорят, что последовательность линейных операторов А„с и л ь н о с х о д и т с я к линейному оператору А, если А„х =~~Ах в Х' для любого х Я Х. Как и в [99), доказывается, что если А„х есть с ходя ща я с я в Х последовательность при любом х~Х, то послед о в а т е л ь н о с т ь и о р м,~ А„1 о г р а н и ч е н а, а т а к ж е следующее утверждение: для сильной сходимости последовательности А„ достаточно ограниченности 1А„) (1А„,'( С) и с х од и мости А,х на плотном в Х лине ал е.
Положим, что А„х сходится в Х' при любом х ~ Х. Обозначим через Ах предел А„х (А„х=)Ах в Х'). Оператор А дистрибутивен в Х, в силу дистрибутивности А„, и ограничен, в силу огрзииченности последовательности 1~А„~~, т. е. А — линейный оператор. Таким образом, если А„х — сходящаяся в Х' последовательность при любом х С Х, то последовагельносгь Ал сильно сходится к линейному ззо мгтяичсскиа и ноямияогпмпп!гг пяостгхногяа (104 оператору А. В силу полнопя Х' вместо схолимости последовательности Аьх достаточно погребовать сходимосги ее в себе.
Таким образом, пространство линейных операгорон оказывается полным не только относительно сходимости по норме, но и огносительно сильной сходимосги. Как мы уже наметили выше, из сходимосаи по норме следует сильная сходимосгь. Рассмотрим еше третью сходичость операторов, Говорят, что последовательность линейных операторов Л„ слабо сходится к линейному оператору А, если А„х " Ах вХ' для любого х ь: Л'. Из сильной сходимосги операторов вьггекаег, очевидно, слабая сходимость.
Для функционалов сильная и слабая сходимосги совпадают. Выше мы определили сложение линейных оператороя и их умножение нз число. Можно, естественно, определить и умножение операторов. Если А есть линеИний оператор из Х в Л' и  — линейный оператор из Л" в Х", то оператор ВА, определяемый формулой (ВА) х = В (Лх), есть линейный оператор из Х в Х". Его дистрибутивность следует из дистрибутивности А и В, а ограниченность — из очевидного неравенства )',(ВА) х)) ((В( ~) Ах~~х «1В ~~,'~ ~А1 ))х(х.
Отсюда следует, что ((ВА ) ( )' В| (, 'А ~( Можно образовать и произведение нескольких сомноакителей. Если А — линейныИ оператор из Х в Х, то можно брать его целые положительные степени: А'=- =А(Ах) и т. д. Отметим, что произведение сомгюжителей лгожет зависеть от их порядка. Если, например, А и  — линейные операзоры из Х в Х, то имеет смысл говорись о следуюших линейных операторах из Х в Х: (ВА) х=В(Ах) и (АВ)х=А(Вх). Эти операторы могут быть различными.
Аналогичное замечание относится и к случаю нескольких сомножителей. Сильную схоаимость операторов иногда называют просто сходимостью. Мы будем пользоваться для нее обозначением А„ — А. Пусгь А„ и В„ — последовательности линейных операторов из Х в Х' и а — числовая последоаательность. Нетрудно показать, что если а„— а, А„— А и „— В, то а„А„— аА и А„+„— А+ В.
Аналогичное утверждение имеет место и для сходимости по норме. Если А„— линейные операторы из Х в Х' и В„из Х' в Х", то из А„— А и В„-- В следуег В„А„— ВА (то же для сходимости по норме). Докажем последнее утверждение. Мы имеем ВАх — В„Алх = ( — В„) (Ах) (- В„(А — А„) х (ВАх — В„А„х'„х" ~((В Вя)(Ах)~~~х +ГВ„~',.1(А — А„)х~гх. 106) ВпОлне няпевеьп1ныв опвглтояы Первое слагаемое стремится к нулю, ибо „— В, и второе— в силу того, что (~ В„1, 'ограничены и А„— А. 105. Сопряженные операторы. Пусть А — линейный оператор нз Х в Л" (Х и Х' — типз В) и Р(х) — какой либо функционал в Х'(Р Е Л'.").
Легко видеть, что Р(Ах) будет при этом линейным функционалом в Х: Р (Ах) = У (х). При данном А это равенство приводит в соответствие всякому элементу Р ~ Хьь элемент Е ~ Х'". Можно написать это в виде У = А "Р, где оператор А ", определенный во всем Л'а с областью значений в Х:", называется сопряженным с А.
Из дистрибутивности линейных функционалов и оператора А следует дистрибутивность А'". 11окажем теперь огра и иче ни ость А', а также тот факт, что ьАь1='1А), причем левая часть есть норма оператора в Х"' и правая в Х. Мы имеем ! У(х) ! = , 'Р (Ах) ( (/) Р1 ° ) Ах', ---1Р) (~ А (( ()х!(, откуда 1ь1«='1ь 1) 1Аь~. Но 1=АьР, и, следовательно, 1АЯ( '1А1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
