1610915356-5872c4d4ad41802c73f2f3fcece03aba (824746), страница 66
Текст из файла (страница 66)
Мы знаем, что 1(х„) — 0 при любом выборе у(1) из ьс[0,1], т. е. У(х„) — 1(0), где 0 — нулевой элемент Та[0,1] (функция, эквивалентная нулю). Таким образом, а!пива — "8 при л — со в 1.с[0,1]. В то же время сидю!ой сходимости нет, так кзк ! [; 8 — хл~!' — — ~ з1п'ля(п(= -2-. 1 317 101] сллвля сходимость элямгнтов Теорема /. сЕсли х„— ' хь, то иоследоватсльность'.,х„' ограничена. Мы можем рассматривать х„и хь ка с э.чемгнты Х""'.
При сс этом из х„— 'хь следует, что соответствующие х„функционалы в Л'ч сходя гся слабо к функционалу, соответствующему х,. Но при этом, по теореме 1 из ]100], нормы упомянутых функционалов, равные ]хь], образуют ограниченное лшо;кество, и теорема доказана. Слабая компактность множества элементов Х определяется так же, как и слабая компактность множества функционалов. Всякое ограниченное множество элене>пов х С х', ( С) является ограниченньш множеством в Хч"', но это последнее множество, прн сепарабельносги Л'", слабо компактно, как множество функционалов в Х.'.
Если Х вЂ” регулярное пространство, т. е. Л'ьь = = Х, то из скзззпного следуе~; Теорема к. Если Х вЂ” регулярно, а Х и Лв сепарабельны, то всякое ограниченное лгножество элементов Х слабо ко ипактно. Отметим, что если Х не регулярное прас гране гво, т. е. Хьь шире Х, то предел последовательности элемепгов Хьь может быть тзким элементом Хь", кочорому не соответствует элемент Х. Можно доказать, что если Х сепарабельно и регулярно, то и Х' сепарабельно. Из указанного выше соответствия элементам х С Х элементов Х"ч и теоремы 2 из [100] непосредственно следует: Теорема 3.
Для того чтобы последовательность х„элементов регулярного пространства Х слабо сходилась, необходсиго сс достаточно, чтобьс последовательность ',!х„]] была ограниченной и чтобы существовал предел 7!х„) на некоторо,ч линеале У элелгентов 7 С Х"', плотном в Л'".
Как и в ]100], линеал У можно заменить таким множеством элементов Хь, линейная оболочка которого плотна в Х'. Теорема 4. Пусть А — линейный оператор в пространстве Х слила В и Я(А) прггнадлежилг пространству Х' также типа В. Еслсс х„-'-'л х, в Х, то Ах„— "'- Ах„в Х'. Пусть т ]у) — любой липейнып функционал в Х'. Негрудно видеть, что лг(Ах) есть линеиныи функционзл в Х, и из х„—" х, в Х следуе~, что т1Ах„) — т]Ахь). Это имеет место для любого функционала в Х', и, следовательно, Ах„ †" Ах„ в Х', и теорема доказана. Мы знаем, что линеиныи оператор непрерывен в смысле сильной сходимости. Теорема 4 утверждает, что он непрерывен и в смысле слабой сходимости.
Мы видели, что если х„ =гхь, то ",х„'! -ь1'х„'! ]96]. )Тля слабой сходимости этого свойства может и не быль. Обратимся к указанному выше примеру последовательности функций э!п ивх из Ес на сь. 1 ]О, 1]. Мы видели, что з!пппх — "!), а!'з!пипх1== )Г2 Теорема 5. Если х„-'-'хха, гио ]хь] -1нп!!х„Г. Отмегим прежде всего, что !Вп1х„! — конечен в силу т оремы 1. Доказываем теорему 3!8 мвтвичвсссив и ноямивовлнньсв пвостелнствл 110! от абра~ного. Пусть !х,';) !1ш'!х„,'!. Возьмем какое-нибудь число т, удовлетворяющее неравенству !! х, '! ) т ) 1пп ', ~ х„1~.
(67) О~сюда следуе~, что сусцествует такое ЛС, что !,'х„)(ис при и= И. Далее имеется такой линейный фушсционал г(х), что ?(х„) = = (! х„,' и 1 ?!= ! 1981, и мы иасееьс,' ?(х„))» ! ?!1!)х„,'), т. е. с?(х„)( = )х„((т при п = счс, а, в силу (6?), ?(х,)=,'!х,~!)т. Таким образом, ?(х„) не стремится к ?(х,), что противоречит условюо теоремы, и теорема доказана.
Положим, что пространс~во Х удовлетворяет следуюсцеиу условно: при любом заданном д) О существует число т ( 1 тзкое, что !!х+у'1 если с'!х~!=,!у!!=1 и с1х — у((=а, то ', (т). При этом говорят, что Х вЂ” равномерно выпуклое пространство. Для оь таких пространств справедливо следующее утверждение: если х„—" х, и !!х„!,' — ' х,1, то х„=)х,.
В дальнейшем мы докаскем это для частного случая пространства — гильбертова пространства. Свойство равномерной выпуклости имеет место для пространства Ее при р ) ! (см., напрямер, С. Л. Соболев „Некоторые применения функционального анализа в математической физике"). Теорема б. Если х„— '"' ха, то х, прсснадлежсст замьсканию (по норме) линейной оболочки лсножеетва элелсентов х„(п = 1, 2...). Доказываем это от обратного.
Пусть У вЂ” линейная оболочка элементов х„, предположим, что х, не принадлежит У, т. е. 1п1!, 'х, — у !1 = с( ) О. (68) р(и Для всякого числа (, отличного от нуля, имеем ~~(ха+у!с=-.-11! й Действительно, (691 !' +у~1=М () — —,у(!. Но если у С У, то и — у б У, и (69) непосредственно следует ! из (68). Рассмотрии теперь множество элементов вида х=(х,+у, (7 0) где у ц У и ( — любое число. Как и в [98], легко видеть, что представление х в виде (70) единственно, и что указанное множество элементов х — линеал. Обозначим его буквой Гс и определим на нем дистрибутивный функционал формулой 7(х) = 1, так что ?(у) = О, если у с У.
Докажем, что этот функционал ограничен на Гс. Пусть О. В силу (69) можем написать )(((ха+у) (= !с (» —,(ха-'с— у1!. При с = 0 это неравенство очевидно. лнпвипыв Функционалы В С Тг и 7г !О2) Таким образом, ,[/) ( -„ па )г. Мы можем продолжить Е на все 1 Х с тои же оценкой нормы и получим некоторый лине11ныи функционал Е(х). По определению У(х,) = 1 и Е(х„) = О, ибо все х„~ У. Мы видим, что Е(х„) не стремится к Е(хь), что противоречит условшо теоремы: х„— "х,.
Теорема доказана. Доказанную теорему можно сформулировать еще следующим образом: если х„— "х,, то существуе~ последовательность линейных комбинаций элементов х„: с~х, + -!- сяьхя + ... + сь х„ь (/г = 1, 2,...), которая сильно стремится к х,: с, х, + саха+... + с„„=эха при гг — со. Можно докзззть более сильное утверждение: если х„— "' х„то существует такая подпоследовательность х„ь (А = 1, 2,...), что 1 — (хгч+х„+...+х„) =ьхь при и со.
Теорема 7. Еслгг проопранство Х регулярно п последовательносгпь х„Е Х слабо сходпгпся в себе, т. е. Р(х„) — Р(хт) = 7(х„— — х )-ь О прп и и пг -ь со для всякого элемента Р Е Х"', то эта последовательность х„— слабо сходящаяся. Из условия теоремы и признака Коши для числовых последовательностей следует, что 7(х„) имеет предел для любого 7Е Х":, т. е. линейные функционалы 7. „(7) = 7(х„) в Х* имеют предел для любого 7 Е Х".
Этот предел есть также некоторый линейный функционзл в Х*. 1-!о из регулярности Х следует, что этот предельный функционал имеет вид 7.„(Е)=7(хь), т. е. для любого ЕЕ Хв имеем 7(х );.7(х,) т е х ".х,, что и тРебовалось доказать. Иначе теорему 7 можно формулировать так: регулярное пространство Х обладает слабой полнотой. 102. Линейные функционалы в С, Ер и 1т 1. Мы знзем, что в С на конечном промежутке [а,д] общий вид линейного функциопзла есть [15[: 7(У) = ~ Лх) йй(х), а (71) где е(х) — функция ограниченной вариации, непрерывная справа и удовлетворяющая условию а(а)=О, причем различные функции е(х) с указанными свойствами порождают различные функционалы 7(7).
Мы знаем также, что [[У;[= (га(х). Можем, таким образом, сопостаа вить каждому Е(7) в С функцию е(х) с указанными свойствами и 92О мвтничнскив и ногминонанныв пностнлнстал [162 Ь с нормой ; 'а'= (гу(х) и отождествить просграпсано Св с просграни стном (г указанных функций. Пространство \' есть пространство типа В [96[. Рассмотрим теперь функционалы в С*, т. е. н Г. Формула (71) при любой фиксированной непрерывной па [а,а[ функции г"(х) дает такой функционал. Этим самым просгранстно С погружае~ся в С"'"'. Покажем, что не нсе функционалы в Г представимы формулой (71), Возьмем в качестве фуюсционала 7ь(7) н г' сумму скачков у(х) и покажем, что он не представим формулой (71) ни при каком выборе непрерывной функции У(х). Построим следующий элемент К 0 при а(х(с, Мх)= (с) а). 1 при с =" х -= 7г.
Если бы мы имели формулу (71), то получили бы 7„(ен)= Г(с). Но сумма скачков ая(х) есть единица и, следовательно, г"(с)=1, т. е. непрерывная функция г" (х): — 1. По тогда формула (71) дает 7,(а)=д(7г) — а(а), а эта разность не для всякой функции е(х) ~ (г есть сумма скачков. Таким образом, С*' шире, чем С, т, е. С вЂ” не регулярное пространство. Все сказанное выше относится к вещественным функциям, но может быть распространено и на комплексные функции: 2.
Установим теперь общую форму линейного функционала в пространстве 7. (у) 1) вещественных функций на ограниченном измеримом множестве 5, из )7„. Пусть 7(7) — такой функционал и шй (х)— характеристическая функция какого-либо измеримого множества входящего н фм Очевидно мй (х) е 7. (й,), и мы обозначим 7(мй) = у(у). (72) ~~ай (х) ь-1 (73) сходится в 7. ($а). Лейстнительно, $ ~., и)'= $ у.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
