1610915356-5872c4d4ad41802c73f2f3fcece03aba (824746), страница 61
Текст из файла (страница 61)
Функционалы на компактных в себе множествах. Поло>кии, что функционал Е(х), принимающий вещественные значения, определен на компактном в себе множестве У метрического пространства Х. Он называется непрерывным, если из х„=ох, следует 1(х„) — ь г(хо) Для таких функционалов имеет место теорема, аналогичная теореме о непрерывных функциях на ограниченных замкнутых множествах пространства Й„. что и доказывает необходимость условия (39). При р=1 доказательство не использует неравенство Минковского. Д о с т а т о ч н о с т ь. Предполагаем, что элементы У уловлетворяют условиям (38) и (39) и доказываем компактность У.
Пусть задано а)0. Каждому элементу (!1, 22,...) из У сопоставляем урезанный элемент (2„22,..., ч„, 1 О, О,...), и пусть У,— множество этих урезанных элементов. Из (39) следует, что для любого х Е У существует такой элемент у Е У„ что )х — у ( а, т.
е. множество У, есть а-сеть для У. Остается доказать, что У, — компактное множество [89). Доказательство этого аналогично доказательству того, что всякое ограниченное в Й„ множество в компактно. В силу (38) имеем ["„[ ~ С для любой составляющей элементов У из У,.Мы можем из любой последовательности элементов У, выбрать подпоследовательность, у которой первые (л, — 1) составляющих имеют конечный предел. Остальные составляющие этих элементов равны нулю, и отсюда следует, что упомянутая подпоследовательность сходится в ср к элементу, у которо~о все составляющие нри а ) и, равны нулю. Тем самым компактность У, доказана.
Из доказанной теоремы следует, что сфера [х[ ( г в Ур не компактна. 93! Фгикгшоиалы иа комплктиых В свьк миожвсгвчх 297 Теорема 1. Если У вЂ” компактное в себе .иножество про- странства Л' и 1(х) — вещественный непрерывный функционал на У, то он ограничен и достигает на У своей точгсой нижней и верхней границ, Будем доказывать только ограниченность снизу и достижимость точной нижней гранины. Ограиичеииосгь доказывается от об- ратного. Если бы множество значений 1(х) было иеограиичениым снизу, то существовала бы последовагельиость элемеитов х„из У, такая, что 1(х„) — ь — со. В силу компактности У, можно выделить из х„сходящуюся подпоследовательиость хвв=гх, и, в силу компзктиости в себе, х, Е У.
При этом, в силу непрерывности 1(х), имеем 1(х„ ) -ь 1(х,), что противоречит 1(х„„) -ь — оо, ибо 1(х,)— конечное число. Пусть а — точная нижняя граница множества значений 1(х) па У. При этом существует такая последовательность элемеитов х„ ~ У, 1 что а-" 1(х„)(а+ —. Как и выше, можем считать, что х„~ =)х„ л' лв — в где х, Е У, и, следовательио, 1(х„„)-ь1(х,). Но из а(1(х„в) ( 1 = а + — следует, что 1(х„) -ь а, откуда 1(х,) = а, что и требопв вь валось доказать. Выше мы ввели понятие нижнего и,верхнего пределов последователь- ности вещественных чисел а„(п = 1,2,...).
Введем для иих обозначения 8 =! йп а„; Т = 1ип ат Эти пределы могут быть рзвпы + сю или — со. Если последовательность а„ имеет предел, то Я и Т совпадают с этим пределом. Кроме того, из определения Я и Т следует, что никакая подпоследовательиость а„ последовательности а„ ие может иметь пределз, который меньше Я или больше Т, ио есть хоть одна подпоследовательиость, которая имеет предел Я, и такая, которая имеет предел Т.
Функционал ((х) иааывается иолу и е ар е р ы в и ы м снизу иа У, если из х„=ьхч следует, что !1ш1(х„))1(х,), и п о л у и е п р е р ы в и ы м с в е р х у, если из х„=)х, следует !пп 1(х„) = 1(х„). докажем важное в приложениях обобщение теоремы 1. Теорема 2. Функционал 1(х), определенный на колгпактно.и в себе лгножестве У лгетрпческого пространства и полунеире- рывный снизу (сверху), ограничен снизу (сверху) и достигает на У своей точной нижней (верхней) границы. Берем функционал, полу- иепрерывиый снизу, и доказываем, как и в теореме 1, ограниченность снизу. Предположение 1(х„) — со приводит к подпоследователь- иости х„„ = хв, где х, Е У и 1(х„в) -.
— со. Но, в силу полу- иепрерыиюсти снизу, 1пп 1(х„) ~1(ха), где 1(х„) — конечное число, что противоречит 1(х, ) — — со. 296 натеичещсив и ноямнеоидннык пеостиднствл [94 Пусть а — точная нижняя граница множества значений У(х) на У, 1Сак и в доказательстве теоремы 1, получим подпоследовательность х„д =)хь и а(1(х„д)(а+ —, Из первого следует: 1пп Е(х„д) 1 )Р(хд), а из второго йгп Р(х„д)=а, откуда У(х,)~а. Но а— точная нижняя граница значений 1(х) и, следовательно, Е(хд) = а, чго и требовалось доказать.
94. Сепарабельность. Метрическое пространство Х, содержащее бесчисленное множество элементов, называется с е п а р а б е л ьны м, если существует счетное множество элементов Х: хь х,,..., плотное в Х, т. е. для любого х Е Х и любого а ) О имеется такой элемент х, из упомянутого множества, что р(х, х,) ( д. Выше мы доказали сепарабельность Е и ь (р ) 1) [59, 60]. В пространстве С упомянутое счетное множес~во есть, например, множество всех полиномов с рациональными коэффициентами. В просгранстве й„ таким множеством является множество элементов (аь ам ..., а„), у которого все числа аь рациональны или (в случае комплексного пространства) имеют вид ад = ад + [з ', где ад и Зд— вещественные рациональные числа.
В прострзнстве в это множество есть множество элементов вида (а, а,,..., а„, О, О,...), причем все ад — рациональные числа. Покажем, что прострзнство т не сепарзбгльно. Рассмотрим множество У различных элементов х (а„ а,,...) из т таких, что числа ад равны или нулю или единице. Считая, что ад есть 1г-ый знак после запятой у числа, написанного по системе счисления с основанием два, мы видим, что множес~во У несчетно. Принимая во внимание сказанное в [1[, легко видеть, что оно имеет мощность континуума. Лля любых двух различных элементов х и у из У имеем р(х, у) = 1. Пусть пространство нг сепарабельно, т. е.
имеется счетное множество хд(А = 1, 2,...) элементов т, плотное в лй и Вд— 1 сферы с.центром хд и рздиусом —. Множество этих сфер счетно, 3 ' и, по крайней мере, в одной из них принадлежит более одного элемента У. Пусть у и е — различные элементы У, находя гциеся в 1 одной из указанных сфер. Мы имеем: р(у, е)(2 —, что противоречит р(х, у) = 1, и несепарабельность т доказана.
Теорема. Всякое множество У элелгенл~ов селарабельного пространства Х селарабельно. Нам надо докааать существование конечного или счетного множества элементов У, плотного в У. В силу сепарабельности Х, имеется счетное иножество х„(л = 1, 2,... ) элементов Х, плотное в Х. Через Я(х„, г) обозначим сферу с центром х и радиусом г. Рас- 1 смотрим сферы Я[х„, — „. (1г=1, 2,...), и, если какая-либо из эпгх 299 95! линвпныв ноемиеовьнныв пеостеьнствь сфер содержит элементы (7, выберем один из этих элементов.
Таким образом, получим конечное или счетное множество и (т = 1, 2,...) элементов У. Пусть и — любой элемент У и ь ) Π— заданное положительное число. Докажем, что, по крайнев мере, для одного из элементов и выполняется неравенство (! сс — и (! ( а. Мы можем при этом считать ь(1, так что существует такое целое положительное число 7, что 1 2п' 2'' ' — — (ь(— 95. Линейные нормированные пространства.
Мы введем теперь абстрактные пространства, которые являются метрическими, но обладают и другими свойствами. Элементы пространства будем, как и выше, обозначать последними буквами алфавита х, у, »,..., а числа первыми а, Ь, с,.... Эти числа можно считать или вещее~земными, или комплексными. В первом случае мы имеем вещественное пространство, во втором — комплексное. Палаше, если не будет оговорено особо, мы будем рассматривать комплексные пространства. Множество Х элементов х, у, »... называешься л и н е и н ы м пространством, если его элементы удовлетворяют указанным ниже аксиомам.
Аксиома А. Элементы Х можно умножать на числа и складывать, т. е. если х и у элементы Х и а — число, то ах и х+у суть также определенные элементы Х. Указанные операцпп подчиняются следующим законам: 2) х+(у+») =(х+у)+»! 4) (а + Ь) х = ах + Ьх; 6) !х=х; 1) х+у=у+х; 3) а(х+у)=ах+ау; 5) а(Ьх)=(аЬ)х; 7) если х+у = х+», то у=». Введем понятие нулевого элемента. Пусть х и у — любые два элемента из Н. Мы покажем сейчас, что Ох= Оу. Обозначим Ох=О и Оу=ди Пользуясь законами 4 и б, можем написать х + О = 1х + Ох = (1 + О) х = 1х = х В силу того, что множество х„плотно в Х, существует такое ь 1 и = п,, что !!и — х„ (! ( — ( †„ откуда следует, что сфера ! ! 5 (х„, — 1~ содержит элементы У.
Пусть и, — тот элемент (7, который мы выбрали из этой сферы (он можег и не совпадать с и). По- ! 11, ! скольку и и 1ь„с Я~х„, -71, имеем ()и — и',)( — ! —, -. ь, что и 1ребовалось доказать. ЗОО метеичьские и ноРмиРОИАнные НРостРАнства (95 и совершенно анало~ично у+В,=у. Далее, в силу законов 1 и 2, имеем (х + у) + В = (х + 8) + у = х +у, и совершенно аналогично (х+у)+В,=х+у, откуда следует, что (х+у) + 8 =(х+у) + Вн и, в силу 7, мы и имеем 0 = 9,. Таким образом, при умножении любого элемента на число О мы получаем один и тот же элемент, который и назовем н у л е в ы м э л е м е н т о м.
Обозначим нулевой элемент символом В. Нетрудно проверить следующие простые следствия указанных выше законов. Произведение аВ при любом комплексном а равно 0. Если ах=В и а ~ О, то х=В. Если ах=Ьх и х ~ 0, то а=Ь. Если ах=ау и а ~ О, то х=у. Символом ( — х) обозначим произведение ( — 1)х. Разность х — у определим формулой: х — у= х+( — у). Нетрудно проверить, что и для разности справедливы обычные правила алгебры. В дальнейшем нулевой элемент мы будем обозначать просто символом О. Это не вызовет путаницы с числом О, если внимзтельно относиться к тем равенствам, которые в дальнейшем будем писать.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
