1610915356-5872c4d4ad41802c73f2f3fcece03aba (824746), страница 60
Текст из файла (страница 60)
Отсюда получаем ! Ю (1 + Ь) — у (1) [ ( ! 9 (1 + Ь) — 9 (1 + Ь ) ! + + ! Р,(~+ ь) — 9,(т) [+ ! Р,(1) — ю(П!. При ! Ь ! ( т[ все слас аемые правои час~и ~ —, и, следовательно, ! ~1(т+Ь) — о(1)[~в при [Ь! =т1, и равностепенная непрерывность функции, входящих в (l, доказана. Их ограниченность непосредственно следует из того, что ограниченность У есть'необходимое условие компактности [89]. Указанный критерий компактности совершенно так же доказывается для функций многих переменных, определечных на конечной замкнутой области из й„. Если функции определены на ограниченном замкнутом множестве, то доказательство в существенном то же.
91. Компактность в т.. Рассмотрим пространство с'. функций о(х, у) на некотором измеримом ограниченном множестве 9 плоскости (х, у). В дальнейшем мы будем счигать, что все эти функции продолжены нулем во вне 9 и что интегрирование производится по всей плоскости. Фактически интегралы будут сводиться к интегралач по ограниченным измеримым множествам. Теорема. Для компактности множества У элементов Ь необходимо и достаточно, чтобы все функции ~у(х, у) из У удовлетворяли следующим двум условиям: 1. Существует такое С)0, что [о[[=~ ~ !о(х, у)[эахс(у! (С (ограниченность), (28) $ где ( у ,'! — обозначение левон части неравенства (28). Эта величина называется нормой о (х, у) в Е на ф [62!.
2. При любом заданном а)0 существует т1)0, одно и то же для всех 9(х, у) нз У, такое, что ! ';8д,р!'=~ [ [9(х+Ь, у+Ь) — о (х, у)!Ыхс(у[ (а при ) ' Ь'+ Ь' ч- т1. (29) 292 мгтвичвскнв и ноямивованныв пгостялнства [91 Мы знаем, что для всякой фиксированной функции из 1. при заданном а) 0 существует т) 0 такое, что имеет место (29) (непрерывность в среднем) [70[. Это же очевидно имеет место и для конечно~о числа функций ва(х, у) (1а = 1, 2,..., л) из 7.. Достаточно взять наименьшее из ть соответствующих каждой ма (х, у). Свойство (29), которое долягно имегь место для всех ср(х, у) из У, можно назвать рави ос те пенной непрерывностью в среднем всех функций из У.
Отметим еще, что в(х+Ь, у+А) — измеримая функция и о(х+Ь, у+/г) — о(х, у)=0 вгге некоторого ограниченного измеримого множества. Необходимость указанных условий доказывается совершенно так же, как и для С. Только везде абсолютное значение разности 7 — ф надо заменигь на [7 — ф['=р(7. ф) в тр.
Действительно, ограниченность (28), которую можно записать в виде р(0, в) (С, как мы знаем, необходима для компактности. Далее из компактности следует существование конечной †, сети, т. е. конечно~о числа таких функ- 3 ций фа(х, у) (1=1, 2,..., л) из 7, что для любой в(х, у) Е У найдетсЯ такаЯ о,(х, У), что [[1~ — ф,[)~ —.
ДлЯ всех фа(х, У) сУществует т)) 0 такое, что выполняется условие [иааф,[)( — пРи )гй'+И'(т). (30) Далее пишем )7(х+ Ь,у+юг) — ч(х,у) [( ~в(х+)),у-[-7г)— + ~ ср, (х + Ь, у + Уг) — в, (х,у) [+ ( ср, (х, у) — а (х, у) [ и, применяя при р) 1 неравенство Минковского, получаем (29), в силу (30) и ),'в — ф,[, '( —. При р=1 (29) получается непосредственно. Будем ~еперь доказывать достаточность условий (28) и (29). Обозначим через н, (х, у) среднюю функцию для 7 (х, у) [71[. Мы имели формулу (178) из [71].
При любом р--1 она имеет вид ['Е~ — о ([я( — ~ ~ ~ [1~(Е, т)) — о(Е+ и, т)+и) [ЫЫт1~г(ис(и, (31) где С, — постоянная. В силу условия (29) при любом заданном а) 0 существует т))0, одно и то же для всех функций в(х,у)е У, такое, что ~у (Е, ъ]) — ср (Е + и, т) + и) !Я г(Ес(т1 ( — при и' + эа ( т1Я, ~ я и неравенство (31) дает нам для любой в(х, у) Е У: [,~р — ср ,'[(а при р ~т).
(32) 293 9!) КОМПАКТНОСТЬ В Норма слева берется по всей плоскости В (фактически по ограниченному множеству). Тем более й 9 — ррр1 В ( а при р (т1. фиксируя р ( ть мы можем утверждать, что функции ррр(х, у) обрззуют а-сеть для множества У функций ру(х, у). Пусть Л (а = х - Ь; с ~у ч-.р() — промежуток, содержащий В. В силу условия (28) и теоремы 3 из 171) можно утверждать, что множество 9,(х, у) компактно в С на В и, тем более, компактно в ).р на 5. Такилр образом, функции ррр(х, у) образуют компактную а сеть для У и, в силу произвольности р, можно утверждать, что множество У компактно. Достаточность (28) и (29) доказана.
Рассмотрим теперь тот случай, когда В есть полная плоскость В . Предыдущее доказательство уже теряет силу, ибо множество функций рр (х, у) может оказаться некомпактным. Необходимость условий (28) и (29) для компактности доказывается, как и выше. Но эти условия недостаточны. К ним надо добавить еще одно условие, а именно: для любого заданного р ) 0 существует такое положительное ЛР, одно и то же для всех функций р(х, у) нз У, что 1,(х, у)~р ~хну~", „,)  — ам где р1„, есть промежуток ( — гл~х~лр; — т(у(гл).
Отметим, что если условие (ЗЗ) выполнено для некоторого И, то оно сохраняется и при увеличении М. Покажем необходимость условия (33), Если множество У ком- Е пактно, то для него существует конечнзя — сеть функций 9А(х, у) 2 (рр=1, 2,..., л). Для каждой из этих фун<ций выполняется условие (33) и ввиду того, что их конечное число, при любом заданном а)0 существует такое И, что -6 = ~9„(х, у)~ вРхр(у( — (7г=1, 2,..., и). (34) Вю — ам Возьмем какую-либо 9(х, у) Е У.
Найдется такая функция 7р(х,у), р что (~7 — р1,,'(В ~ — . Из неравенства 1 ~ ~' В „— д,~ '! 7 Ы В „— а„+ 1~ т.1 — а,, неравенства (34) и ,')рр — рр,(В а -.)~9 — чр,(В =.-2- следует 1 Рт~ — а ~ ~ ~" ( 'У)~ У) 2+ 2 В ам что и доказывает (33) для любой 7(х, у) Е У. 294 МБТРИЧВСКИВ И НОРМИРОВАННЫВ ПРОСТРАНСТВА [91 Локажем теперь достаточность условий (28), (29) и (33). Пусть для функпий р (х, у) Е У эти условия выполнены и р, (х, у), гря(х, у),... — любая последовательность функций из К Надо доказать, что из нее можно выбрать подпоследовательность, которая сходится в т.р на 9 .
Из (28) и (29) следуег, что можно выбрать подпоследовательность р„п'(х, у), р„<Н (х, у),...„ которая сходится в т'. На ЬР Из этой последней можно выбрать новую подпоследовательность О„~ (х, У), Р„ (х, У),..., котоРаЯ сходитсЯ в ьр на Ь,, и т. д. Составим подпоследовательность (35) Р„н (Х, У), гР„"'(Х, У), О„н'(Х, У)... которая является подпоследовательностью для основной последовательности р (х, у).
Если лг †люб целое положительное число, то все члены последовательности (35), начиная с р Рю(х, у) принадлежат л,л тОН ПОСЛЕДОВатЕЛЬНОСтн гР„РЮ(Х, У), Р„лл~(Х, У),..., КОтОРаЯ СХОДИТСЯ в Е на Ь„, т. е. последовательность (35) сходится в Л на любом конечном промежутке Ь„,(гл = 1, 2, ...). Докажем, что она сходится в т'.р и на й . Рассмотрим интеграл: р ,'~ Рл~п — Р„<г1 )~ = ~ 1э„1Я1(х, У) — Р„<г>(х, У)(»вгхЫУ+ аа + ~ ~гр„нд(х, у) — р„<г1(х, у) 1» г(х г(у. л дт Принимая во внимание очевидное неравенство ( х+у !" ( 2»1х )р+ + 2» ) у )Р, получим ~! р„м1 — ср„(л(! ( ~ ! р„м1 (х, у) — О„гг (х, у) 1» дх Ыу+ ди + 2» ~ 1:р„кп(х, у) )~ с(х г(у+ 2» 1 ! ср„' 1(х, у)1'г(хг(у.
Ч г Ю~~ — ат й' алг В силу условия (ЗЗ), при любом заданном а)0 существует такое т, что сумма слагаемых правой части, кроме первого, ер меньше --. Фиксируя такое лп получим р лр ~~Р»11 — Р.~ ~' ~ ~ 1Р.М (Х, У) — Р.11(Х З)ГГ(ХОГг+в ". 3--3 лг г Но из сходимости последовательности (35) в Е» нз Ь следует, что стоящий в правой части интеграл не больше — прн всех доста- 2 комплктность в ур 295 92) точно больших д и г, и, следовзтельно, существует такое ~И, что ~ ~«««кд — у„о~' ,р «" при а и г)Лд, т. е.
последоззтельность (35) сходится в себе в Ьр(й ), и, в силу полноты ьр(5 ), эта последовательность имеет предел в Е ($ ). Достаточность условий (28), (29) и (33) доказана. Легко убедиться в том, что последнее условие не есть следствие двух первых. Мы для определенности рассмотрели случай плоскосги. Все сказанное, очевидно, справедливо и в любом пространстве Я„.
Ооознзчая через х (хн х.„ ..., х„) ~очку этого пространства и вводя обозначение с(х = г(х,с(х,,..., бхн запишем условия (28) и (29) в виде 1 Я~у(х)~ (х~' С 1 ~~ !~>(х+у) — ~(х)Рг(х~ =.а при )у!(т„(37) где У имеет составлЯющие (Ун У„..., У„) и !У!=)г'у« ~-у(+ +у1 92. Компактность в (р. 1(окажем следующую теорему: Теорема. Для компактности мнолсества У элелсентов с (р- 1) необходимо и достаточно, чтобы все элементы хД, 1„...) йз У удовлетворяли следующим двум условиям: 1. Суще с тв уе т такое число С) О, что о« 1 '1 х!!=(~!Е )Рт~в ~С (ограниченность).
(38) ~-1 2. При любом зада ни он а)0 существует ц ел ое положительное л„одно и то же для всех хЕ У, такое, что СО ! (39) Необходимость. Ограниченность (38), как л~ы знаем, необходима для компактности. с(алев из компактности У следует существование конечного числа элементов х«(н = 1, 2,...„ т) из 2 таких, что для любого х ~ У имеем: р(х, х,) = )х — х,)) ( †, где х, один из элементов х„. Для элементов х«(1«, ,'«,...), поскольку их конечное число, существует такое делос положительное и., что [93 296 мвтРичРскиг и ИОРмиРОВАнпыв ИРостРлиствА со 1 (~~(1, >>') ( 2. (40) >=л, >л=>, Х.... лс> Но из,:~х — х,[>( — следует со ~Ч /11 "Чс~~л)Р -[ у>>ч гл>Р)Р~ ', >=л Е 1 1 и, применяя неравенство Минковского для сумм (р) 1), получим со 1 со 1 со 1 (~~ > с >Р) Р () 12 гм> [Р) Р [ (2~~~ 1>с> [Р) Р >=л, 1=л, 98.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
