1610915356-5872c4d4ad41802c73f2f3fcece03aba (824746), страница 64

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 64)

Принимая во внимание, что ![х' — х" ! = [(х' + х,)— — (х" + х,) )[ ( ! х' + х, [! -~и ,'( х" + х, '!, получим, в силу (53): 1(х )— — [1 1![и ",, х' + х~ [ = 1(х") + ',!1",и х" + х~ ~~. Взяв точную нижнюю границу множества чисел, стоящих справа, и точную верхнюю границу для левой части, когда х' и х" независимо пробегают все У, получим знр [1(х) — [!1~[и!~ х+хь Д с !п! [1(х) + [1[и[)х+ х~[![, Еи «Еи причем правая часть, очевидно, конечна, а, следовательно, и левая.

Таким образом, существует вещественное число а, удовлегворяющее нерзвенству зцр [1(х) — ([1[!и! х + х, [[ [ ( а -=- !п ! [1(х) + [! ! и !х + х, ![[, (54) Ги «Еи Распространим теперь 1(х) с У на У,, Пусть г=у+1х,— любой элемент Ун ГГолоягим 1(г) =1(у) — 1а, (55) где а — фиксированное вещественное число, удовлетворяющее неравенству (о4). Если «с У, то 1=0, и 1(г) совпадает с 1(у), т. е.

формула (55) определяет на У, функционал, совпадающий с прежним на У. Поэтому мы сохранили для расширенного функционала прежнее обозначение. Дистрибутивность 1(«) непосредственно следует из (55), дистрнбутивности 1(у) на У и формул «=у+1хб сг=су+с1хб г'=у'+1хб «" =у" +1"хб г'+ г" =(у'+у") -[- (1'+ 1") х,. 309 линвдныв ФункциОИАлы 98! Покажем наконец, что норма Р(«) в (7, не больше, чем !!7,'!и (поннзиться она не может). Будем счигать !)О.

Принимая во вни- !1 ! 1 мание, что 7(у) = !71 — у Б причем — у Е (7, получим 7(«)=! [7( — у) — а~. (56) Ио из (54) следует а Ум 7 ( — у) — !, '7;$О ~ — у + х, ~, и заменяя в (56) а л!еньшим числом, стоящим в правоп части этого неравенства, получим (! ) 0): 7(«) ~ (~~7(и~~ — У +хг~~=1171~и3У+(х~ !1=',!7!и~!!«!( Переходим к случаю Г(0. Из (54) следует -'( —,«)+'Мдр! —,у+ ! ! и, заиеняя в (56) в разности l~ — у) — а число а большим, получим () 1! = — !): 7( — у) — а ) — !!7!!сг ~ — у+ х, ~~= — ! — !!7!~(Н)1у+~хг!(= — 1!7!!и~!~«). ! 1! '! ! 1 Умножая обе части этого неравенства на отрицательное ! и принимая во внимание (56), получим 7 («) --117(~~н !! «!!.

Если 1 = 0, то « Е У, и написанное неравенство очевидно. Таким образом, при всяком « Е (7, имеем 7(«) ~ (1г'((и! «,'~. Меняя в этом неравенстве « на ( — «) и принимая во внимание, что 7( — «) = — 7 («) и !! — «',) = =(',«1, получим — 7(«) (!!7)1Н1(«!). Эти два неравенства приводят нас окончательно к неравенс~ву ( г («) ! (~~7!!и!1«!! (57) из которого и следует, что при указанном распространении 7(х) из (7 на (7, норма остается прежней.

Переходим теперь к дальнейшему распространению. Если элемент х, из указанной выше последовательности принадлежит (7н то отбрасываем его. Если же нет, то распространяем 7(х), как и выше, с линеала У, на линеал (7н состоящий из элементов « =у + !хм где у — любой элемент (7, и à — любое вещественное число. Продолжая так и дальше, удержим прежнее обозначение хи ха ... для элел1ентов, которые не отбрасывались при указанном выше построении (их может быть и конечное число), Таким ну~ем мы продолжим 7(х) на линеал У элеиентов, имеющих вид у+ с!ха+ схя+... + с„х„, 810 мвтиичГскив и поимииовлцг1ыв пиостилнствл 199 где у — любой элемент У, л — любое целое положительное (не большее числз элементов х„, если это число конечно) и с„— любые вещественные числа.

Этот линеал 1г плотен в В, и на нем функционал 1(х) дистрибутивен, ограничен и с нормой ;!Е!и. Теперь остается продолжить Е(х) на все Х по непрерывности. Теорема доказана. Лля случая комплексного пространства типа В доказательство теоремы 1 имеется, например, в работе Г. А. Сухомлинова (Матем. сб., 3, 1938 г.) и в книге Ф.

Рисса и Гь Секефальви-Надя еЛекции по функциональному анализу". Локазанная теорема не распространяется на операторы. Теорема 2. Если х„какой-лиоо фггксггуованныг! элемент Х, отличный от нулевого, то существует линейный функционал г'(х) с ноРлгой едггннца (,/У,(=1) тагсой, виго ((хв)=<!ха~с Рассмотрим линеал У элементов вида х = !хм где 1 — любое вещественное число, н определим на Ег дистрибутивный функционал У (х) Формулой У (!х,) = !!/ х, ,'/. При ! = ! имеем й (х„) =;, х,', и / Е "и= 1.

По теореме ! мы мо кем распространить Е(х) на все Х с сохранением нормы, и теорема доказана. Из нее вытекает, между прочим, что во всяком пространстве типа В существуют функционалы с положительной нормо!1. Отметим, что теорема справедлива и в том случае, когда х,=в есть нулевой элемен~. Лостаточно взять каков-либо элемент хн отличнып от д, и образовать по теореме линедныд функционал Е(х) такой, из о," 7 1~ = 1 и Е (х ) =1 х, ,'(. Л ля него Е (х,) = Е (!)) = 0 = ~! х, '/.

99. Сопряженные пространства. Рассмотрим пространство Х*, элементы которого суть всевозможные линеяные функционалы в пространстве Х типа В. Функционалы в Х, т. е. вещественные числа, соответствуюигие элементам х, обозначаются через У(х), т (х), и (х) ... !бак элементы Хе мы будем их обозначагь одной буквой: Е, т, и,... Пространство Х:. есть линейное пространство. Сложение и умно. кение функционалов на число вводятся следующим естесгвенньи образом: (с+ и!)(х)=Р(х)+т(х); (а!)х=ау(х), причем выполнены все свояства из аксиомы А.

Нулевой элемент Хв ес~ ° функционал аннулирования, т. е. такой, что 1(х)=0 для любого хС Х. Норма Е элемента Хв принимается равной норме соответствующего функционала. Эта норма)0, причем знак = имеет место только для функционала аннулирования. И аеют месго и два других свойства аксиомы С. Второе вытекает из неравенств Д(х)-,'-Уя(х) )((Уг(х)'+!га(х) )( (( тг)~!!х !+!!г,!(!х))=()У, ()+!!г,,'!)!!х),', а третье очевидно. Локажем, что Х'" — п о л н о е п р о с т р а н с т в о. Пусть имеется сходящаяся в себе последовательность элементов Х"': !!ги — ~,„!!' — ь0 при и и т-1-со, (58) 99) сопев>кгш~ыя пгосте знстзл Надо доказааь, что существует такой элемент У Е Х"', чго '( — У„) †» 0 при л -» со.

Обозначим Е„ — ~ =/,~; — Х'.-, Мы имеем У =7 +Е„и '((„",~(г )!+!~У„( В силу (58) существует такое М, что )Е„(~ ! при л и т)Лг. Фиксируя ля =т,)йг', получаем ',у„а(~,'Е ,';+ ! при п= Лг, а среди коне шого числа неогрицагельлг 3 тая ных чисел ( („! (л=1,2,...,Лг — !) имеется наибольшее. Таким образом, из (58) следует, что существует такое СьО, что!;Рл((С при всех значках л. Мы имеем далее ~/„(х) — Е (х),'=-"г„— ) !'~'х), и из (58) следует, что (Е„(х) — Е (х)~ — »О при л и т-»сои любом выборе хЕ Л'. В силу признака Коши (для чисел) существуег предел последовательности чисел Е„(х).

Этот предел, когорый мы обозначим Е(х) ((„(х) -1. Р(х) ) есть некоторый функционал, определенный во всем Х. Покажем, что он есть линейный функционзл. Его дистрибуаивность вытекает из рзвенств: ~„(х+у)=1„(х) — . '1„(у) и („(ах) = аУ„(х), а ограниченность — из неравенства ~, У„(~ ( С, т. е. ) l„(х) ! ( С~ х) путем предельного переходя при и — оо.

Таким образом, ((х) есть линеиный функционал в Х, т. е. ЕЕ Х'", Остается доказать, что ~У вЂ” Е„~ -» О. При любом а)0, в силу (58), существует такое Ю, что (Р„(х) — ( (х)!(а'(х, при п и лг)Лг. Переходя к пределу при лг — » со, получим ( Е„(х) — Е(х)! ( а ) х( при л гв Лг, т. е. '(! — („)( а, при л)дг, что и дает 4У вЂ” („,')-» О. Полнота Лв доказана. Таким образом, п р о с т р а н с т в о Х "' е с т ь п р о с т р а н с т в о типа В. Оно называется сопряженным с Х.

Введем второе сопряженное прос тра нс т в о Лам=(Хз)', элементы которого суть всевозможные линейные функционалы в Х*, Пространство Хем получзется из Лгв совершенно так же, как Ла пз Х, и Хев есть прострзнсгво типз В, Если мы фиксируем хЕ Х, то любому элементу 16 Х." будет соответствовать определенное вещественное число 7(х), т, е. 1(х) при фиксированном х и изменении Е в Х" есть функционал в Х". Обозначим его символом т'.„(Е), Из (Е, +(,) (х) = (, (х) + 7, (х) и (аl,) (х) = а1, (х) следует Е„((, + (я) = Е.„(У,)+ ь„((я) и Е„(ай)= =аЕ„Д, т. е. Е„(Е) дистрибутивный функционал в Х"'.

Из неравенства !г(х)/ (!У,!~/х/', (59) в силу Ел®=!(х), следует ~Е. (~)~ ~ ~~!'Х~ (60) где!х1 — норма х в Х и ГУ/ норма У в Х"'. Из (60) следует, что норма функционала Е„(() в Лс'м не больше )х!~, т, е. он ограничен в Х"' Итак, Е„Я еса ь линейнын функционал в Х"". Если х — л есть нулевой элемент Х, то ьа (г) =((8) = 0 для любого ! Е Х", т е. Еа(() есть нулевои элемент Х*"', Из (60) следует, чтп норма Е„(Р) не больше (х1 Но в силу теоремы 2 из !93) нри любом х ф 6 существует такой функционал Е(х), что У(х) =-!х! и 3)2 мвтгичвскив и ногмиговкнныг пгоствхнсгвл !99 !л!с= ! Е(ля такого У обе час~и (60) равны (сх! и имеет место знак =, откуда следует, что норма Е (У) равна !сх)', Далее из Р(хс+хч)= =У(хс)+ Е(хс) и с(ссхс) = сс! (хс) следует, чго Е„ь (Е) = =Е, (Е)+Е (Е), Е,„(()=с Е, (У) и вообще Е,„~,„(У)= =с Е„(с)+с Е„(l), В час~ности, Е, (с)=Е (с) — Е ((), откуда, в силу сказанного выше о норме, следует: !/Š— Е, !!=с!х — хД, а огсюда следует, что различным х соотвегсгвуют различные элементы Е„ пространства Х*".

Из предыдущего вытекает следующее важное утверждение: Теорема. Всяколсу элелсенту х С Х лсожно сопоставить элелсент Е, ~ Х"*, Прсс этолс соответствппгразличным х соответствуют разлнчньсе Е„, сложению и умножению на число в Х соответствуюсп те же операцсш для соответствующих элементов в Х*"', и норлсы соответствующих элелсенспов в Х и Х"* одинаковы. Это утверждение даетвозможность отождеспнть Е„с х, т, е. погрузить Х в Х"*, что записываем в виде ХС Хь".

Характеристики

Список файлов книги