1610915356-5872c4d4ad41802c73f2f3fcece03aba (824746), страница 62
Текст из файла (страница 62)
Если одна часть равенства есть элемент Х, а в другой части стоит О, то его надо понимать как нулевой элемент Х. Определение. Элементы хн хы..., х называются линейно независилсымп, если равенство сх,+сх,+...+с х =О возможно лишь в том случае, когда все числа сь(а=1, 2,...,т) равны нулю. Для и-мерного комплексного пространства, рассмотренного нами в третьем томе, максимальное число линейно независимых элементов равно п.
Иногда вводят аксиому, которая исключит возможность конечномерного пространства. Аксиома В. Для любого целого положительного и существует и лннейно незавпсплгых элементов. В дальнейшем она не играет существенной роли. Введем еще одну аксиому. Аксиома С. Каждому элементу х сопоставляется определенное вещественное неотрицательное число ! х,'! — Норма этого элемента, и эта норлга должна удовлетворять следующим ларем условиям: 1),',9(=О Н,1х~',)О, при х ЬВ 2) ~~х+у('((х,'(+1(у),', 3) )ах,'/=~а~ 11х!/, 9Я ЛИНЕЙНЫЕ НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА где а — любое число и ( а( — модуль а. Из второго и третьего свойств нормы следует, что '( — х( = (х,( и ((х — у(()((х ( — (.'у (, ('х — у, :=,у'( —,",х 1, ((х — у(() ('(х(( — ((у(((. т.
е. 141) ((1 ',+Уя) — Тх„+У„),,",~'!х,— х„'(+1УА — У„",. Правая часть стремится к нулю, а следовательно, и левая, т. е. х„+у„=) х, +у,. Разность а„х„— а„х„пишем в виде а,хв— — а„х, + а„х, — а„х„, имеем ! лоха плх~( ~, ляха в~ха (+ ( паха плхч(, = ( по пл (((хо((+ + ( и„! (хя — хл ( и, принимая во Внимание, что из а„ -Р а, следует ограниченность (а„(, видим, что правая час~ь стремится к нулю. Отме~им еще, что если Х„=)Х,, тО ,'(Х„,'(-Р,",Ха,'. ЭтО СЛЕДУЕТ ИЗ ФОРМУЛЫ(Х„((=РТХге О) и непрерывности рассгояиия. Определим лине ал в В: множество Расстояние между элементами определяется формулой р (х, у) = = (х — у(, и нетрудно видеть, что р 1х, у) удовлетворяет всем трем условиям, указанным при определении метрического пространства, т.
е, всякое линейное нормированное пространство есть в то же время и метрическое пространство, так чго для линейных нормированных пространств справедливо все то, что мы говорили о метрических пространствах. Норма може~ быть выражена через расстояние очевидной формулой ('х (( = р(х — О). Если присоединить требование полноты, то линейное нормированное пространство будем называть пространством типа В или н рост ра н с твом В. Все дальнейшее опюсится к пространствам В. Неполное линейное нормированное пространство можем пополнением довести до полного (85(. Норма добавляемых элементов определяется формулой ((х '! = р 1х — В), При пополнении сохраняются все аксиомы и, в частносги, аксиома А. Последнее следует из непрерывности суммы х +у и произведения ах, о чем мы будем говорить ниже.
В дальнейшем будем имегь сходяшиеся последовательности чисел и элементов. Для сходящейся последовательности чисел будем, как и выше, писать а„ вЂ” а„, а для элементов х„ =) х,. Сходимость х„=) х равносильна (~ х, — х„((-ь О. Мы можем рассматривать в В бесконечные ряды и, + и, + и, + ..., где ия Е В1гг= 1, 2,...). Обозначим х„=и, +и,+...+и„.
Если последовательность х„ элементов В имеет предел х„ го говорят, что указанный ряд сходится и имеет сумму х„. Покажем, что выражения х+у и ах непрерывны, т. е. если х )хя У вЂ” )Уа и а„-Рая то х„+У„=)хя+Уц и а„х„= ь аахм Мы имеем 302 мвтРичвскив и норлгиРозанныв ПРостР»нстпд 196 элементов У называется линеалом при соблюдении условия: если х» Е У 1И = 1, 2,...,лт), то и их любая линейная комбинапия сгх~ + + с,х, +...
+ с хм й У. Лостаточгто убедиться в том, что если х и у й У, то х+у Е У и ах Е У при любом выборе числа а. Полагая а = О, видим, что нулевой элемент принадлежит всякому непустому линеалу. Замкнутый линеал будем называть по д п рос т р а нет в о м. Нетрудно видеть, что если У вЂ” незамкнутый линеал, то замкнутое множество У есть подпространство, т.
е. замыкание линеала приводит к подп рос тра нств у. Это выгекает из доказанной выше непрерывности выражений х+у и ах. Если множество У не линеал, то, образуя всевозможные конечные линейные комбинации с,х, + с,х, + ... + с х элементов х» ~ У, получим новое множество элементов Ь', ко~орое будет уже линеалом. Оно называется обычно л иней ной оболочкой У. Это — наименьший линеал, содержащий У. Если х, х,,... х„— линейно неззвисимые элементы, то множество У элементон В, представимых формулой х = с х, + с х, +... + + с„х„при всевозможном выборе чисел с„является, счгвидно, линеалом.
Легко показать, что этот линеал — замкнутое множество (подпространство). В силу линейной неззвисимости х, представление х указанной выше формулой единственно. Такой линеал называется обычно конечномерным. Можно выразить все элементы У по формуле: х=с,у,+ стул+...+ с»у», где у,1а=1, 2,..., А) — любые линейно независимые элементы У и с, — произвольные числа, и во всякой формуле, представляющие все элементы У в виде такой формулы, число слагземыд всегда равно тт.
Это число назывзется размерностью У. О~метим, что всякое подпространство В является также пространством В. Мы определили выше понятие изомегричности для метрических пространств. Приведем определение изометричности, для пространств В. )1ва таких пространства Х и Х' называются изометричными, если между нх элементами можно установить биоднозначное соответствие так, что соблюдаются следующие два условия: 1) если х и х', у и у' — две любые пары соответствующих элементов из Х и Х', то ах + Ьу и ах' + Ьу' при любом выборе чисел а и Ь также соответствующие элементы; 2) нормы соответствующих элементов одинаковы. Из сказанного следует, что нулевые элементы Х и Х' обязательно должны быть соответствующими элементами и что расстояния между соответствующими элементами в Х и Х' одинаковы. С точки зрения абстрактной теории изометричные пространства не имеет смысла различзть, и мы будем писать Х = Х'. 96.
Примеры нормированных пространств. 1. Все указанные в 187) пространства кроме в и 5 суть пространства В, если положить для ннх ')к~( = = р 10, х). Прн этом дав пространств посаедоватею.ностей уллноженне элемента на число а своднтсв по определению к умножению каждого числа последовв- оцвид|ОР!а в ноиыииоялниых ниосгилнствлх зоз 07) тельиостн на а и сложение элементов к сложению чисел этих последовательностей, имеющих одинаковый номер: а(:-„';ь...)=(а)ь иэ,...); (ц $ь„,)+(»о, ям„,)=(,-", +хи, и+ Вэ, . ), Для функциональных пространств умножение элемента на число а сводится по определению к умножению функции нз о и сложение элементов к сложению соответствующих функций. Нулевой элемент в пространстве последовательностей есть последовательность, состоящая из нулей, а в пространстве функций — функции, тождественно равная нулю (в С и и') или эквивале|пнэя нучю (в М, 5 и ь„).
2. Рассмотрим в )с„ограниченную область тд и множество С '" функций т (л), имеющих внутри т) йепрерывные частные производные до порядка 1, причем эти производные имеют предельные значения на границе В и представляют собой функции, непрерывные в замкнутой области )У.
В этом случае л|ы будем короче говорить, что функция имеет производные непрерывные в су. указанное множество функций есть линейное пространство. Введем в нем следующую норму: (42) о а ! где (У~э означает .|юбую производную порядка Д. Максимум беретсн по всем к, принадлежащим й, для функции т(х) и всех ее производных до порядка б Легко вилеть, что норма удовлетворяет трем основным условиям (95).
Схолимость в С|!' есть равномерная сходимость в ст функции и всех ее провзводных ло порядка д Согласно признаку сходимости Коши и известной теореме о иочленном дифференцировании последовательностей функций можно утверждать, что если последовательность элементов т„(л) ц С|П сходится а себе, то она сходится к некоторому элементу ч(х) е С'й, т. е, пространство С '!' есть пространство В. 97.
Операторы в нормированных пространствах. Выше мы определили операторы в метрических пространстиах Л'. В линейных нормированных пространствах появляются новые моменты. Мы будем считать, что оператор А определен на некотором линеале т)(А) пространства Х типа В, а множество его значений )с(А) принадлежит некоторому пространству Х' тоже типа В. Оператор называется дистрибутивным, если для ха с= с)(А) и любых чисел с„ соблюде|ю условие А(с!.к! + сэхэ... + с .к,„) = с, Ах, + сэАхэ +... + с,„Ах,„(43) Достагочно проверить, что А(с х) = сАх и А(х+у) = Ах+ Ау.
Из (43) непосредственно следует, что )с(А) есть линеал в Л" и что если 9 есть нулевой элемент в Х и Ч вЂ” в Л", то А0=0'. Действительно, А(9) = А(Ох), где хс т) (А), но А(Ож) = ОАх=9'. Дальше будем говорить лишь о дистрибутивных операторах, определенных на линеалах. Напомним определение непрерывности. Оператор А называется непрерывным на элементе хэ при соблюдении следующего условия: если х„(п = 1, 2,...) и хЕ й(А) и х„=)хэ в Х, то Ах„= Аж, в Х'. Легко показа|ь, ч|о если ЗО4 МВТРИЧЬСКИВ И НОРМИРОВА<ШЫВ ПРОСТРАНСТВА 197 дистрибутивный оперзтор А непрерывен на некотором элементе у„Е й(А), то он непрерывен и на любом элементе «„Е Р(А). Пусть «и и «<Е й(А) и «„=«»и надо доказать, что А«„=)А«м Строим элемент«,уи=(»и — «,)+уи из А) (А), причем у„=)ум Имеем А«и=А«А+Аул — Ау, и, в силу Ау„=) =)Аум имеем А«„=)А»м Таким образом, не имеет смысла говорить о непрерывное~и на элементе Е<(А), но о непрерывности на Всем т)(А).
Дистрибутивный оператор А называется ограниченным, если существуег такое положительное число С, что для любого хЕ Е<(А): ) Л х„!' =-"' С <! х . (44) лл = Впр 1Ах '. <,и< < и ( и <л< (45) Норму оператора лл обозначают также символом )А<, так что мы ъ<ожем написать / Ах ! ! ( ля ' х 1« или /' Ах ',< ( /) А '! ',! х 1.
(46) Оказанное выше совершенно аналогично тому, что мы имели, например, в 1!Ч; 36! для часююго случая. Отметим, что справа норма берется В Х, а слева в Х'. Покажем, что для дистрибутивного оператора о г р а н и ч е н н о с т ь и н е и р ерывность на Р(А) равносильны. В силу скааанного Вьпне, поста.<очно рассмзтривать непрерывность на нулевом элементе О. Пусть имеет место (44). Докажем, что если х„Е й(А) и хи=-0, то Ах„=.~!У.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
