1610915356-5872c4d4ad41802c73f2f3fcece03aba (824746), страница 58
Текст из файла (страница 58)
В силу полноты Х пос- 283 87) ПРИМЕРЫ ледовательность ха имеет предел, который мы обозначим х,(х„ =)хй). Покажем, что Ах„=.РАхэ: р(Ах„, Ахй)(ар(х„-! хэ)-РО ибо р(х„н х,) — О. Переходя в равенстве х„=Ах„, к пределу, получим х,=Ах,. Остается показать, что решение уравнения х=Ах единственно. Пусть х' есть решение указанного уравнения: х'=Ах'. Надо доказать, что х'=х,. Имеем р(х,, х')=р(Ах,, Ах')(пр(х,х'), т. е. (1 — а)р(х,, х')=О, откуда р(хй, х')=О, и, следовательно, х' совпадает с хэ.
Теорема доказана. Замечание. Пусть У вЂ” некоторое замкнутое множество из Х. Если )р(А) есть У, )с(А)с: У и выполнено условие (7)(О(а(1), то теорема имеет место, причем х, Е У, и всякое х', удовлетворяющее уравнению х'=Ах', совпадает с хэ. При этом считается, что х' ~ У, ибо А определено в У.
87. Примеры. Прежде чем переходить к примерам применения принципз сжатых отображений, приведем примеры полных метрических пространств. !. Пространство !1„ всевозможных последовательностей и вещественных чисел. Расстонние между элементами х (аь а„ ...,а„) п у (Ьн Ь„ ..„ Ь„) из кя определяется следующим образом: у Л 1 — ' р(х, у)= У(ай — Ьй)' й=! (9) Можно определить и комплексное пространство !!я последовательностей л колшлексных чисел. В формуле для расстояния (9) надо заменить (ай — Ьй)' на ! а„ вЂ” Ьй !э. Это замечание относится и к дальнейшим примерам пространств последовательностей или функций.
2. Пространство т бесконечных последовательностей чисел х (ан а„ ...), ограниченных в совокупностп, т. е. для каждого элемента к из т счществует такое положительное число тча что !а;! ( т„ при всяком 1. Формула для р(х, у): р(х, у) = )а„— Ьй! 2 )) )),— )„г) й=! 1(опустимость такого определения р(х, у) может быть проверена так же, как это мы сделаем ниже для аналогичного функционального пространства 3.
В пространстве з, как и в Пт сходимость равносильна покоординатной сходимости. 4. Прострзнство !р(р ) 1) бесконечных последовательностей комплексных чисе~ ай таких, что р ' ( ай !Р С + со, й=! (12) р (х, у) = акр ! ай — Ьй !. (1О) й Сходнмость в т равносильна покоординатной сходнмости, равномерной относительно номера составляющей. 3.
Пространство з всех бесконечных последовательностей чисел, причем 284 МВТРИЧВСКИВ И НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА 187 причем ал -1 ! р(х у) — ~ ~~ ! аа — Ьл !Р ( л-! (!8) Правило треугольника получается из неравенства Минковского для сумм при р ~ 1 1621 и очевидно при р = 1. 5. Пространство С функций р (х), где х — точка и-мерного пространства )са, непрерывных на некотором ограниченном замкнутом множестве $, причем р(р, ф) = !пах ! р (х) — ф (х)!. (14) х($ 6. Пространство М функций р(х), определенных на некотором измеримом (по Лебегу) множестве $ из К„. Эквйаалентные функпии отождествляются, и всякая функция из М ограничена (или эквивалентна ограниченной).
Определение расстояния: р(р, ф)= !п1 анр 17(х) — ф(х)!. ш($,) =О $ — $, (15) вместо (15) пишут р (р, ф) = о га! !пах ! р (х) — ф (х)!. (16) Если $ — ограниченное замкнутое множество, то С вЂ” часть М и р(р, ф!) для Е) то же, что и для М, т.
е. С изометрично части М. 7. Пространство 8 всех функций р(х), измеримых на измеримом точечном множестве $ ионечной меры из Кеа причем 1 р (х) — ф (х) 1 Д 1+ ! Т(х) — ф(А) ! $ Здесь и в дальнейшем будем подразумевать меру и интеграл Лебега в соответствующем К„. 8. Пространство 5р($)(р) 1) функций р(х), измеримых на измеримом множестве $ и таких, что ! р(х) (Р с(х(+Со, причем ! ! р (р, ф) = ~ ~ ! р (х) — ф (х) (Р г(х~ р, $ (18) Имеют место указанные в аксиомах свойства р(р, ф) (62).
9. Пространство (г(а, Ь) функций р(х) ограниченной вариапии на замкнутом промежутке а(х(Ь, непрерывных справа во внутренних точках этого промежутка и равных нулю при х= а, причеи л р(Р, ф) = 1'! р(х) — ф(х)1. а (19) Смысл этого определения следующий: исключаем нз $ какое-либо множество $, меры нуль, определяем точную верхнюю границу ! р (х) — ф(х) ! на оставшемся л!ножестве $ — $л, выбираем указанное множество $, всеми возможными способами и определяем точную нижнюю границу полученного множества неотрицательных точных верхних границ звр ! р (х) — ф (х) !. Иногда $ — $а 285 87) ПРИМЕРЫ Если отбросить требование р(о) =О, то р(ЬЬ ф) определяется следующим образом: л р(р, ф) = ! р(а) — ф(а) /+ )г! Р(х) — ф(х) !.
(20) а Прп этом пространство расширяется, и первоначальное пространство изометрично части расширенного. Все указанные выше пространства полные. Для Вр и !р полнота била доказана. В других случаях доказательство полноты не представляет труда, н мы его не будем приводить. Остановимся подробнее на пространстве 3. Принимзя во внимание, что 1 н(г)= — =1 — — возрастает при г) О, л~ы можем написать 1+г 1+т (х+т! (г!+! г! !+)г+ !--1+!т(+! (-1+!г! "1+! ! и отсюда следует аксиома треугольника для 5. Покажелл теперь, что с х од имость в 5 равносильна сходиллости по мере. Пусть ро (х) — р (х) по мере на $. Докажем, что р (р, ул) — О. Введем множества В„(Ь) = $ ( ! р (х) — р„(х) ! ) Ь). По условию гп (В„(Ь) ) 0 при и-со и любом фиксированном Ь) О.
Мы имеем ! р (х] — ря (х) ! р(р, чя) = ~ " ' т(х ( ~ 1 о(х + ! ч (х) — р„ (х)! + 1 + ! - (х) — рл (х) !  — Во(Ь) откуда, принимая во внимание возрастание функции н (Г) и тот факт, что ! Р(х) — ря(х) ((Ь на множестве $ — $„(Ь), получим Ь р (ч, да) ( лп ($„(Ь) ) + тл (В). Пусть задано положительное число о. Можно фиксировать Ь) 0 так, Ь о о чтобы иметь а($) "—,. Далее существует тзкое Лл, что а(Вя(Ь)) (— при л) я, и, следовзтельно, р(р, Р„) ( л при и ) Лл, т. е. р(р, р„) — О. По- ложим теперь, что р(р, ул) — О, и докажем, что ря(х) — р(х) по мере на $. Л1ы имеем, в силу сказанного выше относительно н(Г), что ! Р(х) — ~ря(х) (: :(1+! р(х) — р,(х)/) )Ь:(1+Ь), если х( $„(о).
таким образом, р(ч, ул)~ ~ лх= . аВ„(Ь), о Ь +Ь + Вя1 а! где Ь)0 считаем фиксированным. По условию р(р, ул) — О, и из последнего неравенствз следует, что а [$„(Ь)! — О, ч~о и требовалось доказать. Пользуясь теоремой из (44! и доказанным выше, можем утверждать, что если р(р, р„) — 0 в Я, то существует такая подпоследовательность ря„(х), что ч „ (х) — р (х) почти везде на В. Полнота 5 л~олкет быль доказана совершенно так же, как и для (.ь При построении функциональных пространств Да М и 5 мы могли бы применять меру и интеграл г!ебега-Стилтьеса.
188 286 ынтРичнские и ИОРмиРОВАннык ИРостРАнствй 88. Примеры применения принципа сжатых отображений. 1. Рассмотрим систему и-уравнений с н неизвестными: '; = Л ~ а!ййтй + Ьь й=! (1=1,2, ...,и) (21) где Л вЂ” численный параиетр. Будем рассматривать правые части, как оператор Ах из 11а в )1а, примененный к элементу х(т„:т„,.,, =.„) и действующий во всеи Ра. Из неравенства Коши получим ! Г а -1 2 р (Ах, Ау) ( ( Л ) ~ ~ ) а;й 1й ~ р (х, у). !.й=! Таким образом, принцип сжатых отображений будет применим а 11а, если Г а 2 ~Л~<~Х( ы.-~ 2,й-! 2.
Рассмотрим бесконечную систему уравнений 12 = Л ~ аы(й + Ь! й-! (!' = 1, 2, 3....), (22) причем мы считаем, что последовательность (Ь„ Ь,....) есть элемент ш. Если знр ~~~ (атй(=с й=! ) агй 1э = !У.С + со ! то правые части (22) дают оператор из 1, в 1т, определенный во всем 1„и принцип сжатых отображений прил!еним, если ! Л ( а!~1, Отметим, что единственность решения имеет место в указанных пространствах, но могут сушествовать решения, не нрииадлежащ!!е этим пространствам.
3. Рассмотрим ийтегральное уравнение (одномерный случай) 1(х) = Л ) К(х, 1) у (1) !Й+у(х), а (23) где [а, Ь) — конечный промежуток и )Л'(х, 1) непрерывна в квадрзте О(а х«..Ь; а(1 =.Ь). Если Г(х) непрерывна на (а, Ь), то правая часть (23) есть оиера- есть конечное положительное число, то правые части (22) дают оператор А из т в !и, определенный во всем ш, и принцип сжатых отображений применим, если ) Л ) с ( 1. Если (Ьь Ь„ ...,) есть элей!ент 1, и 88[ пштмпеы инимгнпния ппинцнпл сжтгых отовплжпний 287 тор из С [а, Ь[ в С [и, Ь[, определенный во всем С, и принцип сжатых отображений применим к уравнению (23), если э [ Л [ шах (! [ К (х, г) !' сй ( ! .
ажажа .> а Если К(д, г) 6 Лэ на () и т (х) с Лэ на [а, Ь[ (в данном случае промежуток может быть и бесконечным), то правая часть есть оператор из Лэ[а, Ь[ в Л„[а, Ь[, определенный на всем ь,[а, Ь[, и принцип сжатых отображений прил~еним к уравнению (23), если а а л ~ [К(х, т)['т(хдс~ ~ ! ьа а Скззанное выше справедливо и для многомерных интегральных урзвненнй. 4. Рассмотрим нелинейное интегральное уравнение: если (х, г)6 !',л, а [а, ! и [а, ! (с.
при эгон р (Ауч Аф) м:; [ Л [ Ф (Ь вЂ” а) р ( р, ф), и, следовательно, при соблюдении условий [ Л [ с((Ь вЂ” а) ( С и ! Л [ Ф(Ь вЂ” а) (! к )равнению (24) применим принцип сжатых отображений в указанной выше сфере. Это уравнение имеет единственное решение в указанной сфере, которое может быть построено по методу последовательных приближений при любом выборе начального приближении ч,(х) из этой сферы. Рассмотренный метод дает равномерную сходимость приближений к решению на промежутке [в, Ь[. 5. Пустая — область трехмерного пространства, ограниченнан поверхностью Ляпунова 5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
