1610915356-5872c4d4ad41802c73f2f3fcece03aba (824746), страница 56
Текст из файла (страница 56)
р(х, з)(р(х, у)+р(у, з) — аксиома треугольника. ('~) Этн условия должны иметь место для любых элементов х, у, г Е Х. Если ун у„ ..., у — какие-либо элементы Х, то применяя несколько раз (2), получаем Р (Ун Ут) ~ Р (Ун Уя) + Р (Ум Уа) ~ ' " + Р (Ум-и Ум) (2~) Пусть х„ (л = 1, 2,...) — некоторая бесконечная последовательность элементов и пусть существует такой элемент х„что р (х„, х„) -ь О при лч со При этом говорят, что хч есть предел последовательности х„, и пишут х„= — )х, илн 1!ах„=хм Нетрудно вндегь, 275 84! мвтгнчвсков пгостялнсгво что последовательность не может име гь более одного предела.
Дейс гвительно, пусть хл =) х, и хл =)у,. Надо доказать, что х,=у,. По (2) имеем р(х„уо) =.Р(х,, хл)+р(хл, у,). При беспредельном возрастании л правая часть стрелоится к нулю, и в пределе получаем р(х„у,)(0. Но р(х,, у,)= О, и из этих двух неравенств следует, что р(х,, у)=0 и, следовательно, хо=ум Если хо =)х,, то очевидно, что и всякая бесконечная подпоследовательность хло — ~хо. Покажем, что р(х, у) есть непрерывна я функция х и у, т. е. если хо =)хо и ул =)уо то р(хл, ул)-о-р(хо уо) В силу (2,) можем написать Р(хю У.) ~Р(хю хо)+ Р(хо, Уо)+Р(Уо, У.); Р(х Уо) ~ Р (х х.)+Р (х. У.)+ Р(У. Уо) откуда Р(хл,ул) — Р(х„у,) ~р(Хл, х,)+Р(рм Ул); Р(хо Уо) Р (Хл Ул) ~ Р(Хо хл)+Р (Ул Уо) 1 Р (хо'Уо) Р (хл Ул) ~ ~Р (хо' Хл) +Р(уо Ул) т.
е. При л -ь оо праная часть стремигся к нулю, откуда и следует Р (хл Ул) л Р (хо Уо). Если последовательность хл имеет предел (хл =)х,), то при любом заданном о) 0 существует такое йГ, что р(х, хл) (о при щ и л~Лг. (3) Это непосредственно следует из неравенства р (х, хл) ( р (х,х,) + + р(х„хл), правая часть которого стремится к нулю при т и л — л со. Но из (3) не следует, на основе принятых аксиом, что последовательность хл имеет предел (достаточность признака Коши существо. ванин предела не имеет места).
Если внести дополнительное требование, что из (3) следуег существование предела у последовательности хл, то такое метрическое пространство называется полным метрическим пространством. Пусть У есть некоторое множество элементов мегрического пространства. Оно называется ограниченным, если существует такой элемент х, и такое положительное число А, что р(хо, х)(А для всех х из (Г. Пусть х, — какой-либо фиксированный элеменг, отличный от хм Мы имеем: р(хн х) ( р(хи х,)+ р(х,, х) и для элементов (г получим: р (хн х)мл р (хн х,) + А, причем в йравой части этого неравенства стоит некоторое положи гельное число.
Таким образом, при определении ограниченности множества (Г безразличен выбор элемента хо. Нетрудно показать, что если последовательность х„ имеет предел, то лшожество элементов хл ограничено, 276 мвтРичвскив и ИОРмиРОВАнггыР пРОстРАнстВА [85 Элемент хь называется п ред ель н им элементом множества У элементов Х, если существует гакая последовательность х„ элементов из У, что х„=ьхь. Множество У, содержащее Все свои предельные элементы, называется з а м к н у т ы м.
Если У незамкнуто, и мы присоединим к нему все его предельные элементы, то >ювое множество, которое мы обозначим У, — замкнутое множество [31]. Переход от У к У нззывается з а м ы к з н и е и У. Если У ззмкнуто, то У= У. Если У вЂ” пустое множество (не содержит ни одного элемента), то и У пало считать пустым. Множество элементов, удовлетворягггцгих условию р(х,, х) (Й, где х„— фиксированный элемент и гг — положителыюе число, называется открытой сферой с центром х, и радиусом Я, а в случае неравенства р(х„, х)(гт'— замкнутой сферой. Нетрудно показать, пользуясь непрерывностью р(х„, х) как функпии х, что замкнутая сфера есть замкнутое множество в смысле указанного выше определения.
Отметим, что всякое непустое множество У нз Х есть также метрическое пространство, если для элементов сохранигь то же определение р(х,у), что и во всем Х. Пространство Х может состоять и из ко~генного числа элементов. Пусть имеются два метрических пространства Х и Л", и пусть между их элементами можно установить биодпозначное соответствие так, что р (х,у) = р (х',у'), где х и х',у ну' — любые соответствующие элементы Х и Х', Вэтом случае Х н Х' называются и з о метр и ч н ым и. С точки зрения абстрактной теории, изометричные пространства пе имеет смысла различать. 86. Пополнение метрического пространства.
Назовем последовзтельность х„элемегпов Х ф у н д з м е н т з л ь н о й (нлн сходящейся в себе), если для нее выполнено условие (3). Если Х вЂ” не полное пространство, то не всякая фундаментальная последовательность имеет предел. Покажем, что В эгом случае к просгранству можно присоединит новые элементы (иногда их называют „идеальными элементами") при соотвегствующем расширении понятия расстояния гак, что полученное таким образом метрическое пространство будет уже полным. Начнем с доказательства леммы: Лемма. Если х„и у„— две фунда,ггенлгальные последовательности, то существует предел числовой последовательности Р(х„,у„).
В силу (2,), Р(х„, у„)(р(х„, х )-~-р(х, у )+ р(у,„, у„), откуда р(х„, у„) — р(х, у ) =р(х„, х )+Р(у, у„). Переставляя значки т и и и пользуясь (1), получим р (хьн у„г) р (хь уь) '-= г-р(х„, х )+р(у, у„). Из последних двух неравенств следует: [Р ( л Ул) Р (хьг Ум) [ ~Р (хь' хги)+ Р (Угь' Уь)' понолнвнив мвтгичвского пгостглнстал 277 881 При беспредельном возрастании лг и и прзвзя чзсть стремится к нулю, и, следовательно, для числовой последовательности р (х„, у„) выполнен признак Коши существования предела, что и требовалось доказать. Распределим все фундаментальные последовательности на классы, а именно, отнесем к одному классу такие фундаментальные последовательности х„ и х„, для которых р(х„, х„) †« О.
Если х„ и х„, а также х„ и х„ входят в один класс, то х, и х„ входят в один класс, ибо из р (х„, х'„) †« 0 и р(х„, х„") †« О следует, в силу (2,), что р(х„', х„) - О. Лля последовательностей х„ и у„, вкодяьцик в разные классы, предел р(х„, у,) будет отличным от нуля (положительным). Из (2) следует также, что если последовательность х„ имеет в Х предел х„, то любая другая последовательность х„' того же класса также сходится и имеет тот же предел х,. В силу непрерывности расстояния, последовательности, входящие в различные классы, не могут иметь одного и того же предела.
Указанные классы фундаментальных последовательностей разобьются, таким образом, на два типа. Опишем сначала классы первого типа. Пусть х, — каков-либо элемент Х. Мы будем иметь класс последовательностей, имеющих предел, равный х,. К этому классу принадлежит, например, последовательность х„, у которой все элементы равны хм Лля всякого х, будет свой класс последовательностей. Классы второго типа состоят из последовательностей х„, не имеющих предела в Х Если Х вЂ” полное, то классов вгорого типа нет, Пусть Х— не полное пространство.
Построим теперь новое метрическое пространство Х, за элементы которого примем указзнные выше классы фундзментзльных последовательностеп Х. В Х нздо ввести еше понятие расстояния и проверить справедливость его трек основных свойств. Пусть х и у — два элемента Х Возьмем из соответствуюшик им классов последовательностеп две какие-либо последовательности з„ и у„ и определим р(х, у) формулой р (х, у ) = 1!ш р (х„, у„). ч со (4) Покажем, что неотрицательное число р(х, у) не зависит от выбора х„и у„из классов, соответствующих х и у. Пусть х„и у„' — какие-нибудь последовательности из этих классов и р'(х, у) = =Ктр(х„, у„). Нам надо доказать что р'(х, у)=р(х, у).
В силу (2,); р (х„, у,) ~ р (х„, х'„) + р (х„', у'„) + р ( у„', у„). Принимая во внимание, чго р(х„, х„)-«О, р(у„, у„)-«О и переходя в написанном неравенстве к пределу, получим р(х, у)( ч--.р'(х, у). Совершенно аналогично можно получить р'(х, у) ( (р(х, у) и тем самым р'(х, у)=р(х, у). Таким образом, формула (4) определяег однозначно р (х, у). Проверим теперь три основных свойства. Очевидно р(х, у))0.
278 мвтвичвскив и новмивованныв пвоствлнства (85 1) Пусть р (х, у) = О, т. е. р (х„, у„) -ь О. Отсюда следует, что последовательности х„ и у„ из одного класса, т. е. х =у. 2) Свойство р(х,у) =р(у,х) непосрелственно следует из р(х„, у„)=р(усо х„). 3) Выбираем из классов последовательностей соответствующих х, у и Е последовательности х„, у„и а„. Имеем р (х, «) = !нп р (хсо а„) ~ !нп (р (х„, у„) + о со о со +р(усо „))~р(х, У)+р(У, а).
Пусть элементу х соответствует класс первого типа и х, есть предел последовательностей этого класса. Мы можем отождествить тзкой элемент х из Х с указанным элементом х, из Х. Элементы х, которым соответствуют классы второго типа, являются теми элементами Х, которые не входили в Х. Если х и у — элементы соответствующие классам первого типз, а х, и у, — отождествленные с ними по предыдущему элементы из Х, то в формуле (4) можем положить х„ = х, и у„ =у, при всяком л и получим р (х, у) = 11щ р (х„у,) = р (х„у„), т. е.
для элементов, входящих в Х, новое расстояние совпадает с прежним. Если х соответствует классу первого типа (х, — соответствующий элемент Х), а у — второго типа, то формула (4) дает р(х, у)= !1гп р(х,, у„). Покажем есце, что если последовательность х, вх одит в класс, определяющий элемент х, то р(х, х„)-ь 0 при л-ьсо.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
