1610915356-5872c4d4ad41802c73f2f3fcece03aba (824746), страница 51
Текст из файла (страница 51)
Г чт' (х), т. е. (Ф (х) + +Чг(х)!'=Ф'(х)+ Ч'(х). Пола~ая в (о1) Ь=х, получаем П Ф»» ч ~ ) = ) ( е ( ж ~г ь ~ лч+ —, ь м ч ьь а т. е. (Ф (х) гГ (х))'= Ф'(х) Ч:(х)+ (1> (х) Чг'(х). Нетрудно рассмотреть совершенно аналогично и случай бесконещого промежутка. 76. Пример.
Мы укажем пример неубывающей непрерывной функции, которая не является абсолютно непрерывной и для которой в формуле (20) отсутствует второе, т. е. абсолютно непрерывное, слагаемое. Предварительно построим на промежутке 10,1) некоторое ФУНК ПНИ МНОЖГСТВ. ЛВСОЛЮТН >Я НЕПРЕРЫВНОСТЬ ~76 244 замкнутое множество 7>В. 1азделин промежуток 10,1) точками , н > 1 2 на три равные части, удалим из пе>.о средний открытый промежу>'1 2! ! 1! ток —., —,, Каждый из оставшихся промежу>ков ~ О, -. ~ и ~ =, 1 ~ ~3' 37' ! 2 разделим на три равные части: первый — точками — и †, а второп— 7 3 9 9 ' точками — и —, Удалим затем из каждого из указанных промежут- 2! >7 Я! ков их средние части, т.
е. промежутки ! —, — ~ и ! —, — ), Кзждый ',9' 9) !9' 9)' из остзвшихся четырех промежутков опять делим на трн равные части и удаляем из каждого из четырех указанных проме>кугков открытый средний промежуток и т. д. Таким образом, окончательно мы удалим из промежутка !0,1) счетное число открьпых промежутков, не имеющих попарно общих точек и даже общих концов: >1 21 >'! 2! >'7 3' ' ! ' ! '7 3',>!9 29! >3' 3/'~9' 9'' '>9' 9;' >27' 27/'~27' 27>' >27' 277' '25 26'. ~ 27 ' 27,'''''' 152) т. е.
удалим неко.>орое открьпое множество Нв и останшееся множество, которое обозначим >ерез Гм буде~ замкнутым. На перном ! шаге удаляем один открытии промежуток длины —,, на втором 3 1 шзге — двз промежутка длины —, на третьем шаге — 2 проме- 3> ' жутка длины -,> и Вообще на и-ом шаге 2' промежуткон ллины ! > ! Таким образом, лебегова мера открыгого множества Н„равна > 1 л =- 3 >"(х)=,, если хе ! —., —.1; >'! 2 71х)=-1, ес>н! х Е ~ 9-, 9 ~' у(х) = 4 1 3 5 ш обще поло кнм /~х) равпон хе (-9, ч'> — — >ш после'>л и оставшееся на промежутке !0,1) множество г>а имеет, следовательно, меру нуль.
Определим теперь на промежутке !0,1] функцию Дх) следующим образом. Положим 76[ 245 пвимвР довательшяк слет направо интервалах, которые мы удаляем на и-ом шаге. Таким обр.юоч, функция г'(х) определена пока в точках множества Нч н сохра;шег постоянное значение на каждом из открытых промежутков (51), из которыя состоит это множество. Определим еще /(х) на концах [0,1] полагая у(0)=0 и у(1)=1.
Принцип, по которому мы определичи функцию у(х) на каждом из промежугков (52), состоит в следующею мы полагаем /(х) на некотороч промежутке зшожесгва Нч, получе яном на и-ом шаге, равной среднему арифметическому ее значений на соседних промежутках, полученных ранее, или на копцак промежутка [0,1], если с одной стороны взятого нового промежутка нз И„нег ранее полученных промежутков множества Ич. Огсюда непосредственно следует, что у(х) — неубывающая функция на множестве Н„. Продолжим определение у(х) на Пусть ха~Ем Так как !-'„инее~ меру нуль, то в любой а-окрестности х„есть точки Н,, и если точка х по множеству Н, стремится к х, слева, то г(х) не убывзет и имеет предел, который мы и примем за значение Дх) при х=хч. Иначе говоря, предыдущее определение сводится к тому, что мы считаем у"(х,) равным точной верхней границе значений г'(х) при х меньших х„и принадлежащих Нч.
В точке х= 1 это определение приводит, очевидно, к прежнему значению у(1) = 1. '!'аким образом, определеннзя на всем промежутке [0,1] функция, очевидно, не убывает. Нетрудно показать, что она непрерывна. Действигельно, если она имеет точку разрыва х= х', то по крайней мере один из интервалов [у(х' — 0), у (х')] илн [у(х'), у (х' + 0)[ не сводится к точке и не содержит внутри себя значений Дх) в силу моногонности этой функции. Но определенные выше, только на множестве Н„ значения г'(х) заполняю~ промежуток [0,1] повсюду плотно, и мы пришли к нелепости, допуская разрьшностьУ(х).
Напомним, что на каждом из промежутков (52) у'(х) сокраняет постоянное значение. На основе неубывающей непрерывной функции у(х) можем построить вполне аддитивную неотрицательную фупкпию множеств м(Г), определенную во всяком случае на В-множествах. В силу сказанного выше, гр(Н„) = О, и тем более м(Е) равно пулю на всяком В-множестве, составляющем часть Им Если возьмем промежуток [О, х], то можем написать: [О, х]=[0, х]Н,+[О, х]гм и, слетгова гельно, Дх) = Р ([О, х[) = г ([О, х] Ив) + т([0, х] Р;).
Первое слагаемое равно нулю в силу сказанного вьгше, а мерз гт, равна нулю, и, следовательно, у(х) сводигся к одной сингулярной части [74]: У(х)=7(!О,х]Р„), причем Га играет роль И формулы (20) и у'(х) — роль м(х). 246 Функпни множяств. зьсолюыгая нипРБРыштость [77 Исследуем еще ыножес1во Рв. Непрерывная неубьшаю,цая функция Д(х) принимает псе вещественные значения от нуля до единицы. На каждом из исключенных пРоменс) ~коан нкдючаа и его концы, 7'(х) сохраняет постоянное значение, причем множество исключенных промежутков счетно.
множество всех значении 7(х) не счетно (имеет мощность континуума). Таким образом, оченидно, что Р, содержит точки, отличные от копцон исключенных промежутков. Можно показать, что Р„имеет мощность континуума. 77. Абсолютно непрерывные функции многих переменных. Аналогично тому, как мы строили абсототно непрерывныс функции точки от одной переменной [74[, введем понятие абсолютно непрерывной функции многих переменных. Ограничимся случаем функций двух переменных. Пусть на двумерном пролсежутке а„[и ( х ( б; с (у .. б[ задана непрерывнан функция Р(х, у).
Мы можем с ее помощью построить функцию промежутков 7 (а), содсржащнхсн в Зы а именно, если промежуток Ь определнется неравенствами х, х(хс, у, (у - ул, то положим, как и раньше, р(а) =Г(х„уа) — Р(х„ус) — Р(х„, у,)+Р(хь у,), (53) причем замкнутость или незамкнутость о не играет ротн, ибо Р (х, у) по условию непрерывна. Если мы добавил~ к Р(х, у) сумму Л (х) +тел (у) в которой первое слагаемое зависит только от х н второе только от у, то это не повлияет на р (а). Функция промежутков т (З) называется абсолютно непрерывной, если она удовлетворяет условию, аналогичному условию (24) из [74[, т. е.
если любому заданному положительноиу с отвечает такое положительное ть что если оь(д=!, 2,..., п) — попарно не налетающие друг на друга промежутки, сумма площадей которых (Ч, то л а (Ол) ~ ( е. л- ! Определение. Функция Р(х, у) называется абсолютно непрерывной функцией двух переменных (х, у), ее тн 7 (а), определяемия формулой (53), егп1ь абсолютно непрерывная функция промежутков, и, ес,ги, кроме того, Р(о, у) и Р(х, с) — абсолютно непрерывные функции у и хс Посаедняя оговорка об абсолютной непрерывности Р(х, у) на нижней и левой сторонах промежутка Ь, необходима ввиду возможности добавлении к Р(х, у) упомянутой вьнпе суммы 71 (х) +ус(у).
Напишем очевидную формулу Р (х, у) = [Р (х, у) — Р(и, у) — Р (лц с) + Р (и, с)[ + [Р (х, с) — Р (а, с)[ + + [Р'(и, у) — Р(и, с)[+ Р(а, с). Первое слагаемое справа есть 7 (а„, ), где Ь„, у есть промежуток и(х'- х, с(у' у, н зта функция, как и в [75[, представима неопределенным двойным интегравом от суммируемой функции.
Второе и третье слагаемые справа суть абсолютно непрерывные функции х и у и, следовательно, представимы простымл неопределеннымн интеграламн. Таким образом, всякая абсолютно непрерывная функция Р(х, у) может быть представлена формулой к у л у Р(х, у) = ~ ~ У(х, у) бх бу+ ~ л(х) бх+ ~ й (у) бу+ Р(а, с). (54) а с 77( лясолюп!О ИВИРннывныГ чо ~нации многих пвннмвнпых 247 Наоборот, нетрудно нилсть, по всякая прелстанимая последней формулой, Функции абсолютно непрерывна, Мы можем переписать, пользуясь теоремой Фубпни, последнюю Формулу н ниле х 7 у Г(х, у) = ~ ! ~ у(х, у) г(у -(- д(л) ~ дл + ~ И (у! дт + Р(и, г), (55) с илн г Р (х, т) = ~ ~ ~ Р(х т ! г(х+ и (у) ~ ду ы ~ 6 (х) дх+ Г (л г!.
Рб) с а Отсюда вилно, что если Г(х, у) — абсо ~ютно непрерывная функция двух переменных, то она есть абсолютно непрерывная функция х при любом фиксированном значении у и абсолютно непрерывная функция у при любом фиксированном значении х. Обратное утверждение неправильно, т. е. функция может быть абсолютно непрерывной по каждой переменной и не быть в то же время абсолютно непрерывной функцией двух переменных. Г!одынтегральная функция первых слагаемых формул (55) и (56) дает в силу определения (74( частные производные от абсолютно непрерывной функции Г (х, у); дГ'(х, у) ! дР (х, у у'(х, у) ду -(-6(а); ' — = ~ у'(х, у) дх+ И (у) .
(57) !!огынтегральнан функция в этих формулах опрелеляет смешанную пронзволную второго порндка: д ~ дР(х,у) ~ д ~ дР(х,у) ) Если частные производные Рл и Р сами суть абсолютно непрерывные функции двух переменных, то мы можем определить все частные произволные второго порядка. Если все они суть также абсолютно непрерывные функции двух переменных, то мы можем определить все производные третьего порялка и т. д.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
