1610915356-5872c4d4ad41802c73f2f3fcece03aba (824746), страница 50
Текст из файла (страница 50)
Всякое открытое множество 0 есть сумма счетного числа полуоткрытых промежугков ба (й = 1, 2,...) попарно без общих точек. Суммируя по Ь обе части формулы 238 вь нкции множвств. авсолютнля нипгвгывность (75 получаем, как и выше, что формула (16) дает меру о(Р) шобого замкнузого множества Р. формула (16) дает меру любого открыгого множества.
Если при помощи формулы: 5, = Π— Р, где Гс:. О. Пусть 5 — некоторое множество из т'.о и е„— последователыюсть положительных чисел, стремящихся к нулю. Мы знаем, что супгествует последовательность Р„и О„замкнутых и открытых множеств таких, что Т„с: $~ О„и 0(΄— Р„)=0(О„) — 0(рл) (а„. В силу абсолютной непрерывности интеграла (16) гу(΄— Г„) — 0 и, следовательно, 3 принадлежит Лт 138(. При этом мера 3 в т'. является, очевидно, пределом га(рь) или гу(О„), т.
е. пределом интегралов ЬР) 0 Ф3) л причем Г„с: 3 и 0 (5 — Тя) — 0 и, в силу абсолютной непрерывности интеграла, этот предел есть игжегрял по $, т. е. мера 5 в ь, выражается интегралом (16), и теорема доказана. Теорема остается справедливой и при предположении, что неотрицательная функция у(Р) суммируема лишь по любому ограниченному множеству, и доказательство остается по существу прежним. В следующей теореме мы уточним состав Т..
Теорема 2. Для принадлежности множества 5 к т'.р необходимо достатачно, чтобы 5 можно было представить в виде суммы 3 3(0 + 31Я1 где 5ы'г--ьо п в точках Р пз 3'Я1 мы имее и ~(Р) =О. ):(оказываем необходимость. Пусть 3 принадлежит ь . Вводим множества 3ь=га(у(Р)=03 3,=3(г(Р))]; 8„=)ь ~ - (У(Р)( ~ (40) (и = 2, 3,, ) и обозна ~им епге через 3' множество точек, в которых У(Р) не определена или равна (+ сю). Множество 3' измеримо относительно 0(3) и 0 ((1') = О. То же можно сказать и о любой части $'.
функция г'(Р), измеримая относиаельно 0(3), тем самым измерима и относительно о(3), и все множества (40), как и 3', принадлежат Е Определим далее множества (41) При эчоч справедлива формула (39). В точках 3гм у(Р) обращается в нуль, и нам пало доказать, что 5'гг~ба Множество $3' иыегг по опюшению к 0(3) меру нуль, и достаточно доказать, что ьшоь есгва Щ„ измеримы огносизельно 0 (3). В силу гого, что 33„ 7б) АБСОЛЮТНО НБПРЕРЫВНЫБ ФУ!<КПИИ МНОЖВСТВ 239 измеримо относи гельпо 7(В), суинествуют залпгнугые множества Р„ и открытые 0„ такие, что (42) ~'ис-В|и~О. и 9(Ои — Ри)» где а — заданное положигельное число. Строим множества 0„= В„(΄— Р„) = 5„0„— $„Г„, (43) т.
е. О„есть множество тех точек 0„— Р„, в которых — (у(Р)» и » или /(Р)) 1 (при и=1). Поскольку 0„— Р„~уо, и Г'(Р) 1 измерима относительно 0(б), множества О„~ Со. Лалее из Г„с: Сить„ следуе~, что Р„с: !си и $„Р„=Р„. Из гадис; О„следует, что $Р„с: 0 Р„ и, в силу (43), ф„— Р„с:0„, и поэтому 1гÄ— Р„1о»~Ои1о. Но множество О„(:1.О, и мы можем написать )0„1о= 0(О„), т. е.
~ бВ, Ри 'а» 0 (О„). (44) Лалее в силу (43) и $иГи=Ри, име м 0„0„— Еи и, пользуясь (42), получаем (45) Множество Р„входит в с„в силу (43), и на последнем мно- 1 ягесгве у(Р)) -, Тзким образом, получаем опенку и ' ((Р) й (Щ) ) — 0 (О„), и и неравенство (45) приводи~ся к неравенству г. е. 0(О„)(а. На основании (44) получаем (Риф„— Г„1о(а и, ввиду произвольности а, видим отсюда, что 5с„г- ~О, необходимость условия (39) доказана. Локазываем достаточность.
Лана формула (39), причем 5'м г-- Е о и у(Р)=0 в точках б"'. Надо доказагь, что (яг-!.Р Множество 5гггт.-1.г в силу теоремы 1. Остается доказать то же для фг"'. Множество гт' всех точек, в которых у(Р)=0, измеримо о~носгмсльно О®), а потому Н(:ь, и, в силу формулы (16), 9(11)=0. Но 5~ы с: Н, а по~ому $' ' измеримо относительно 9(р) н имеет меру нуль. Таким образом, теорема доказана. Принимая во внимание, что $1"' ~ Гт' и, следовагельно, гр($'м) =О, мо кем утверждать, что 240 Фупкции миожгств. лвсолютцля цзпп!ел!впасть [75 в(гг) =и(сч(г!), г, е.
для вычисления (ь((з) надо примеиигь формулу (!6), заменяя в иеп сч иа В(гг. О!метим еще, по и формуле (39) все точки множества $(гг, в которых [(Р)=0, можно олиесгп к ф(яг. Множество этих точек Хг(ггргг изл(ерил(о огиосгпельпо сг®). Локажем теперь теорему, которая дасг иам возможность сводигь интеграл Лебега-Стилтьеса по 7 (гг) к интегралу по сг(сьг). Теорелса 3. Если Р(Р) определена, из.нери.иа относительно (!г (р) и сулгмггруема на нскотороз( множестве ф, изл(еримо,ч и конечной л(еры опгносительно ср(гчг), то произведение Е(Р)Г'(Р) измеримо относигиельно 0(р) в $((г, и имеет лгепно фои.мула ~ Р(Р)(~(йВ)= ~ Г(Р)У(Р) п(й(з!), (46) что может быть написано в виде ~ Е(Р) ~ ~ )(Р) сг(й[))1 = ~ Г(Р)У(Р)О(йф).
(46,) 6 [й$ [ Продолжая Г(Р) во вие гз нулем, можно считать, что Р(Р), как и У(Р), определена везде. Кролле того, можем считать, что Р(Р) и [(Р) во всех точках имеют конечные значения. Функция Г(Р) измерил(а относительно 4 ((ь) и /(Р) измерима относительно 6(Р), а следовательио, и отиосительио (у(С). Введем попую функцию Р„(Р), полагая Е,(Р) = Е (Р), если [(Р) о' О, и Гь(Р) = О, если /(Р) = О.
Иначе говоря, Еь(Р)=Р(Р)агг(Р), где ыгг(Р) есть характеристи(еская функция множества Н чех точек, з которых у(Р)=0. Как мы упоминали, Н(- Ео и, следовательно, Н( — ьг, т. е. как Р(Р), так и ын (Р) измеримы о! цосительио сь (г.), а потому и Е„(Р) измерима относительно у (с). Покажем, ч! о Рь (Р) измерима и отиосителыю П (м). Поскольку Еь(Р) изл'ерима относительно 4г($), при любом а, миожество гл, тех ~очек, в которых Рь(Р)) О, может быть представлеио в виде В,=р,(!!+ А,("г, где ф,(!!~ Ко и г(Р)=0 в ~очках $,(лг.
Если а) О, то, в силУ опРеделениЯ Рь(Р), лгиожество (,,(Яг отсутствует, и, следовательно, гл, ~ Ео. Если же а ( О, то множество $, содержит все множество Н, и, как мы упочииали выше, можно считать в этом случае, что с,(лг совпадает с Н, т. е. что у"(Р)) 0 во всех точках Гь" Е По Н~Ео, а потому и фгг=сь'О+Н(-ьо. Таким образом, ~,~Ео при всех а, Рь(Р) излгерима относительно (г(гь), а полому и произведеиие Р(г(Р)/(Р) также измеримо относительно 0(6). Обрагичся к мпогкесгву гь(!', указагшому в теореме. В точках этого множества произведение Рь(Р),~(Р) совпадаег с Г(Р)г (Р), т.
е. Р(Р) [(Р) измеримо отгюсительио 6(о) и Ь(г!. При докачательс!ве форчулы (46) огра»ичимся гем случаем, когда Е(Р) о!рагшчепа. )(г! ! иео! рани иишых фуш(ций до! азагельсгво совершенно 75) АВСОЛЮТНО НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ МНОЖЕСТВ 241 аналогично. Пусть ,'Р(Р) ~(с и Ь„д — множество тех !очек Р из й, в ко2орых выполняется нераве.!ство 2п С (Р)» (!, 2л 2п ', 1 йл 1) Строим кусочно-постоянные функции Рп(Р)= — Е, если Р(:1п„д.
д Последовательность Рп(Р) при возрастании л возрастаег и ограничена по абсолютной величине числом Ь. Мы имеем 2п — ! 2 — ! ~ ~л (Р) г!л (л!РР) — ~ы 2п !г (!РР .«) — ~„р ~ У (Р) 0 (лил) й Д вЂ” 2л где й„",'» получается из Рл„д по формуле (39). Суммируя по всем указанным значениям л, получаем множесгво 5~г! и, внося в последа ней формуле — ь под знак интеграла, приходим к формуле 2" ~ Рл(Р)~(Ф) — ~ Рп(Р)~(Р)0(Ф).
$ й\н Подынтегральная функция правой части по абсолютной величине не больше суммируемой функции Т.г'(Р), и в обеих частях возможен предельный переход под знаком интеграла, что и приводит к формуле (46). Если множество ф измеримо и относительно 0(й), то в фоРмУле (46) можно заменить ф'г! на ф, ибо й!л! =5 — Рл!г! и у (Р)=0 на й!2!, так что интеграл по Г!2' равен нулю. Локазательство последних трех теорем взято из книги Б(опе'а .Ь|пеаг 1гапз(огша1!Опз !п Н!1Ьег1 Брасе апб 1йе!г аррйсаИопз 1о Апа!уз!з".
Если 0 (А) — функция ограниченной вариации, то пользуясь каноническим представлением в виде разности двух неотрицзтельных функций, получаем 0 (гл) = 0! (сл) — 02 (еп) и применяем теорему к О!(5) и 02(й). Вместо 7.О имеем в данном случае Лю где (г(5)=0!((е)+02(ф). Лля функции 7(Рл) получаем представление также в виде разности двух неотрицательных функций 7(А)=7!(и) — 7,(А) и вместое имеем т'.Рн где Ъ'!(и) =тй(ц)+72(д). Совершенно аналогично рассматриваегся тот случай, когда г'(Р) меняет знак. При этом надо представить Г"(Р) в виде разности положительной и о~рицательной части .((Р) = Г (Р) — У (Р) 9 Н. И. Гллрлов 242 якнкции множьс~в.
ласолюанля ньпгюывнос~ь (75 и доказывать теорему н формулу для каждого отдельного слагаемого. При этом 7(Ь) представится в виде разности двух неотрицательных функции, и тело множеств (.в заменится ~слом множеств, измеримых относительно функции; ', (В)= ~ Ж7э)! 0(Ф) Соверщенно аналогично теорема распросграняется и на случай комплексных функции /(7э) н 0 (й). Рассмотрим еще ту форму, которую имеет доказанная теорема н случае одного переменного. Пусть я (х) — неубывающая и ограничен ная функция на конечном промежутке (а, Ь) и /(х) — неотрицательна и суммируема по а.(х) на (а, Ь). Рассматриваем функцию ы (х) = ~ г"(х) г(~ (х). рх х~ Всякое множество, измеримое относительно п(х), будет измеримым и относительно м (х), и для измеримости множества ач относительно ш(х) необходимо и достаточно, чтобы его можно было представить в виде (39), где В"' измеримо относительно д (х) и 7"(х) = О во всех точках 5" .
Если Р (х) суммируема по ы(х) на множестве ~, измеримом относительно м(х), то имеет место формула ~ Р(х)вг( ~ г"(х)г(~(х)~= ~ Р(х)7(х)Ну(х), (47) 8 ((а,к~ 8'н ~ где $Ги — часть множества 5, входящая в формулу (39). Если Р(х) на 5 измерима относительно А (х), то 5ы' можно заменить на ~;. В случае п(х) =х, получаем формулу ~ Е(х) Ы~ ~ Дх)с(х ~ = ~ Р(х)Дх)дх. $ а 81н (48) ~ Е(х)г(~ ~ Дх)г(р(х)~= ~ Р(х)Дх)а8.(х), (49) (а,ь1 (.~ю «! ~ .ь~ в х Ь ') Р (х) г7 ~ ~ Дх) г(х ~ = ~ Г (х) г"(х) г(х, О а й Таким образом, если а(х) не имеет сингулярного слагаемого, то интеграл Лебега — Стилтьеса от Е (х) по а (х) выражается через интеграл Лебега. Если ф есть промежуток (а, Ь), то формулы (47) и (48) можно написать в виде 761 пвиывг причем, например, в последней формуле Г(х) считается суммиртемой по неопределенному интегралу о~ /(х), Положим, ~то <1г(х) и Чг(х) абсолютно непрерывные функции, н е.
Х г1~ (х) = ~ Чн(х)пх «-Сб Ч'(х)= ~ 'Г(х)г1х-)-Са (50) а О где Ф'(х) и 'Г(х) суммируемы на )а, Ь). Пользуясь формулой (49,), можем написать ь а ~ Ф (х) 'Г' (х) дх -к ~ Ч' (х) Ф' (х) г1х = а ь ь = ~ Ф(х)впГ(х)-)- ~ Чг(х) гуФ(х), О 5 причем интегралы, стоящие спрана, сугь обычные интегралы Стилтьеса, поскольку Ф (х) н гр(х) — непрерывны и ограниченной вариации. Лля правой части мы имеем формулу 12) ~ Ф (х) г(Ч'(х)-'- ~ Ч'(х)т1Ф (х) =( Ф (х) Ч" (х) )„' я П и, подставляя в предыдущую формулу, получаем ф о р м у л у и нтегрирования по частям, Ф (х)%"'(х) гУх+ ~ Т (х) г1р(х) г)х =(Ф (х) %" (х)) ~. (51) а а Из (50) непосредственно следует, что для су.ммы Ф(х)+ Ч" (х) подьвп егральная функция ранна Ф' (х) .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
