1610915356-5872c4d4ad41802c73f2f3fcece03aba (824746), страница 46
Текст из файла (страница 46)
70. Непрерывность в среднем. Возвращаемся к г'. (р ) 1) и докажем, что всякая функция из г'.р непрерывна, если оценивать ее приращение в норме у.р. Рассмотрим случай ограниченного измеримого множества ф. Интегралы мы берем в смысле Лебега и для определенности рассматриваем случай плоскости. Теорема. Если ) !х,у) т — Й на ограниченном измеримом множестве ф, то при любом заданном а)0 существует гпаное т))0, что [[Р(х+ Й, у+Й) — у(х, у) ![Р = [у (х+Й, у+Й) — у (х, у)[Р((х((у ( если [Й ! и [Й [(т!. (162) Точка (х+Й,у+Й) может уже не принадлежать гб, и мы продолжаем )(х,у) во вне ф нулем.
оначок у нормы показывает, по какому множеству берется норма. Мы можем заключить й в конечный замкнутый промежуток аэ(ас (х( Ь,; аг (у(дг). По теореме 1 из [60), существует ~акая непрерывная в аэ функция су(х,у), что [[) — (р,!...=--4. Мы можем продолжить р(х, у) с сохранением непрерывности на более широкий промежуток, например, на промежуток сзс (а, — 1 ( х Ь, + 1; а, — ! (у (Ь, + 1). Представим разность )'(х+ Й, у+Й) — )'(х, у) в виде: г(х+ Й, у+Й) — р(х,у)= р(х+Й, у+Й) — ср(х+Й,у+Й)+ р (х + Й, у + уг) — су (х, у) + ср (х, у) — у(х, у).
Будем иметь (! (х — 1- Й, у+ юг) — у(х,у) [л,(,)'(х+ Й, у+/г) — р(х+ Й, у+ +Й)![л.+[[у(х+Й,у-( Й) — р(х,у)![л.+[[у(х у) — у(х,уН(л,. 2!7 70) нвпвввывность в с!вднвм Мы имели ~!у(х, у) — т(х, у)',1И„ « .4-. В силу равномерной непрерывности ь(х, у) в д„суьцествует такое тн) 0 (мы считаем т!!(1), что,',7(х+й,у+й) — !ь(х,у),м,« — при 1й( и 1й1«ь1!, так что !Ях+ й, у + й) — г (х, >) ~1И, « --+ ~1Лх+ й, у+ й) — ~ (х + + й, у + й),,', пРи 1й 1а 1й1«!1. (163) Мы имеем 1) У(х !г- й, у + й) — 1! (х .+ й, у + й) г и = ~ , 'У(х + й, у + й)— Ь', — 1а (х + й, у + й) ( ь !ьх!(у, или Ц(х+й, у+й) — е(х+й,у+ й) ~; = ~1г(х у) — о(ху)!ьг(хну, а, 1И,И1 где пь(й, й) — промежуток, который получается из бь параллельным переносом на вектор (й, й).
Полагая, например, й и й)О, получаем фх + й, у -'- й) — о (х + й, у -1- й) 1/ ь = (( у(х, у) — ч! (х, у) 1ьа, -) + ~ ) а!(х, у)1ЬЫхЫу+ ~ ) сь(х, у) 1ьв!хв!у а! -1- и к ж ь! -1- и, ь! х ь! -1- и Ьа«кйаа+И ' аа+Ийт Ь,+И где ц часть йм так что ,')у(х,у) — 1ь(х,у)11ьа«4, Последние два интеграла очевидно стремятся к нулю при й и й — и О, и, следовательно, сУщесгвУет такое т)а) О, что (~ у(х + й, у + й) — р (х+ й, у + й)! ь, « — при 1 й ( и 1й 1«ч1, 71. Средние функции. Мы введем некоторый процесс усреднения для любой суммируемои функции Г"(Р).
Он приведет нас к последовательности функций, которые будут иметь производные всех порядков и будут в известном смысле стремиться к у(Р). Для определенности мы будем рассматривать случай плоскости и вместо точек где т1 = гпюп (!1!. ъ1,). Из (163) получаем 1Дх+ й,у + й) — у(х,у) 1а„« =-а пРи 1й ( и 1й / «!1, и тем более 1!У(х+ й, У+Ус) — Дх, У)1з«а при 1й1 и 1й1«т1, что и требовалось доказать.
Теорема может быть доказана и для случая неограниченного измеримого множества. 2! 8 [7! Функции множгств и интвгглл лвввгл будем вводить их координаты. Пусть а, (Р; Я) =а,(х, у; $, т!) — фушсция. зависящая только от расстояния г = ! РЯ ! ) ' (х — !)Я + (у — 4)Я, равная нулю при г)1, непрерывная и имеющая непрерывные производные всех порядков по всем четырем координатаи. О~метим при этом, что дифференцировзние ас(Р; Я) по х и у можно ззменять дифференцированием по ! и 4 с переменой знака у результата. Предположим, кроме того, что а,(х, у; (, ч!) Бсхвсу=1.
(164) Мы не пишем области интегрирования, предполагая, что интеграл берется по всей плоскости. В силу сказанного выше, фактически интегрирование совершается по кругу (х — !)я+(у — в)я(1. Если в формуле (164) интегрирование по (х,у) заменить интегрированием по ((, я), то результат будет тот же. Введем теперь следующее обозначение: а (х, у; (, т!) = а, ! —, —; — '-, — ) (р ) 0).
!к у,! ч (в' Р' Р' Р (166) Функция ар обладает теми же дифференциальными свойствами, что и а„но ар — — 0 при г= р, и а,(х, у; (, Ч) с!хсКу=ря. (166) )а,(х, у; (, т))(лхасу=С, ( а (х, у; (, т!) ! с(хвсу= С~ (167) откуда (168) Пусть в ограниченной открытой или замкнутой области В, имеется суммируемая функция у(х, у) (вместо области мы могли бы взять любое ограниченное измеримое множество). Продолжим ее нулем на всю плоскость и составим от нее среднюю функцию: У ((, т!)= — Дх, у)а (х, у; (, т)) с(хс(у, (!69) 1 !' Положительное число р называется обычно радиусо.и усреднения. Подынтегральная функция равна нулю вне круга С ((, т!), и, если г расстояние вс от точки ((, я) до с), больше нуля, то у" ((, т)=0 при р~А Лальше мы укажем одну из возможностей выбора функции а,(Р; Д) (ср.
!11; 1571. Симнолом С ((, т!) мы в дальнейшем будем обозначать круг с центром (с, т)) и радиусом р. Введем еще следующее обозначение: 71! 219 СРВДНИЕ ФУНКЦИИ Теорема 7. Функкия У (1, т!) непрерывна и имеет непрерывные частные производные любого порядка на всей плоскоспгп.
Принимая во внимание, что ы зависит только от разностеп х--1 Р и у — ть имеем !7,6+ Й, з+ Й) — 1, (1, )) 1 = ( —, ~ !7'(х, У)! / ы (х — Й, У вЂ” Й! 1, ъ!) — в (х, У; 1, ъ)) / ахаРУ. (! 70) 1 Р Из равномерной непрерывности ы, как функции х, у, 1, в следует, что при любом заданном а ) 0 существует такое ~) ) О, что )ы,(х — Й, у — А; 1, ~)) — ы,(х, У; 1, т))) ( в при )Й( и )Й/ ~ т), и, следовательно, ! ур (1 + Й, «+ Й) — ур (1, т!) ( ~ —, ~ ( у(х, у) ) йхйу ( ( Й ! и ! Й ! -.= ъ)), откуда, в силу произвольнэсти е, и следует непрерывность 7",(1, т)). Локажем теперь существование и непрерывность произзоднои по Ь у,(1+Й, в) — 7 (:-, л) И = —, 1 7'(х, у) ' 'У' ' ') '( ' У' " ~)) ахау.
(171) По теореме о среднем "'( "у!' ") ' ° у'-'ч),д ( ВЙ,у!1, „) (0<0<1). дх Р При любых Й правая часть по абсолотноп величине не превосходит некоторого числа К, и в интеграле (!71) подынтегрзльная функция по абсолютной величине не превосходит суммируемой функции К!у'(х, у)/, так что возможен предельныи переход под знаком интеграла, и мы получаем ',уг( 'У) д-' Р ! Непрерывность этой частной производной может быть доказана совершенно так же, как и непрерывность 7',(Е, ч)). Приведен юе доказательство применимо и к дальнейшим пройзводным, и они получаются дифференцированием под знаком интеграла: д-.„' д †'ч — †-р ~ г'(х, У) д .р'д ли с(х аУ .
(172) [71 220 Функнии множвств и интягвлл лазвгл Теорема 2. Если /(х, у)~ 7.я(с!о), т. е. 7., на сзр, ррро ]~' (х, у)[' аРхаРу ~ С, [ [ У(х, у)]' аРхау, где С, — постоянная, и ]!гп Ц вЂ” У, ]' = !пи [ [Дх, у) — 7", (х, у) [Я аРхр(у = О. р-о р-о Мы имеем (173) (174) Во внутреннем интеграле вводим вместо (х,у) новые переменные интегрирования (и, и) по формулам х= Е + и; у = т! + о, и принимая во внимание, что ор,(Е + и, т! + ти Е,з!) = 0 при и' + э' -- рз, получим, применяя неравенство Буняковского: ( ~ [у(Е,т,) — у(х,у)] ро,(х,у; Е,т!)архр7у( ( ( '[ [7(Е, ъ!) — 7" (Е -1; и; о!+ и) [айрг(о К цц+«" рр 'Х ~ ор";(Е+и, ч+ и; Е,т!)йЫо.
На «~Р ( С, (Ся — постоянная, не зависягдзя от р), и, следовательно, рравая часть не превосходит Ся«Р' ~ [ У(Е, т) — У(Е+ и, т, и) [заРиоЬ. «."+црцвр ] ~, (Е, ц!) [ (, ~ ) '[ ор, (х, у; Е, я) [ ]р'[ ю, (х, у, \, я) [ [ у(х, у) ! о(хару. Применяем неравенство Буняковского: [ур(Е,т!)] =.—, ~ [мр(х,У;Е,~)'Р(хР7У вЂ”, ~ [Дх,У)[Я[«Р (х,У;Е,т!)]РУхьРУ. (175) Пользуясь (168), интегрируя по (Е,т!) и переставляя порядок интегрировзния [69], получим ~ [ р" (Е, я)]'аРЕ,аРт) к--С ~ [ г(ху) [' ~ —, ~! мр(ху; Е, з))[аЫя~ Ыхо(у, откуда, в силу (168), получаем (173) (С,=С'), причем справа интегрирование производится по йо, так как р(х,у)=0 вне 7)о.
Переходим к доказательству формулы (!74). Принимая во внимание (166) и (169), можем написать []У вЂ” У,, = 1]У(Е,т,) — У,(Е, !)]ЧЕ ()= = ~ [ —, ~ [У(Е, з!) — У(х у)] «р, (х,у; Е, ц!) аРхо(у ( й рУт!. (176) 7!) 221 сгядннв Функции В результате формула (176) дает !У вЂ” У !!'( — ', ~ ) ~ !/(Е,2!) — /(Е+ и, г+о) !'дггйп ~сЕйП. (!77) 22 (- 22 р2 Переставляем порядок интегрирования !!7" — ур!)2( —, ') ~') $7(Е,2)) — 7(Е+и,ъ!+о)!2йЕйг1йийо. (!78) ц2.1.22 рр В силу непрерывности в среднем при любом заданном 2 ) 0 суцествует такое 2! ) О, что //(Е,т)) — 7(Е+сс,ч!+о) !2йЕйт!(а, если грч+от(2!2.
При этом неравенс~во (178) дает !!У вЂ” гр/~( — ', ~ ~ йгрйо=Счпяа при 0(р(21, ца+тЪмрр ~ ( у(х, у) (2 йхйу ( т. Оц (1 79) Применяя к правой части (!69) неравенство Буняковского, полу- чим ~ ур (Е, 21) !2 ( —, ~ ырц (х, у; Е, 21) йхйу. ~ , 'ф(х, у) (2 йхс(у ( С, 'т. Остается доказать равностепенную непрерывность. Применяем к правой части (170) неравенство Буняковского и пользуемся (179): ~У,(Е+д, +й) — дЕ, И ( —, ~ ! ы, (х — !р, у — 72; Е, 2!) — 22, (х, у; Е, 21) !2йх йу, и из равномерной непрерывности функции ц2, следует равностепенная непрерывность функций- 7' (Е, 9) при любом выборе 7 (х, у) из Еl.
что, в силу произвольности 2, н приводит к (174). )(окажем еще одну теорему, которая нам будет нужна в дальнейшем. Теорема 3. Пусть У вЂ” множество функиий 7"(х, у) иэ 1.2(П,), ограниченных по норме одним и телр же числом. При этом соответствующие функции ) (х,у) при фиксированном р ограничены по модулю одним и тем же чгсслом и равностепенно непрерывны. По условию существует такое положительное число т, что для всех функций 7"(х,у) из БЕ 222 171 Ф»чн»цин ыножвств и и»»тяггал лГавг» Указания»е ььнпе доказ:жельства применимы и для Ея при р 1. Если р) 1, то вместо нерзвенствз Буняковского надо воспользо.
взться нерзвенсжюм Гельдера и формулой г — /1, 1 ,(х, у! (, т»)!=!»в,(х, у; (, »))~ !ы,(х, дб 1, 1)~ '(р -1-рч= 1,. При р=1 все доказывается, как и выше, без применения неравенств Буняковского и Гвльлера. Таким образом, имеет место сле дуюпшя теорема. Теорема 2'. Если ?"(х, у)е Ер(0,) (р) 1), то ~ !У (х, у) !Рйх»(у -.С, ~1?(х, у) !айхалу; !!и» ~ ! Дх, у) — у (х, у) (в сКх Ыу = О, (! 8О1 (181) получаем /у((, ъ;) — З (1, т))(«»С при р«т» и ((, т!) р ?у, (182) Если, кроме того, функция ?(х, у) имеег в 0я непрерывные производные до некоторого порядкз, то, заменяя в формуле (1?2) дифференцировзние по ! и т! дифференцированием по х и у, произ- водя интегрирование по частям и пользуясь свойствами функции ы, Р' получим для ((, т») ( 0' и достаточно малых р: д" /,(:, ч) 1 Г д" У(к, у) — — — ч» (х, у; », т») г(х»(у, д!Р'д тч Р' ) д хв д > ч т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
