1610915356-5872c4d4ad41802c73f2f3fcece03aba (824746), страница 47
Текст из файла (страница 47)
е, производная средней»!зуннг!ии равна средней фуннцгв от производной при ((, т) ( 0' и достаточно а»алом р. Имеет место и теорема 3 с ззменои Е, на Е . Локазательство остается в силе и в том случае, когда 0„ есть неограни ченное измеримое множество, например, вся плоскость Р . Г!ользуясь теоремой 3, легко показать, что линеал непрерывных финитных функции с непрерывными производными всех порядков повсюду плотен в Е ((г) ). Отметим еще, что все сказанное выше имеет месго как для вещественного, так и для комплексного прострзнства Е„. Выше мы рассматривали средние функции в предположении, что ?(х, у) В Е (р ) 1).
Положим теперь, что ?(х, у) — непрерывная в открытой области 0» и пусть 0' любая фиксированная замкну~ля область, ле»кащая внутри 0я. В силу равномерной непрерывности ?(х, у) в любой замкнутой области, лежащей внутри О,, при заданном а ) О, существует такое т, ) О, что ! ? (х, у) — ? ((, т) ! «а, если (х, у) Е С,((, т) при р «т и (Е т) — любзя точка Ег'. Из неравенства )д(, т) — ?;(», т) (« — » ~ /~((, т) — у(х, у)) !со,(х, у; Е, 1)/»(хйу 1 Г Р 223 сРГдниГ Ф!'игн!ии Отметим, что при указанных услоаиях гя (х, у; 1, г) равна нулю Р вблизи границы О, и за счет этого при интегриропании по частям обращаются п нуль крияолннеиные интегралы.
Пути иггтегриропания и этих интегралах можно брать достаточно гладкими линиями, лежащими а достаточной близости к границе О. Из сказанного выше следует: Теорема 4. Если г" (х,у) непрерывна в.иесте со своилш производными до некоторого порядка У внутри 0„, гпо в любой за иннупгой области 0', лежа!ней внутри 0„, средняя фунгсг1ггя и ее производные до порядка Е стре,аятся равно. перно и у (х, у) и ее соотвегпствующи и производным при р — О.
Отметим еще, что если /(х, у) ограничена: )У(х, у)( =-пг, то /у, ((, т) / ( —, ~ ! у(х, у) , '! м, (х, у; (, т) ! с!хну ( Ст. (! 84) Теорема 5. Если Е(х, у) сулглтрусма по любой за.и!гнутой области 0', лежащей внутри Оы и обладает тем свойство,и, что ~ Е(х,у)р(х, у)йхау=О Ор (! 8о) ~ Е (х, у) чг, (х, у) йхау = О. (186) Оо Функции гр,(х,у) сходятся при р -+ О я 11 к гр(х,у) на 0„, и сугцестаует такая последовательность гр,„(х, у), которая стремится к гр(х,у) почти везде. Кроме того, 'гс(х,у) р,(х, у) !(Ст) р(х,у) г, причем Е(х, у) р (х, у) финитны и, справа стоит суммнруемая функция.
Переходя к пределу я рапенстае (186) при р=рги мы получаем (185), и теорема доказана. п)г!г любом выборе о(х, у) — непрерывной с непрерывными производны.ии до некоторого по1гядна г' внутри 0 и равной нулю вне некоторой замкнутой области, лежащей внутри О,, то Е эквивалентна нулю. Лостаточно доказать, что из условий теоремы следует, что (18о) имеет место для любой ограниченной измеримой финитнои гр(х, у), т. е. равной нулю яне некоторой замкнутой области, лежа!цеи янутри Ов (эта область, как и и условиях теоремы, может быть различная для различных гр(х, у) После этого доказательство того, что Е (х, у) эквивалентна нулю, проводится совершенно так же, как доказательство теоремы 12 из !52). Пусть гр(х, у) — такая функция, причем ! р(х,у) ( е-. т и вр(х, у) — средние функции, так что ( р,(х, у) /(Ст.
Функция гр,(х, у) фи~итна при достаточно малых р й имеет непрерывные производные всех порядков, так что по условию теоремы 224 ьянкции множяств и интвгглл лявю л Укажем теперь на одну из возможностей выбора функции м,(х,у; 1, т), а именно положим !ср. 1Н; 1571: гя С,е" — ' при г(1, ыг(х,у; 1, т)= 0 при г-"1, (г' = (х — !)я + (у — т)'), (187) где постоянная С„выбрана так, что выполняется условие (164).
Наличие непрерывных производных всех порядков при г(1 и г~ 1 ы очевидно. При г -ь 1 от меньших значений е '-' †' -ь О. По индукции легко проверяется, что производная любо~о порядка при г ( 1 имеет вид д" Г Рь (х —:. у — ч) е а,гП, — (гя — !)аа где р, (п, о) — полином. При приближении точки (1, т~) к окружности г=! это выражение стремится к нулю. Пользуясь формулой конечных приращений, получим, что и производная в любой точке этой окружности существует и равна нулю. В указанном примере (187) аг) 0 при г(О постоянная С формулы (167) равна единице. ГЛАВА Ш ФУНКПИИ МНОЖЕСТВ. АБСОЛЮТНАЯ НЕПРЕРЫВНОСТЬ. ОБОБЩЕНИЕ ПОНЯТИЯ ИНТЕГРАЛА 72.
Аддитивные функции множеств. Пусть функция точки Т(Р) измеримз относительно неотрицательной, аддитивной и норчзльной функции 0(5). Составим неопределенный интеграл ~у ®) = ~ Т (Р) 0 ИБ). Он определсн для всех тех множеств 5, принадлежащих замкнутому телу Ео, на которых Т(Р) суммируема. При этом, если Т(Р) суммируема на Б, ао она суммируема и на любой измеримой части Б' множества 5, и если 9 разбито на конечное или счетное число мноя(еств Вь попарно без общих точек, то м(5) равно сумме ~у ®ь) (полная аддитивность).
Мы научим сейчас свойства вполне аддитивных функций, заданных не в форме неопределзнного интеграла, а любым образом. Игак, пусть м(Б) принимае~ конечные вецгественные значения для множеств, принадлежащих некоторому семейству С множеств из некоторого замкну~ого тела множесгя Т, содеряаащего все замкнутые и открытые множества. При этом мы считаем, что если $ принадлежит С, то и всякая часть 5, принадлежащая Т, также принадлежит С. Кроме того, считаем ср(5) вполне аддити в ной, т. е, если ~,, принадлежащее С, разбито на множества Б» попарно без общих точек, число которых конечно или счетно, причем все Бь из Т и тем самым из С Б= ХБь (2) |о 'р (Б) =2~ у(с.ь). При бесконечном числе слагаемых написанный ряд должен схолиться абсолютно. В случае фэрчулы (1) замкнугьщ телом Т служит тело 7.о, и семейство С состоиг из тех множеств Б из 7.о, на которых Т(Р) суммпруема.
Наиболее важныч в дальнейшем будет гог случай, когда С состоит из некоторого 9„ принадле кащего 1.о, 226 Функции множвств. лвсолютнля нвпРНРыяность [72 и тех множеств $ из ьо, которые принадлежат фм Прн этом само С есть, очевидно, замкнутое тело. Отметим, что если ~!((ч) определена для множеств из Т, принадлежащих, например, некоторому замкнутому промежутку Ь, то она может бы1ь определена для всех множеств ф из Т по формуле ~ (й) = ~ (Ф б).
(4) При этом она будет принимать конечные значения и будет вполне аддитивной на всем теле Т. В дальнейп1ем, когда мы будем говорить о р($), то будем, конечно, считать, что Р,(- С. В силу аддитивности мы должны иметь 1у(ф)= О, если $ — пустое множество. Из аддитивности непосредственно следует, что если $' и р," принадлежат С и ф'с:В", то ~ (Ь" — В') = ~ (б") — ~ ((3'). (б) Далее из полной аддитивности следует, что если (ь„(п = 1,2,...)— монотонная последовательность множеств из С и если предельное множество $ также принадлежит С, то !!1(В„) — ~!(с).
В случае неубывающей последовательности множеств мы имеем 5 =Р.,! + (Є— — ф!)+(5а — ф,)+... и, в силУ полной аддитивности, Р(В)=41(Р!) + + [ср ($,) — Ф (г-.!) ] + [~ (еа) — ср (счя) ] +..., т. е. Ф (9„) — ср (!"-,). В случае невозрастающей последовательности Т„доказательство аналогично, пРичдм ~ч обаза тельно пРинадлежит С. Отме!.им еще, что конечная линейная комбинация с!Ф!(9)+ с,1у1(р)-~-...+ср~1р(Ф) вполне аддитивных функций есть, очевидно, также вполне аддйтйвная функция.
Переходим к доказательству основных теорем теории: Теорема 1. Значения Ф® для всех множеств ф, прпнадлежаязпх любо.иу лгножеству 5! Цз С, ограничены по абсолютной велпчнне однпл! и тем же число.и. Доказываеи от обратного. Если это не так, то существует такое Тяс:Т„1, что (<Р(В,)[)2 и [Фф! — $1)))2. ПРи этом надо пРинЯть во внимание, что 9(в1) =9(бя)+Т(в! — ФЯ), и что неограниченность одного из слагаемых влечет неограниченность второго слагаемого, ибо р(5!) есгь заданное число.
Для 91 или ф! — фэ теорема невыполнена. Можем считать, что она не выполнена для $о и сущесгяуег такое ГФ1с:р„что )!Р(Г1) ~ ) 3 и ~ !Р®,— ра))»3 и т. д. Мы имеем: ф1:-эВ,:л$а... и, обозначаЯ Р,=У!!Тч!я ..., в силУ сказанного выше, р(5„) — р($), что нелепо, ибо !ф„) беспредельно растут по абсолютной величине, и теорема доказана. Пусть Ь вЂ” некоторое разбиение $ на конечное число 5ч Составим сумму (1=1[~(С )[ (6) и покажем, что множество значений 11 для любых 3 ограничено. Пусть са' — сумма тех Вв, для которых Ф®в).»0, и $1" — сумма тех 227 721 лдлитивныи вхнкпии множеств 5„ для которых 7 (5,)( О.
Принимая во внимание аддитивпость гь(5), можем написать ь т(Вь) гг(56 ) (л Принимая епе во внимание, что Вь'+Вь"='Л, и следовательно, у(5)=гр(Вь")+гь(Вь"), можем переписать (7) в виде (8) 1ь = 2ср(5,') — е (5) = ~р(5) — 2~р(Ва"). Обозначим через у (5) и гь (5) точную верхи.о:о и точную нижнюю границу значений гв(е), если ес: В, причем пустое множество также считается принадлежагцим В: р (В)= зпр 7(е)1 7(5) = 1п1у(е); (е(:5) (О) В силу теоремы 1, мо;кеч утгержчать, что р (5) и оы(5) конечны.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
