1610915356-5872c4d4ad41802c73f2f3fcece03aba (824746), страница 44
Текст из файла (страница 44)
При этом считается, конечно, что сумма имеег смысл [43]. Лемма 2. Пусть на пролгежутке сь и.неется монотонная последовательность сулглглруе.ных функцщс )л(х, у), которая сходится к функции /(х, у), суммируемой на Д. Если при этом для каждой функции Гл(х, у) справедлива теорема сйубингь то она сприведлнва и для предельной функгг|ги ) (х, у). При доказательстве будем считать, что )„(х, у) есть неубывающая последовательность. Случай невозрастающей последовательности приводи~ся к указанному случаю, если заменить у„(х, у) на — )л(х, у). По условию леммы каждая из функций )„(х, у) измерима и суммируема по у на промежутке ['с, й], если исключить из промежутка [а, Ь] изменения х некоторое множество Ал меРы нуль.
Если мы исключим из [а, Ь] множество А=Аь+А,+, тзкже имеющее меру нуль, то для оставгпегося множества значений х и предельная функция /(х, у) будет измеримой по у на [с, й]. По условию леммы каждая из функций 206 [66 вгнкции множеств и интвгглл ляввга С другов стороны, в силу теоремы 2 из [54], мы имеем 1нп ] ] у'„(х, у) г(х, Ыу= ~ ']у(х, у) ~(хау, и, таким образом, можем написать '] И(х) г(х= '] '] Дх, у)г(хну.
(1 49) Мы определили функцию И(х) следующим образом: И (х) = !пп И„(х) = 1 нп [ у"„(х, у) г(у. а л оэ,~ с (150) После того как мы это докажем, получим, в силу (149), для функции у(х, у) полностью теорему Фубини. Пусть  — множество тех точек из [а, Ь], в которых функция И(х) определена и равна (+со). В силу суммируемости И(х) множество В имеет меру нуль. Если исключить из [а, Ь] множество А+В меры нуль, то на оставшемся множестве, т.
е. почти везде на [а, Ь], возрастающая последовательность И„(х) стремится к функции И(х), принимающей конечные значения, т. е. для всякой точки х, принадлежащей множеству (а, Ь) — (А + В), интегралы по [с, Ы] от неубывающеп последовательности функций у„(х, у) от у ограничены числом И(х). Согласно теореме 2 из ]54], для указанных значений х, у(х, у) суммируема по у на [с, Ы], и имев~ место формула ~ у (х, у) ду = Ет ~ у'„(х, у) с(у, с с и, в силу (148), функция И(х) почти везде на [а, Ь] выражается формулой (150). Таким образом лемма доказана. 3 а м е ч а н н е. Из самого начала приведенного доказательства непосредственно следует, что если относи гельно функция у'„(х, у) дано лишь то, что они измеримы по у нз [с, 1] для почти всех значений х из ]а, Ь], то и предельная функция у(х, у) измерима по у для почти всех знзчении х из [а, Ь]. Лля полного доказательства леммы нам остается доказать, что функция г(х, у) суммируема по у на [с, Ы] для почти всех значений х из [а, Ь] и что функция И(х) почти везде на [а, Ь] может быть выражена формулой 671 случАй ХАРАктвРистичвской Функции 207 й(х)=т'(й„)= ( ш(х, у) с(у, с измеримз в [а, Ь], и имеет место формула ь е гп (5) = ~ ~ ~ сс (х, у) с(у ~ осх.
с с (151) Короче говоря, 5, измерима по у при почти всех значениях х, и имеет место формула т(р) = ] т'(рс) с(х. а (152) Яы будем доказывать теорему Фубнни для характеристической функции постепенно. Лемма 3. Теорема трубина справедлива для характеристической функции любого полуоткрытого промежуспка, открытого множества и множества Ос, принадлежащих Ь. Если имеется полуоткрытый промежуток Ь'[и(х -р; 7(у(д], принздлежащий а, то ш, (х, у) измеримз по у при любом х, п(х) — ~ '( у)ау — ~ Ъ с если а ( х -=- р и Ь (х) = О, если х вне Ь' 67. Случай характеристической функции. Целью настоящего параграфа является доказательство теоремы Фубини для того случая, ко~да подынтегральная функция есть характеристическая функция некоторого измеримого множества б, принадлежащего промежутку Ь, о котором говори~СИ в теореме. Интеграл от шг (Р)= шй (х, у) дает, очевидно, меру и (5) множества $, как множества на плоскости.
Пусть р,, — множество тех точек р, которые имеют заданную абсциссу х„ т. е. В,, есть пересечение Р с прямой х = х„. Характеристическая функция этого множества равна шй (хс, у). Измеримость $ по отношению к у равносильна измеримости функции "с шй (х,,у) на промежутке [с, ас] и если это так, то линейная мера $ которую мы обозначим через т'(ф„,), равна интегралу от шй (х,, у) по указанному промежутку. Суммируемость шг (х„у) обеспечена ввиду ее ограниченности. Теорема Фубнпи для характеристической функции шз (х, у) приводится таким образом к следующему утверждению: функция сой(х,у) измерима поу на промежутке [с, ас] для почти всех значений х из [а, Ь], ограниченная функция 208 эвикции множвств и интвгвлл лвввгл и лемма очевидна, ибо мера Ь' равна произведению (р — а) (Ь вЂ” Т).
Открытое множество гэь есть сумма счетного числа полуоткрытых промежутков Ь» без общих точек и аз, (х у) = хв а»» (х у). »=о В силу леммы 1, теорема Фубнни справедливз для конечной суммы ~а» (х, у). »=-~ ~о=И О» (153) где О» — открытые множества, принадлежащие открытому промежутку Ь. Отметим, что если бы некоторые О» не принадлежали открытому промежутку а, то мы могли бы ззменить О» произведением О» на открытый промежуток Ь. В силу (153) а. ° (х, у) есть предел невозрастающей последовательности, характеристических функций ай (х, у) открытых множеств и, поскольку для ай (х, у) теорема Фубини уже доказана, она, в силу леммы 2, справедлива и для аг„ (х, у), Если некоторые из точек множества 5 типа Ов лежат на контуре Ь, то мы несколько расширим Ь так, чтобы Р,,' лежало внутри расширенного промежутка Ьь.
Теорема Фубини будет справедлива для аз„(х, у) на Ьь. Отсюда, принимая во внимание, что ь~й,(х, у) = О вне Ь, получим непосредственно теорему Фубини для ай,(х, у) и в промежутке а. Отметим, что во всех рассмотренных в этой лемме случаях аз(х, у) измеримо по у при всех значениях х. Лемма 4. Если 5 есть лгножество, принадлежащее Ь п имеющее плоскую меру нуль, иго почпггг прп всех х ссз [а, б] линейная мера $ равна нулю, п для ай(х,у) имеет месгпо теорема Фубпнп.
Построим множество (б, типа Ом принадлежащее Ь, покрывающее В и такое, что лг(5',— В) = О [40). Мы имеем ф',=й+ (В',— Р), При возрзстании т эти суммы образуют неубывающую последовательность, которая стремится к ограниченной и тем самым суммируемой функпии ай,(х, у), и, в силу леммы 2, теорема Фубини справедлива и для аз,(х, у).
Положим, наконец, что г», есть некоторое множество Ов, принадлежащее открытому промежутку Ь. Мы можем представить его в виде 209 68! твогвма Фтвини и, писковы<у т(8)=0 и т(8,— 8)=0, то и гсг(Р,„)=0. )(ля 6, теорема Фубини справедлива, и можем написать ь и ~ ~ ~ ай, (х, у) ау~ ах = О. а с Величина, стоящая в квадратных скобках, неотрицательна, и, в силу свойства 14 из [49[, мы имеем почти везде на промежутке а(х ..д; аа „(х, у) ау = О. с Отсюда видно, что линейнаЯ меРа множества точек Р,'я лежащих на почти всех прямых, параллельных оси У, ранна нулю.
Так как Р, с в Р,', то это и подавно будет иметь место для множества 6, т. е. нри почти всех х из [и, Ь[, свз (х, у) г(у = О, с а потому для ай(х, у) спрзведлива теорема Фубини ь и т (Р) = 0 = ~ ~ ~ ай (х, у) йу ~ с(х. а с Лемма 5.
Теорема Фубинп справедлива для аа(х, у) любого измеримого множества Р, принадлежащего а. Построим множество р, типа Ов, принадлежмцее Ь, покрывающее 8 и такое, что т(Р, — 5) =О. Согласно леммам 3 и 4, теорема Фубиии справедлива для характеристических функций множеств Р с и (р.',— р). Но аа(х, у)=ай,(х, у)+аз, З(х, у), и по лемме 1 теорема Фубини справедлива и для ай(х, у). Отметим, что если измеримое неограниченное множество 5 имеет конечную меру, то р„ измеримы почти при всех х, и имеет место формула (152).
Это получается непосредственно предельным переходом от ограниченных множеств. Таким же образом легко показать, что если 5 просто измеримо, то $„ измеримо почти при всех х. Если, кроме того, т (8„) суммнруемо, то 5 имеет конечную меру, и имеет место формула (152). Лемма 4, очевидно, имеет месго и для неогрзниченных множеств. 68. Теорема Фубини. Лля полного доказательства теоремы Фубини нам понадобится еше одна простая лемма. Лемма б. Теорелга Фубини справедлива д.гя из.иери.иоа функИгггг ) (х, у), принимающей в Ь конечное число конечных значений. 168 210 Функции чножвств и интягедл ляввгл Пусть г(х, у)=сь (/А= 1, 2,..., т), если точка (х, у) принадлежит множествУ 8ь, пРичем Ь = ф, + ф, +... + Р„. Мы можем предстзвить г"(х, у) в виде линейной комбинации характеристических функциИ множества Вь; у (х, у) = ~ ', сьььз (х, у), ь-! и спрзведливость теоремы Фубини для у(х, у) непосредствешю вытекзет из лемм 1 и 5.
На основе последней леммы теорема Фубини доказывается весьма просто. Пусть У(х, у) суммируема на Ь. Разобьем ее на положительную и отрицательную части г (х, у) =у" (х, у) — гг (х, у) В силу леммы 1, достаточно доказать теорему для у' и 1", т. е. при доказательстве мы можем считать, что суммируемая функция у(х, у) неотрицательна. Как мы знаем <46), ~акую функцию можно представить как предельную функцию для неубывающеп последовательности измеримых, неотрицательных функциИ /,(х, у) с конечным числом значепиИ. Согласно лемме 5, теорема Фубини справедлива для функция /„(х, у), а тогда, в силу леммы 2, она справедлива и для функции Г(х, у), и чем самым теорема Фубини доказана.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
