1610915356-5872c4d4ad41802c73f2f3fcece03aba (824746), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Приведем еще так называемое обобшенное уравнение замкнутости. Пусть ал и Ьл — коэффициенты Фурье функций г(Р) н !г(Р), и система (81) замкнута. Функция 7"(Р) + 8(Р) имеет коэффициенты Фурье ал + Ьл, и функция г(Е)+ гй(Р) — коэффициенты ал+ гЬА. Уравнения замкнутости для них имеют вид огтогонлльныя систвчы Функций 179 581 ИЛИ ~ [У['+[к~'+(К~+У~))а(а6)= СО ~) [[ а„['+ [ Ь„[я+(ИОЬ„+ а„Ь„)[; О ! ~ М['+~а7+гОа — ЙЮ(Ю= СО 1! [[ИО[Я+[Ь„!Я+1(Ȅ܄— а„Ь„)]. О ! Принимая во внимание уравнения замкнутости для г" и у, умножая второе равенство почленно на ! и складывая с первым, мы и получим обобщенное уравнение замкнутости УЬ О (г(6) = ~) а„Ь„. О= ! (99) В случае вещественных функций обобщенное уравнение замкнутости имеет вид С СО ~ Д~ О (г(6) = ~ ИОЬОР з л ! (100) ~ г"(Р) О (г(6) = ~) а» ~ !Оь(Р) О (Ы6).
(101) Укажем еще одно свойство пространства Ея, из которого следует существование в Е, замкнутой ортогональной нормированной системы. Это свойство называется обычно с е п а р а б е л ь н о с т ь ю и оно состоит в следующем: существует счетное множество эле ментов с[сь(Р) (Ь=1, 2, ...) из Ум плотное в Ея, т. е. такое, что для любого У(Р) из Е, и любого заданного положительного а существует такой элемент Чс (Р) из указанного счетного множества, что [[У(Р)— — ф (Р)[[(а.
В одном нз следующих параграфов мы докажем сепарабельность ум Сейчас мы докажем, что из сепарабельности вытекает существование замкнутой ортогональной нормированной, системы. Применяя к с[сь(Р) процесс ортогонализацин, [1Ч; З~, получим некоторую ортогональную нормированную систему чса(Р) (Ь = 1, 2,...). Лпкажем, Из обобщенного уравнения замкнутости непосредственно следует возможность почленного интегрирования ряда Фурье любой функции Д(Р) из Ая по множеству 5 или любой его измеримой части У; [П; 156[, а именно, если а„ (А = 1, 2, ...) — коэффициенты Фурье у (Р), то 180 [59 ью!кции множгств и интвгеал лвввгл !!У Ф !! — ) (г (Р) 1 с Р (Р) ТС(Ю еъ.
а а-! Если мы заменим са коэффициентами Фурье у(Р) относительно системы 1!а(Р), то неравенство тем более сохранится [П; 1481! ~ Ц(Р) — Я,(У'а(18) ч где Я!(У) — отрезок ряда Фурье функции У(Р). Из этого неравенства, в силу произвольности а, н следует замкнутость системы па(Р). Отметим еще, что в том случае, когда 6 (8) соответствуют сосредоточенные массы, помещенные в точках Р„ Р„ ..., Р , то замкнутая система содержит лишь т элементов, н этот случай не представляет интереса.
Он приводит, как мы уже отмечали, к конечно-мерному пространству гг . 69. Пространство 1,. Наряду с пространством Е, рассмотрим пространство бесконечных последовательностей Р„ тесно связанное с Ц, причем мы сразу будем рассматривать комплексный случай. Элементом 1, назовем бесконечную последовательность комплексных чисел х(х„х,, х„...) такую, что ряд, составленный из )х„!', сходится. Непосредственно определяется умножение элемента на комплексное число и сложение элементов. Элемент сх по определению имеет координаты (сх,, сх„ ...) и сумма элементов х и у с координатами х„ н у„ имеет координаты х„ +у„, при этом сходимость ряда, составленного из чисел (х„ +у„!', непосредственно следует из сходимости рядов, составленных из чисел )х„!' и 1у„Р, в силу очевидного неравенства (х„+у„)'( 2()х„!'+ + )у„(').
Йорма элемента х определяется формулой у со )~х!!(=~уг ~Р !х„(', ь=! (102) и скалярное произведение элементов х и у формулой (х, у)= ~~~~ х„у„, л ! (103) что она замкнута. В силу сказанного выше для любого )'(Р) из 1., и любого заданного положительного а существует такое ф (Р), что !! Г" — ф !! =а. Но ф (Р) есть, согласно процессу ортогонализации, некоторая конечная линейная комбинация функций !у„(Р), т. е. 'тм(Р)=с!!гг(Р)+ гауз(Р)+ ... +с!!яг(Р), и, таким образом, ь ! ПРОСТРАНСТВО Гя 181 591 причем абсолютная сходимость ряда, стоящего справа, непосредственно вытекает из неравенства (х„у„) ( ~ (!х ~ + !у ~ ).
Мы имеем '1х)!я=(х, х). (104) Расстояние между элементами х и у определяется формулой 1!, Л=~~ — Л вЂ” И=!!» — У!!=)/ У ! .— ЛГ. ГОа! л=! Совершенно аналогично неравенствам (67) и (69) имеют место следующие неравенства: ~~ х„у„! ( ~! )х„)я ° ~~ )у„!я! л=! л ! л=! ),!,А~,лГ.~ д!..!'ч.у')„'Ь,.!. л=! л ! л=! (106) (107) Они доказываются так же, как и неравенства (67) и (69). Отметим, что неравенство (106) может быть записано в виде )(х, у) !' =,'(х))я ° '1у(~я. (108) Для расстояния, в силу (107), имеет место правило треугольника. Нулевым элементом пространства называется элемент, все координаты которого равны нулю. Мы говорим, что последовательность элементов х'л! сходится к элементу х, если (!х — хои !", О.
Пусть х1,!— координаты х'л! и хь — координаты х. Сходимость х!л! к х равносильна следующему: х!л! (~! — !!' ) х — х!ю !' — 0 при и — оо. (109) л-! Укажем теперь на связь пространств Ля и 7,. Возьмем какую-либо замкнутую ортогональную и нормированную систему (81).
Каждой функции ((Р) из Ц будет соответствовать последовательность комплексных чисел аа — ее коэффициентов Фурье, причем ряд, составленный из )алая, сходится. Наоборот, каждой такой последовательности комплексных чисел, в силу теоремы 1 из 159], отвечает определенная функция из ум Таким образом, взяв какую-либо замкнутую систему (81), мы устанавливаем биоднозначное соответствие между элементами Ея и Е!. Каждому элементу 7., соответствует один определенный элемент из 7я, и наоборот. В силу того, что коэффициенты 182 169 вгнкции множвств и интвгвлл лввзга ъл Фурье конечной линейной комбинзции функций у с»у» (Р) равны »-! соответствующей линейной комбинации коэффициентов Фурье слагземых функций у» (Р), мы можем утверждать, что у к а з а нное в ы ш е биоднозначное соответствие дистрибутивно, т. е.
если элементам у»(Р) (А=!, 2, ..., л!) из Е! соответствуют элементы х!»! из 1„то элементу г г»г» (Р) соответствует элемент »-! ,г с»х'»!. В силу обобщенного уравнения ззмкнутости (99) скзляр»-! ные произведения соответствующих элементов в Е, н 1, при указанном соответствии одинаковы.
Нормы элементов, в силу уравнения замкнутости (98), также одинаковы. Пространства Ея и Уя являются различными осуществлениями одного и того же абстрактного пространства. В дальнейшем мы изучим свойства этого абстрактного пространства и операторы в нем, описывая это пространство при помощи некоторой системы аксиом. Отметим еще понятие сходимости в себе в пространстве Ем Мы говорим, что последовательность элементов х'л! сходится в себе в 1м если для любого заданного положительного а существует такое Лг, что )х!"! — х!"'!~ - а при т и и) !ч'.
Принимая во внимание указанное выше соответствие между Е! и Е, и теоремы 7 и 8 из 156), мы можем утверждать, что для того, чтобы последовательность хнм имела предел в Ум необходимо и достаточно, чтобы она сходилась в себе. Предел может быть только один. Рассмотрим множество К элементов 1м имеющих лишь конечное число координат, отличных от нуля, причем все эти координаты суть рациональные комплексные числа, т.
е. числа вида а + И, где а и !! — рациональные вещественные числа. Принимая во внимание счетгюсть множества рациональных чисел, видим, что у п ом я пут о е множество элементов К есть счетное множество. Покажем, что оно плотно в 1я. Пусть х(хн х„х», ...)— некоторый элемент из 1, и з (сн ся.
.. сл, О, О...) — элемент из указанного выше множества К. Мы имеем ),'х — г(»= ~~! !х» — с»!'+ ~ 1х»!Я. (110) »-! » л+! Пусть а — заданное положительное число. В силу скодииости ряда, состав.ченного из !х»,', мы ко кем фиксировать такое значение п=л,, что У !х»!'( — »я. » л»+! 183 линяллы в Ся 60] В конечной сумме ( хь — сь', ь=! мы можем выбрать рзциональные числа с„нзстолько близкими к х, чтобы эта сумма была также ( — а .
При этом будем иметь, в силу ! (1!0), ',(х — «~я~аз, т. е. ),х — «!,'(а. Этим и доказано, что упомянутое выше счетное множество К элементов из 1, плотно в Таким образом, пространство гя сепарабельно. Элементы этого пространства е,(1, О, О, ...); е,(0, 1, О, О,...); еа(0, О, 1, О,...); ... образуют замкнутую ортогональную и нормированную сисгему. !!У вЂ” тГ= ] (у(Р) — ~(Р)]Я О(бй)-' (1 ! 1) причем для определенности рассматриваешься, как и выше, двумерный случай. Мы имеем у(Р)=у~(Р) — г' (Р), где / "(Р) и ! (Р) — положительная и отрицательная части У(Р). Можно счигать, юо эти функции, принадлежащие Ея и тем самым суммируемые на р, принимают лишь конечные значения и являются предельными функциями возрастающей последовательности кусочно-постоянных функций гя„(Р) и 60.
Линеалы в Т.я. Мы введем теперь некоторые новые понятия, связзнные с йм Определение. Множество У элелгентов Ея (функций из Ея называется лпнеалом прп соблюдении следующего условия: если к(Р) и ф(Р) Е У, то со(Р) прп любом выборе вещественного числа с и о(Р)+ф(Р) также принадлежат У. Из этого определения непосредственно следуе~, что если У~(Р) Е У (и=1, 2, ..., т), то и с,~,(Р)+с~~,(Р)+ ... + + с У„(Р) Е У при любом выборе чисел сю Отметим некоторые примеры линеалов. Пусть М вЂ” множество ограниченных нз р-функций, т. е.
таких функций, что для любой у(Р) Е М существует такое число ЫР что ! У(Р) ~~с(т на Р. Множес~во М вЂ” линеал в л.я. Назовем функцию у(Р) непрерывной на л<ножестве Р, при соблюдении следующего условия: если точки Р и Р„(п= 1, 2, ...) принадлежат Р и Р, — Р, то у(Р„) — У(Р) ]1У; 157]. Множество функций из ~ч, непрерывных на 5, есть, очевидно, также линеал.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
