1610915356-5872c4d4ad41802c73f2f3fcece03aba (824746), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Далее имеют место указанные выше свойства 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 и 1О, а при составлении линейной комбинации функцийУь(Р) можем применять комплексные пос~оянные коэффициенты е». Остановимся лишь на доказательстве свойства 3: ~ У0((В) ~ ~ ~ ].У]0((В) (55) ФУнкции Ун 7", и Р'У,'+У, 'сУммиРУемы, а потомУ дЛЯ этих тРех функций суммы агп, аь1Я1, аь1а1, соответствующие нх последовательности При этом мы считзем а<' д.
Кроме того, принимзют следующее соглашение: И ь ]б4 162 вю)кции множеств и интвгглл лгщюь подразделений Лебега, стремятся к интегралам от этих функций. Если мы возьмем последовательность подразделений д„= 3'„'3'„»3'„»1 то сУммы вь„длЯ фУнкций 7), 7» и )Гг",'+Д и подавно бУдУт стРемиться к соответствующим интегралам. Если д„есть подразделение $ на части 5» и Р» — какие-либо точки из 5», то мы имеем )») )») )») ! 1) [~)(Р)ю)+!7;(Р~»"))]0®»м)) ((~~) )~)(Р)»))+!у»(Р»м) (0(5»'), и в пределе получается (55). 54. Предельный переход под знаком интеграла.
Мы докажем некоторые теореиы, кзсающиеся предельного переходз под знзком интегрзла для суимируемых функций. Теорема 1. Если 7"„(Р) — последова)пельность функций, суммируемых на множестве 5 конечной меры, приче„и длн всех этих функций имеет место оценка [У„(Р) ! Р (Р), (56) где Р(Р) суммируема на $, и 1'„(Р) — »у'(Р) почти везде на 5, то 7"(Р) суммируема на 5, и !!щ ~~„(Р) 0(с(5)= ~~(Р)0(ь(5).
$ з (57) Из условий теоремы следует, что предельная функция почги везде на $ удовлетворяет нерзвенству [У(Р) [ Р (Р). (56,) Переходя к эквивалентной функции, можеи считать, что это неравенство выполнено везде на 5. В силу свойства 10 из [52], ~„(Р) и 7" (Р) суммируемы на 5 и потому почти везде на 5 имеют конечные значения. Рассмотрим интеграл от разности 7(Р) — 7"„(Р) и применим к нему свойство 10 из [51]: ! ~ []'(Р) — 7'„(Р)] 0(йй) ~[( ~ ]ДР) — ~„(Р)[0 (йф). (58) 0 ®„) -ь 0 и [)'(Р) — ~„(Р)] ( а, если Р р 5 — $т (59) Кроме того, в любой точке Р из 5 имеем [7(Р) — ~„(Р)[ [7(Р)]+[У'„(Р)[(2Р(Р), (60) Пусть а — заданное положительное число, и 5„— те множества, принадлежащие 5, о которых говорилось в теореме 6 из [44].
Мы имеем, в силу этой теоремы, 54] пегдгльный пвезход под знаком интгггьль 163 Интеграл, стоящий в правой час~и (58), разобьем на два: Отсюда, в силу (59) и (60), следует ]7 (Р) — г"„(Р) ] 0 (йф) ( 2 ~ Р (Р) 0 (с(5) + а 0 Я вЂ” со), или тем более: ~ ]7(Р) — 7"„(Р)]0 (сф) (2 ] Е(Р)0(сф)+ьО($). (61) Из 0(5„)-ь.0 и абсолютной непрерывности интеграла от Г(Р) следует, что существует такое 7ч', что ~ Е(Р)О(с(Р)(а при п)М, н, в силу (61), ~] (Р) г (Р)]0(с(9)~]2+0(5)]ь при л)гч. Сравнивая с (58), получаем ! ~ ~(Р) 0 (йй) — ~ У„(Р) О (йф) ! ( ] 2 + О (ф)] а, откуда, в силу произвольности а, и следует (57). Как и при доказательстве свойства 15 из [49], достаточно предположить, что неравенство (56) удовлетворяется лишь почти везде на 5.
3 а меча ни е. Нетрудно видеть, что при доказательстве теоремы мы использовали лишь сходнмость у'„(Р)-ьг"(Р) по мере, и тем самым при формулировке теоремы сходимость г"„(Р) -ьДР) почти везде можно заменить сходимостью по мере. Теорема 2. Если Гь (Р) — неубывающан последовательность функций, суммпруемых на множестве 5 конечной меры, то у предельной функции У(Р) интеграл ло ф равен конечной величине или (+со) и имеет место формула (57).
Суммируемые функции 7„(Р) почти везде на ф конечны, и неубывающая последовательность уь(Р) в каждой точке имеет предел, который может равняться и (.]-со). Рассмотрим неубываюшую последо- [54 164 Функции множасгз и пигггглл лявггл вательносчь неотрицзтельных функций 7"„(Р) — у, (Р). Мы имеем, очевидно, О «7.„(Р) — У, (Р) ~У(Р) — Л (Р) Если неотрицательная функция т (Р) — ~,(Р) суммируема по о, то и у(Р) суммируема.
Разность 7(Р) — у](Р) может играть роль функции Г(Р) теоремы 1 и, применяя эту теорему получим ] [У.(Р) — /(Р)10((й)= ] [У(Р) — Л(Р)10((В). $ Ф Лобавляя к обеим частям интеграл от ~,(Р), получаем (57). Положим теперь, что интеграл от 7"(Р) — У,(Р) равен (+со). При этом [поскольку у,(Р) суммируема] интеграл от 7(Р) также равен (+со). Отметим далее, что если некоторая последовательность и„(Р) почти везде стремится к р (Р), го для любого Лг: [м„(Р)]н-ь [ у (Р)]м почти везде.
Чтобы доказать это, достаточно отметить, что если в некоторой точке р„ (Р) †« ~а (Р), то в этой точке [ р„ (Р)]м -«. [и (Р)];ч. В этом легко убедиться, разбирая отдельно случаи и (Р) ( М и м(Р)) Лг. Таким образом, неубывающая последовательность неотрицательных функций [7"„(Р) — ~,(Р)]ч почти везде стремится к [7"(Р) — У,(Р)]м. Предельная функция ограничена и тем более суммируема. В силу доказанного выше !!ш ~ [Ул(Р) — ЯР)]н0(г(В)= ~ [У(Р) — 7;(Р)]м0(НВ). (62) Пусть К вЂ” любое заданное положительное число. Ввиду того, что интеграл от [г'(Р) — ~, (Р)] равен (+ со), можно фиксировать такое М, чтобы интеграл, стоящий в правой части (62), был больше К.
Такии образом, имеем, в силу (62), для всех достаточно больших л: ~ [7". (Р) — Л(Р)Ь0(Ф)) К, и тем более [У. (Р) — Л (Р)]0 (а'В)) К Ввиду произвольности К, отсюда следует, что и [[тлиаив~ — ] лачина~]=ч- т. е. 1!ш ] У'„(Р) 0 ф5) = + со, а» со 64! пгвдальныи паевход под знлкос! Интвгеялл 165 (63) сходится, то почти везде на $ сходи!пел ряд У пь(Р), ь=! и п,(Р)-ь 0 почти везде на ф. Рассмотрии неубывающую последовательность неотрицательных и суимируемых на р функций (64) и 7"„(Р) = Ь ссь (Р), ь=! и применим к этой последовательности доказанную выше теорему. В силу сходимости ряда (63), интегралы от 7"„(Р) при беспредельном возрастании п имеют конечный предел. Следовательно, предельная функция, в данном случае выражаемая рядом (64) СО гг(Р) = 1 ь (Р) ь=! суммируемз по ф, з потому почти везде на й имеет конечные знзчения, т.
е. ряд (64) действительно сходится почти везде на й. Но члены сходящегося ряда стремятся к нулю при удалении от начала, т. е. ссь(Р) -ь О почти везде на Р„ и теорема полностью доказана. Теорема 4. Если 7"„(Р) еслсь последовательность неотрсщательных и су.я.япруемых на 5 функций, стремящаяся почти везде на ф к предельной функции 7" (Р), п пнтегральс от 7„(Р) прп любом и не превышаю!а некоторого числа А, т. е.
~ с"„(Р)о(сФ) (А, и формула (57) доказана и в тои случае, когда интеграл от г"(Р) равен (+ со). 3 а и е ч а н и е. Аналогичная теорема справедлива и для убывающей последовательности суммируеиых функции. Только предельная функция может иметь интеграл, равный ( — со), а не (+со). Если 7"„(Р) — убывающая последовательность, то, полагая сь„= — /'„получаем возрагхающую последовательность, и знак минус выносится за знак интеграла. Выясним одно важное для дальнейшего следствие из доказанной теоремы. Теорелса 3. Если функции пь(Р) (и = 1, 2, 3, ...) неотрацательны и суммпруемы на 5, п ряд с неотрицательными членамсс [66 166 ФУНКЦИИ МНОЖЕСТВ И ИНТЕГРАЛ ЛЕВЕГА то у(Р) суммпруема на 5, и имеет место неравенство У(Р) О(дф) =А.
(65) Мы имеем неравенство (66) [Ян О (с(6) «= 1"„0 (д6) ( А н, в силу свойства 15 из [49[, причем роль Е играет число ог, можеи написать Лш ~ [У„1н О (йй) = ~У[А О Ы6) Переходя в неравенстве (66) к пределу при п -Р оо, получим ~ [Янй(66)(А, е откуда следует, что ((Р) суммируема, а при 1тг-Р со получаем (66). 66. Класс ьч. Мы рассмотрим в настоящем параграфе некоторый класс измеримых функций. Этот класс играет большую роль в приложениях построенной теории к различным вопросам математики и математической физики. Определение.
Вещественная функция г"(Р), лзмериман на измеримом множестве 6 конечной меры, называется функцией с суммируемым квадратом на $, если ее квадрат )"'(Р) суммируем на $, т. е. если Уч (Р) 0 (д5) (+ со . Класс функций с суммируемым квадратом на $ обозначим символом Ло. Лля случая интеграла Лебега, т. е. для того случая, когда 0(Ь) есть плошадь промежутка Ь, пользуются символом Ет. В дальнейшем для простоты письма будем вместо Ео писать просто Л,.
Но надо помнить, что все сказанное дальше будет справедливо и при любом выборе 0 (а). Локажем ряд свойств класса У и Теорема 1. Если У(Р) и й(Р)Е т'.ч, то у(Р) и произведение )(Р) 6(Р) суммируемо на 5. Утверждения теоремы непосредственно вытекают из неравенств класс 7., 167 55[ теоремы 1 и свойства 1 из [52[. Теорема 3. Если 7" и еЕ ум то имеет место неравенство (Буняковского — Шварца): ~ ~.РК0 О75) ~ ~ ~У'Я0 Фй) ~ К'0(Ф) (67) Доказательство точно такое же, что и для интеграла Римана. Повторим его.
Заметим прежде всего, чго если в квадратном трех- члене аи'+ 2Ьп+ с коэффициенты вещественны н а) О, то из тождества аи" -ч - 2Ьи -[ — с = — [(ад + Ь)Я+ (ас — Ь')) 1 а непосредственно следует, что если указанный трехчлен при всех вещественных значениях и имеет неотрицательные значения, то Ь' ( ас. Мы считаем, что функции г" и е не эквивалентны нулю, ибо в противном случае неравенство (67) тривиально, ибо его левая часть при этом равна нулю. Напишем очевидную формулу ~ (ггг+е)" 0Щ)=и' ~ 7Я0(г($)+ 2и ~ ф0фф)+ ~ еэ0(г($), $ В где и — некоторый параметр.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
