1610915356-5872c4d4ad41802c73f2f3fcece03aba (824746), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Отсюда следует, что сушествует такая подпоследовательность $„А, что 0(ф„а))Ы, где б— положительное число. Имеем втнкции множеств и интягглл лвввгл Для функции у(Р) имеем представление в виде разности двух неотрицзтельных функций: 1(Р)=Г (Р) — Г(Р) Определение. Функция У(Р) называется суммируемой на $, если у+(Р) и у (Р) суммируемы на 5. При этом величина интеграла от функции у'(Р) определяется формулой У(Р) 0 (ай) = ~ г"ь(Р) 0 (ь(ф) — ~ у (Р)0(ь(ф). (47) 5 5 Отметим, что если только одна нз функций у~(Р) или ) (Р) суммируема, то последняя формула дает для интеграла от Г (Р) определенное, но бесконечное значение. Например, если 7"'(Р) суммируема, а У (Р) нет, то интеграл от г"(Р) равен ( — со).
Теорема. Для того чтобы у(Р) была суммируема на ф, необходимо и достаточно, чтобы неотрицательная функция (У(Р) ) была суммируема на $. Если у(Р) суммируема, то суммируемы у'(Р) и у (Р), а следовательно, суммируема и их сумма ) У(Р)) = У~(Р) +7" (Р). Наоборот, если суммируема сумма 7'ь(Р)+у (Р), то, в силу свойства 9 нз [51], суммируемо каждое слагаемое, а потому и функция 7(Р) также суммируема.
Отметим, что и для ограниченной функции мы можем произвести разбиение на положительную и отрицательную части и для интегралз будет также иметь место формула (47). В дальнейшем термином „суммируемая функция" мы будем часто пользоваться и для ограниченной измеримой функции. Перейдем теперь к указанию основных свойств интеграла от суммируемой функции любого знака. Эти свойства вытекают почти непосредственно из аналогичных свойств интеграла от неотрицательных функций 7" (Р) и У (Р). 1.
Если Уь(Р) (я =1, 2, ..., р) — су и миру емые функции, то и их линейная комбинация с постоянными козффи циентами есть суммируемая функция, и имеет м е с т о ф о р м у л а (13). Суммируемость линейной комбинации непосредственно следует из неравенстна ~ сьуь (Р) ( ~~~~~ /сь Йуь(Р) 1 доказанной выше теоремы и свойства 1 из [61). Для доказательства формулы (13) рассмотрим отдельно случай умножения функции на постоянную и случай сложения двух функций. Пусть )(Р) суммируема и с — постоянная. Надо доказать формулу су(Р) 0 (аб) = с ~ 7'(Р) 0 (ь(В). 52) 157 Фгнкции лювого знака )(ля определенности будем считать с отрицательной.
При этом мы ииеем (су)" = — с7' и (сг") = — су г. Определение (47) дает нам ~ с/0(г(5) = — с ! 7' О(аф)+ с ~ г~0(г(5)=с ~70(г(ф)„ и в г, и формула доказана. Положим теперь, что У, (Р) и Д, (Р) — сум. мируемые функции. Е!ам надо доказать формулу [ ц гл)ОФВ) [г Йна)-ь) лй~щ. н8) а а Рззложим фУнкции ~о У, и У=~, +7", на положительнУю и отРицательную части Ь=6 — 1~ ' Л=Л вЂ” Уа; 1=à — У . Мы имеем ь'+1г +1 =ур+Б+у". Все написанные функции неотрицательны и суммируемы. Применяя свойство 1 из [51), получим [ л а ФВ1,- ~ л а Фв) -г ~ г- а на> = -) лана)-г) лана), [у'аква, откуда ~У" 0(Ф) — ~У ОФВ)= = [ па на~ — [ г; а нв> -ь ) г~ а на) — [ у; а на>, что и доказывает формулу (48).
2. Если ~,(Р) и уа(Р) сум миру емы на В и У,(Р))уя(Р), то имеет место формула (15). По свойству 1, неотрицательная функция ~,(Р) — уа(Р) суммируема и интеграл от нее (он неотрицателен) равен разности интегралов от У,(Р) и Га(Р), что и приводит к (15). 3. Если у(Р) суммируема, то имеет место формулаа (16). Неравенство (16) равносильно следующему очевидному неравенству: 158 152 ФЗ нинин множяств и ннтягглл ляписам 4. Если у(Р) с ум ми р уем а на 5, то она с ум ми ру ем а и на любой измеримой части ф' множества Е. 5.
Если у(Р) сумм ируема на ф, и множество $ разбито на конечное или счетное число измеримых множеств фы то имеет место формула (20). Последние два свойства следуют из того, что эти свойства имею~ место для ~'(Р) и у (Р). 6. Если ф разбито на конечное или счетное число измеримых множеств $ы функция )(Р) сумм ируема нз каждом $я и ряд У ~~У(Р)!а(бЕ) (49) сходится, то у(Р) сумм иру ем а на 5 и имеет место формула (20). Неотрицательная функция (У(Р)( суммируема на всех $д, и из сходимости ряда (49) следует, в силу свойства 4 из 151), что 1у(Р)! суммируема на Е, а следовательно, и у(Р) суммируема на $.
После этого формула (20) следует из предыдущего свойства. Отметим, что сходимости ряда (43) недостаточно для утверждения о суммируемости у(Р). 7. Если у(Р) суммируема на Е, то прн любом заданном а)0 существует такое п)0, что ~ у(Р) 0(п$) ~ --я ~ ~ ~(Р) 0 (г(5) ( ( ~ Р (Р) 6 (тф), (50) при ес:.В и О(а)=т,. Это свойство непосредственно следует из того, что оно имеет место для у"(Р) и у' (Р). Таким образом, мы доказали полную аддитивность и абсолютную непрерывность для интеграла от любой суммируемой функции.
8. Если $ есть множество меры нуль, то интеграл от любой функции у(Р) по ф равен нулю. 9. Интегрзлы эквивзлентных нз $ функций равны. Оба свойства приводятся к аналогичным свойствам для у+(Р) и у (Р), при этом надо отметить, что если две функции эквивалентны, то их положительные и отрицательные части также эквивалентны. 10.
Если у(Р) измерима на Е, Г(Р) — измерима, неотрица тель на и сумм ируема на В и ) У(Р) ((Г(Р), то у(Р) суммируема, и имеет место формула 159 521 вгнкции лювого знака В силу свойства 9 из [51) можно утверждать, что [г"(Р)[ суммируема, а, следовательно, и г'(Р) суммируема. Неравенство (50) непосредственно вытекает из свойства 3 и свойства 9 из [51[. Из доказанного непосредственно следует, что п р о и з в е д е н и е с у ммируемой функции на ограниченную измеримую функцию есть также суммируемая функция. Отметим еще два свойства интеграла, которые нам понадобятся в дальнейшем.
11. Если г(Р) с ум ми руема на конечном промежутке Ь„, и интеграл от нее по любому промежутку Ь, принадлежащему Ьм равен нулю, то у(Р) эквивалентна нулю на Ь„. Доказываем от обратного. Если У(Р) не эквивалентна нулю, то существует такое положительное число а, что одно из множеств Ь„[у(Р)~а) или Ь,[г'(Р)» — а] имеет меру больше нуля. Пусть это будет первое множество, и обозначим его через 5. Мы имеем г (Р) 6 (Ый) ) а 0 (В) ) О. Но существуют такие множества е, и е, со сколь угодно малой мерой, что 5 -[- е, = (т + ем где Й вЂ” элементарная фигура, т. е.
конечная сумма промежутков попарно без общих точек. По условию интеграл от У(Р) по гс' должен равняться нулю, и можем написать ~ У(Р) ~ (Ф) = ~ У(Р) П (г(В) — ~ У(Р) О (г(й) гв В силу абсолютной непрерывности интеграла, правая часть может быть сделана сколь угодно малой по абсолютной величине, а слева сгоит определенное положительное число. Мы пришли к нелепости, и высказзнное выше утверждение доказзно. 12.
Если у(Р) сумм ируема на $ и удовлетворяет условию ~ са(Р)г (Р) 0 Щ) =О (51) (52) го у(Р) эквивалентна постоянной, при любом выборе в(Р), измеримой и ограниченной на ф, то у(Р) эквивалентна нулю. Если условие (51) выполняется при любом выборе э(Р), измеримой и ограниченной на 5 и такой, что 160 [62 Функции множвстз и ннтвгвлл лзввгл Пусть 6' — та часть 6, где г"(Р))0. Выбираем за у(Р) функцию, равную единице на 6' и нулю на $ — 6'. Условие (51) покажет нам, что интеграл от у'(Р) по $ равен нулю, и отсюда, в силу свойства 8 из [62], следует, что у~(Р) эквивалентна нулю.
Аналогично доказывается, что у (Р) эквивалентна нулю, а потому и у(Р) эквивалентна нулю. Перейдем к доказательству второй части утверждения. Обозначим через 10 (6) величину интеграла от у (Р) по 6. В силу (52) функция у(Р) — л также удовлетворяет условию (51), т. е. ~ р(Р) [Г(Р) — ~] а0®=0. в Кроме того, в силу определения Гь, при любом выборе постоянной с имеем ~ г[Ц(Р) — 6] 6 (66) = О. з Пусть ф(Р) — любая измеримая ограниченная на 6 функция, и сО (6) — величина интеграла от нее. Функция яь (Р) = ф (Р) — с удовлетворяет условию (52), и мы имеем ~ [ф(Р) — с][У(Р) — Гь] 0(Ы6)=0 в или, в силу (53): ~ Ф(Р) [У(Р) — 1] а(66) =0. з откуда следует, в силу доказанного выше, что У(Р) — Гг эквивалентна нулю, т.
е. У(Р) эквивалентна А. В заключение настоящего параграфа рассмотрим интегралы Лебега — Стилтьеса от одного переменного. Пусть л(х) — неубывающая функция, которая лежит в основе измерения, и у(х) измерима относительно ь (х) и суммируема на измеримом множестве 6 оси Х или на промежутке [а, Ь], или на промежутке (а, Ь] и т. д. Соответствуюгцие интегралы пишут в виде ~ г" (х) Ы8 (х) или ] у(х) 68 (х), или ] У(х) ь(6(х) и т. д. В 1а, ь1 (а, Ы Если а.(х) = х, то получаем интеграл Лебега. В этом случае мера любой точки равна нулю, и неважно, причисляются илв нет к промежутку его концы, и интеграл по промежутку обычно обозначается а зиле ь ~ 1(х) Ых. 161 53] хомплвксныз схмминтзмыа чхнкции ~ у(х) г!х = — '] у(х) Ых.
Ь а 53. Комплексные суммируемые функции. Нетрудно ввести понятие суммируеиых функций н определить интегрзл и для функции 7'(Р), принимающей комплексные значения. Разделим у такой функции вещественную и мнимую части у (Р) = У, (Р) + (уя (Р). Функция у(Р) называется сумм ируемой, если сумм и р у е м ы гг (Р) и У, (Р), и и н т е г р а л от У(Р) о п р е д е л я е т с я в этом случае формулой ~ у(Р) 0Щ)= ~ у1(Р) 0(г(В)+! ~ уя(Р)0(ИВ) (54) В данном случае имеет место доказанная выше теорема: д л я т о г о чтобы У(Р) была суммируемой, необходимо и достаточно, чтобы модуль ]У(Р)! был суммируе мой функц и е й. Заметим прежде всего, что в силу измеримости г1 (Р) и уя (Р) буде~ измеримой и сумма квадратов этих функций, а потому и арифметическое значение квадратного корня из этой суммы, т.
е. У~ =)/У,' +7,', что непосредственно следует из формулы В[] У;+уь') а]=В]г,'+ 7„') а']. ,Далее из неравенств ]Л ~-1'У;+У'.; ~А',-УУ-', +У,'; )'У;+У.'- ~Л]+ ~Л] и свойств 9 и 1 из ]5!] непосредственно следует, что сумчируемость ] у,] и ]уя] равносильна суммируемости ] у~, откуда и следует непосредственно приведенное выше утверждение.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
