1610915356-5872c4d4ad41802c73f2f3fcece03aba (824746), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Обозначим через в„точную нижнюю границу множества чисел [а„, а„м,...] и через („ точную верхнюю границу упомянутого множества, т. е. в„= !п! [а„, а„ы, ...]; 1„= зпр [а„, а„„, ...]. (3) При возрастании и упомянутое множество чисел становится беднее, и, следовательно, э, не убывает и 1„ не возрастает. Таким образом, при беспредельном возрастании и монотонные последователыюсти з„ и 1„ имеют конечные или бесконечные пределы: 1!ш з„=8; !!ш 1„= Т, (4) причем, в силу монотонности, имеем Я=апре„; Т=!п! 1„, и, кроме того, из в„(1„следует Я( Т.
Отметим при этом, что у последовательности (+ со), (+ сю), ... мы считаем предел рапным (+ сс) и аналогично для ( — сю). Число Я называется обычно нижним пределом последовательности (2), а число Т вЂ” верхним пределом этой последовательности. Пользуются часто следующей записью: Я=!!ша„или 8=1!ш !п!а„; ь сю Т=1нпа„или Т 1нп ° анраьг Докажем следующую лемму. Лемлга.
Для существования предела (конечного илп бесконечного) у последовательности (2) необходима и достаточно, чтобы Я= Т, и если это условие выполнено, то упомянутый предел равен 8. Докажем сначала достаточность. Мы имеем в„( аь ( 1„при к ~ и, и если пределы з„и 1„совпадают, т. е. Я= Т, то очевидно а„— ьЯ. Докзжем теперь необходимость. Пусть последовзтельность (2) имеет конечный предел о. При этом все числа а„ззключаются в промежутке (а — а, о+а) при достаточно больших значениях и, причем а — произвольно заданное малое положительное число.
Поэтому в указанном же промежутке заключаются и все з„и 1„при достаточно больших значениях и. Отсюда, ввиду произвольности г, следует, что з„ -ь о и 1, -ь о, т. е. Я= Т= е. Совершенно аналогично рассматривается случай бесконечного предела у последовательности (2). Докажем теперь некоторые свойства последовательности измеримых функпии. Теорема 1. Если Т„(Р) — последовательность измеримых функций, то точная нижняя и точная верхняя границы значений 1„(Р) 44] пгвдвл измвеимых ьэнкций в любой точке Р лсножества 5 суть также измеримые функции, т.
е. фунгсцин чь(Р) = щтУ„(Р) ф (Р) = виру„(Р) ч ь (б) $[ср(Р)(а] = ~ В[г"„(Р)(а], л=1 откудз, в силу измернмости функций У„(Р), и следует измеримость ~ (Р). Теорема 2. Если ильеется последовательность измеримых функций Г' (Р), монотонно возрастающая (гглп монотонно убывающая) в каждой точке Р множества 9, то предельная функция У(Р) также измерилса. Теорема непосредственно следует из предыдущей, так как для монотонно возрастающей последовательности функций предельная функция совпадает с точной верхней границей ф(Р), а для монотонно убывающей последовательности — с точной нижней границей гь(Р).
Теорема 3. Если У'„(Р) — последовательность измеримых функций, то нижний предел Б(Р) и верхний предел Т(Р) этой последовательности суть также излгеримые функции. Введем функции „(Р)= ! ([У„(Р), У„~(Р), ]; („(Р) = р У„(Р), 1„, (Р),...]. Они измеримы при любом п в силу теоремы 1. Функции Я(Р) и Т(Р) суть пределы монотонных последовательностей в„(Р) и 1„(Р), з потому, в силу теоремы 2, они также суть измеримые функции. Теорема 4. Если ~„(Р) — последовательность излгеримых функций, сходящаяся в каждой точке Р множества 5, то и предельная функция у(Р) измерима.
Измеримость у(Р) непосредственно следует из теоремы 3, поскольку при наличии в каждой точке предела у(Р) он совпадает с $(Р) и Т(Р). Последняя теорема является основной для дальнейшего, и мы ее сейчас несколько обобщим. Говорят, что некоторое свойство имеет место почти везде на 5, если оно имеет место во всех точках ф, кроме множества точек, имеющих меру нуль. Теорема й.
Если У'„(Р) — последовательность излгеримых на й функций, сходящихся почти везде на 5, то и предельная функция )'(Р) измерима. Отметим, что предельная функция у(Р) может быть не определена на некоторой части А множества йь причем А имеет меру нуль. измеримы. Докажем, например, измернмосгь функции о(Р). Если в точке Р мы имеем чь(Р) ( а, то по крайней мере одно из значений у„(Р) также (а, и наоборот, если по крайней мере одно из значений л (Р)(а, то ~(Р)(а. Таким образом, имеем 134 [44 ьгнкции множаств и интвгалл лвавгь Мы определим )(Р) на А любым образом. Последовательность 7"„(Р) схолится во всех точках измеримого множества ф'=$ — А, и, по теореме 4, 7(Р) измерима на Р,'. Кроме того, она измерима и на А в силу теоремы 3 из [42].
Следовательно, 7"(Р) измерима на множестве $ =5' + А, и теорема доказана. Введем новое понятие сходимости последовательности функции. Определение. Пусть 7'„(Р) и 7"(Р) — измеримые на Р функции, принимающие конечные значения, Говорят, что последовательность У„(Р) сходится по мере к 7'(Р) на Р, если прп любом заданном положительном в мера 0(Р„) лгножества 5ч точек, в которых выполняется неравенство ') (Р) — ~„(Р) , ') ь, стремится к нулю прп беспредельном возрастании и.
В следующих двух теоремах будет установлена связь между сходимостью почти везде и сходимостью но мере. Теорема 6. Пусть Рэ — излсерпмое множество конечной меры п 7"„(Р) — последовательность измеримых на гв функций, которые принимают почти везде на $ конечные значения и сходятся почти везде на 5 к функции 7'(Р), также принимающей почти везде на Р, конечные значения. При этом 7'„(Р) сходится по мере к Г(Р) на Рэ. Пусть в — заданное положительное число. Введем множество точек р„: 6.=6[У(Р) — У.(Р) ~~ ] Нам надо доказать, что 0 (Р„) — О.
Введем множество ~очек, в которых У(Р) и Р„(Р) принимают бесконечное значение, и множество, в котором )„(Р) не стремится к 7"(Р): А =Р [(У'(Р)~ = + со]; А„ = 9 [( Г„(Р)( = + со]; В=В[Ув(Р) не 7'(Р)]. По условию теоремы, все эти множества имеют меру нуль. То же можно утверждать и об их сумме [36]: С=А+ ~ А„+В, «=! т. е. 0(С)=О. Если Р, не принадлежит С, тор„(Рь) и 7" (Рь) имеют конечные значения, и Г„(Рь) — 7(Рь). Введем множества (7) Последовательность В„(п = 1, 2, ...) есть невозрастающая последовательность множеств конечной меры, поскольку (, имеет конечную меру, и  — предельное множество для Я„, тзк что 0 (й„) — 0 Ф).
(8) 441 ПРедвл измаянных Функций Покажем, что Яс С, т. е. покажем, что если Р, не принздлежит С, то Р, не приналлежиг Я. действительно, если Р, не принадлежит С, то Г„(Р») и 7" (Рь) конечны и 7„(Р») — ) (Рь), т. е. существует такое Дг, что [((Рь) — )„(Рь) ((а при п)дг. Отсюда следует, что Р, не принадлежит 5„при п)Лг, т. е. Р, не принадлежит ьс„при п)д7, а поэтому Р, не принадлежит Я. Итак, Я ~ С. Но 0(С) = О, а поэтому 0(8)=0, и, в силу (8), 0()д„) — О. Но, в силу первой из формул (7), Р„ с: К„, а потому и подавно 0 (9„) — О, гго и требовалось доказать.
3 а м е ч а н не. Отме~им, что множество С мы можем присоединить ко всем Р„. В силу 0 (С) = 0 и после такого присоединения будем иметь 0 (ф„) — О, а во всех ~очках множества (5 — 5„) будет выполнено неравенство [7"(Р) — 7"„(Р)[ ( ь. Из сходимости по мере не вытекает сходимость почти везде, но имеет место следующая: Теорема 7. Пусть 5 — измеримое множество конечной лгеры, Гь(Р) и ) (Р) — измеримьсе на 5 функции, причем 7'„(Р) по лсере стремится к 7(Р) на 5. При зто.н существует такая подпоследовательность Уь» (Р), ьсоторая стре яптся почти везде к [(Р) на 5. Выберем последовательность положительных чисел д» (7ь = 1, 2,,) такую, что д» вЂ” 0 при д — оо, и последовательность таких положительных чисел ьь, что рял ь,-1-»,+...
сходится. В силу схолимости по мере, существует ~акая беспредельно возрастающая последовательность значков п», что для мнг(жеста В»=В[)у(Р) — 7 (Р)[,)д») выполнено неРавенство 0 (Р») ( ьь. Введем множества Нетрудно показать, что 0(Я)=0. Лействительно, 0Я„) ~ 0(В»)~ и последняя сумма 0 при и — сю, в силу сходимости ряда ь, + + ьь + ... Покажем теперь, что У„~(Р) — 7(Р) на множестве $ — Я. Поскольку 0 (8)= О, то этим и будет доказана теорема. Пусть т чка Р, Е 5 — Я и тем самым Р, Г Я. Отсюда следует, что Р, не принадлежит )с» при всех досгаточно больших 7ь, а следовательно, Р, не принадлежит $» при всех достаточно больших д, т. е. существует такое М, что Р,»- 5» при 7ь ~ Лг.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
