1610915356-5872c4d4ad41802c73f2f3fcece03aba (824746), страница 26
Текст из файла (страница 26)
~а = ~ ) В)») о. »=! (41) Сумму В множеств В„можем предстзвить в виде лвойиой суммы ограниченных множеств В)»), не имеющих попарно общих точек, прил ' чем некоторые из множеств В)») могут быть и пустыми: л В '1~~ ~~~~~ В)») л-)»-) В силу доказзнного выше имАм ~В)'а=,()),), ))В)»)!а л=)»=) Порядок суммирования ввиду неотрицательности слагаемых несущественен [1; 134). Будем суммировать сначала по л, а потом по л. Принимая во внимание (41), придем таким образом опять к формуле (39), и теорема доказана полностью. 3 а м е ч а н и е. Если мы откинем предположение о том, что измеримые множества Вл — попарно без общих точек, то для их суммы, которая измерима в силу теоремы 8, будем иметь вместо (40) нера- венство 0 (В) ( У 0 (Вл).
(40,) л=! Оно непосредственно следует из теоремы 3 и того, что для измеримых множеств внешняя мера совпадает просто с мерой. Если для всех множеств Вл мера равна нулю, то (40) дает 0 (В) ( О. Но мера ие может быть отрицательной, и потому 0®)=0, т. е. сумма конечного и счетного числа множеств меры нуль есть множество меры нуль.
Каждое из них огрзничено, и все оии измеримы, поскольку замкнутое множество П и разность замкнутых множеств )» — у» ) суть измеримые множества, а произведение измеримых множеств тоже измеримо. Мы можем представить каждое из множеств В„ в зиле суммы ограниченных измеримых множеств, не имеющих попарно общих точек: 116 [35 Функции мнОжестВ и интегвал лееегл Все доказзнные выше теоремы были справедливы и для измеримых множес~в бесконечной меры. В последних теоремах нам придется делагь оговорку по этому поводу.
Теорема 14. Если А и В измеримы, Вс: А, и В конечной меры, то 0 (А — В) = 0 (А) — 0 (В). (42) 0(В) = 11ш 0(ВИ). л са (43) Измернмость В непосредственно следует из формулы В=1!шВ„=В,+(В, — В,)+(В,— В,)+... (44) л сл Слагаемые, стоящие справа, — попарно без общих точек, и если все В„ имеют конечную меру, то 0 (В) = 0 (В,) + (О (Вя) — 0 (В,)) + (О (Ва) — О (В,)). Сумма первых и слагаемых справа равна 0(В„), т. е. из последней формулы следует (43). Если неко~орое В„ имеет бесконечную меру, то предельное множество н подавно имеет бесконечную меру, и формула (43) очевидна. Отметим, что в этой формуле допустимо значение (-+ со) как для 0 (Вл), так и для О (В). Теорема 16.
Если Вл(и=1, 2, ...) — невозрастающая последовательность множеств конечной меры, то предельное множество В измеримо, и имеет место формула (43). Представим В, в виде суммы множеств попарно без общих точек В, = В+ (В, — Вт) + (Вя — Вз) + (Вз — Вь) +... (45) Измеримость В вытекзет из теоремы 8 и 14. Применяя к (45) теоремы 13 и 14, получим О (В,) = О (В)+ (О (В,) — О (В,))+ (0(В,) — О (В,Н+ + 10 (В,) — О (В,)) +..., т. е О (Вс) = О (В) + 0 (В1) — йщ О (В.), л л откуда и следует (43). 3 а м е ч а и и е.
Измеричость предельного множества В вытекает из (45) и без предположения конечности меры у Вл. Разность А — В= Р измерима в силу теоремы 12. Мы имеем А = В+ Р, причем В и Р— без общих точек. По теореме 13 0 (А) = О (В) + 0 (Р), и, вычитая из обеих частей конечное число О(В), получим (42).
Теорема тб. Если Вл (и = 1, 2,...) — неубывающая последовательность измеримых множеств, то предельное множество В измеримо и 36! измвгимыв множвствл (пгодолжвнив) 86. Измеримые множества (продолжение). Отметим ряд следствий из доказанных теорем об измеримых множествах. Элементарная фигура Й, как сумма конечного числа промежутков, есть измеримое множество, и мера Й, совпадающая с внешней мерой Я, выра>кается формулой (25), где Ьь(>г = 1, 2, ..., л>) — какое-либо разбиение )т на промежутке без общих точек. Обозначим через ьо семейство измеримых множеств, причем значок 0 указываег на ту функцию 0 (Ь), когорая послужила основой при построении упомянутого семейства.
Мы распространили функцию 0 (Ь) на все множества 5, принадлежащие 1.о, причем полученная функция О®) неотрицательная и, в силу теоремы 13, аддитизна не только для конечного, но и для счетного числа слагаемых множеств, не имеющих попарно общих точек. Пусть $„— исчезающая последовательность множеств, принадлежащих 1.о и имеющих конечную меру, т. е.
В>:эй, ~ф,-л..., и предельное множество Р> для $, есть пустое множество. Из теоремы 16 непосредственно следует, что 0(В„)-+О, т. е. функция 6(ф) будет не только неотрицательной и аддитивной, ио и нормальной для семейств з множеств 1о. Желая 'подчеркнуть ее аддитнвносгь не только для конечного, но и для счетного числа множеств, входящих в Т.о, мы будем называть эту функцию в и о л н е адди т и в ной. Семейство ьо содержит и неограниченные множества. Некоторые из них могут иметь 'конечную меру, а для других мера может быть равной (+ сю).
Но, конечно, не всякое неограниченное множество обязано быть измеримым множеством. Часто при построении семейства измеримых множеств рассматривают лишь ограниченные множества или даже множества, принадлежащие определенному конечному промежутку. В предыдущем изложении мы не связывали себя таким ограничением.
Отметим еще, что исходную функцию 0 (Ь) мы считали определенной для всех конечных промежутков. Если 0 (Ь) определена лишь для промежутков д, принадлежащих некоторому проне>кутку Ьм то ее можно естественно распространить на все проме>кутки Ь, пользуясь формулой 0 (Ь) = 0 (Ь ° Ь,), причем надо помнить, что произведение промежутков есть также промежуток. Семейство множеств Лц зависит от выбора исходной функции 0 (Ь). Но при любом выборе этой функции оно содержит во всяком случае все промежутки, элементарные фигуры, открытые множествз и замкнутые множества. В дальнейшем мы дадим более полную характеристику тех множеств, которые входят в 1.ц при любом выборе 0 (Ь). Будем толковать функцию множеств как массу.
Задание первоначальной функции 0(Ь) сводится к заданию массы на любом промежутке Ь при выполнении, конечно, обычных условий неотрипательности, аддитивности и нормзльности. Точечное множество ф измеримо, если имеет смысл говорить о массе, находящейся на ф, и 0 ($) есть эта масса. Можно дать простой пример, когда множество ьо содержит все точечные множества плоскости. Пусть имеется массз 1, сосредото- 118 (8У Функции множвств и ннтвгелл лвззга 87.
Критерии измеримости. Можно давать различные определения измеримых множеств, которые буду~ равносильны данному выше определению. Укажем некоторые из этих определений, причем сначала мы будем рассматривать лишь ограниченные множества. Теорема 1. Для того чтобы ограниченное множество $ входило в семейство ьо, необходильо и достаточно следующее: для любого заданного положььтельного «существует такая элементарная фигура Я, что 8+ е =Я+ем причем для множеств е, и е, имеют место неравенства (46) ( е,~о ( ь и ( ея (о ~ «, (йу) ченнзя в точке Р. При этом 0(Ь) = 1, если промежуток й содержит Р, и 0 (Ь) = О, если промежуток Ь не содержит Р.
Нетрудно проверить, что семейство 1о для такой функции 0 (Ь) содерькит все множества, причем 0(5)=1, если Р, содержит Р, и 0($)=О, если (ь не содержит Р, Рассмотрим тот важный частный случай, когда 0(Ь) равна площади промежутка Ь. Семейство 1.о для этого случая будем просто обозначать символом 1.. Здесь мы имеем расширение понятия площади для широкого семейства множеств ь. Именно этот частный случай и был впервые рассмотрен французским математиком Лебегом. Функцию 0 ®) будем в этом случае обозначать символом т(5).
Семейство мноькеств ь называется обычно с е м е й с т в о м м н о ж е с т в, измеримых по Лебегу. Для таких множеств имеет смысл говорить об их площади. Если Р есть конечное или счетное множество точек, то т(5)=О. Точно так же, если р есть отрезок прямой или вся прямая, то т(Р)=О. Если один и тот же промежуток ц мы возьмем полуоткрытым, открытым или замкнутым, то во всех случаях т (ьь) имеет одно и то же значение. Если измеримое множество Р имеет внутренние точки, то, очевидно, т(Р)) О. Можно показать, что существуют такие ограниченные открытые множества, что для границы (такого множества (ь' — замкнуто, а потому измеримо) мы имеем т(У) ) О.
Для открытого множества т(0) есть сумма площадей тех промежутков, которые входят в формулу (21), причем эта сумма не зависит от способа представления 0 в виде суммы промежутков. Если с — ограниченное замкнутое множество, то, покрывая его открытым промежутком ць, мы можем определить т (Г) как разность значений для двух открытых множеств, а именно, т(с)=т(ць) — т(йь — с).
Все построение семейства 1.о можно провести совершенно так же, как и выше, в любом конечномерном пространстве. В часпюм случае семейство Е в трехмерном пространстве есть семейство множеств, имеющих определенный «об.нем«э а в случзе одного измерения — семейство множеств, имеющих определенную «длиную Вместо этого для пространства с любым конечным числом измерений часто говорят просто о мере множества, если оно входит в Е. 1! 9 37] кгитвгни измвгимости доказываем необходимость.
Пусть 3 входит в 7.о. Г!ри этом существует такое открытое множество О, что $ с: 0 и ! 0 — 3[о -= а. Обозначая 0 — 5 = ен будем иметь 0=5 + ен и для е, справедливо неравенство (47). С другой стороны, в силу теоремы 6 из [32], 0 есть предел возрастающей последовательности элементарных фигур й„, причем й„ есть сумма первых п слагаемых правой части формулы (21). В силу теоремы 15 мы имеем 0(0)=1!а0(й„) и, и со следовательно, можем взять настолько большое значение п=т, что, полагая й=й, будем иметь О=й+ем где !еа)о~а.
Сравнивая оба полученных для 0 выражения, мы и приходим к формуле (46), причем для е, и е, выполнены неравенства (47). 7(оказываем достаточность. Пусть для любого заданного а имеют место формула (46) и неравенства (47). В силу измеримости й существует такое открытое множество Он что й с: О, и [ О, — й 'о ( ..
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
