1610915356-5872c4d4ad41802c73f2f3fcece03aba (824746), страница 27
Текст из файла (страница 27)
С другой стороны, в силу теоремы 4 [34[, существует такое открытое множество О„что еа~О, и ~Оа!о --.!е,!о+а, или, в силу (47), мы будем иметь ~0,!о(2а. Открытое множество 0=0,+О, покрывает 5+ем и мы имеем 0 — фс [Π— (5+е,)]+в, или, в силу (6) из [30]: 0 — 3 с: [(О, + 0,) — (й + е,)] + е, с:. (0~ — й) + (О, — е,) + ен Принимая во внимание, что !О,— й!о(а, [О,— е,!о(!0,(о(2а и (47), получаем отсюда [Π— 3[о( 4е, что дает, в силу произвольности г, измеримость $. Теорема 2. Для того чтобы ограниченное множество 3 принадлежало ! и, необходимо и достаточно следующее: для любого заданного положительного а существует такая элементарная фигура й, что !р.— й!о~а и [й — 3[о~а (48) Локазываем необходимость.
Пусть 5 принадлежит Г.о. Существует такая элементарная фигура й, что мы имеем (46) и (47). Неравенства (48) вытекают из очевидных соогношений 3 — ьйс: е, и й — $~ен Доказываем достаточность. Пусть для любого заданного а суптествует й, для которой выполняются неравенства (48). Если положить 3 — й=е, и й — ф=ен то получим 3+е,=й+ е„причем е, и е, удовлетворяют неравенствам (47), и измеримость $ вытекает непосредственно из теоремы 1. Теорема 3.
Для того чтобы множество 3 (которое может быть и неограниченным) принадлежало Г.о, необходимо и достаточно, чтобы для любого заданного положительного а существовало такое открытое множество 0 и такое замкну7пое множество Р, что Р с: $ с:. 0 и [ 0 — Р ]и ( а. (49) [38 120 вгнкции множеств и интвгвлл лввггл Если В измеримо, то, в силу определения и теоремы 11 [38] суше- 6 с>вуют такие Р и О, что Рс:Вс: О, ) — Р)о( —, и )Π— В)о 2 2' Далее имеем Π— Е= (Π— В) + ( — Е), откуда и следует (49). Наоборот, пусть имеем (49). При этом и подавно [Π— В~о~а и, следовательно, В измеримо согласно определени>о.
Приведем без доказательства еше один критерий измеримости. Для измеримости В необходимо и достаточно, чтобы при любом выборе множества А имела место формула (50) [А а=[А В[а+(А — В[а. 38. Тело множеств. Введем новое понятие, каса>ощееся семейств точечных множеств, причем под семейством множеств мы понимаем некоторую совокупность множеств (множество множеств). Нззовем т е л о м м н о ж е с т в семейство множеств, обладающее следующими двумя свойствами: 1) если множества В, и В, входят в семейство, то и их разность В, — В, входит в семейство; 2) если В, и В, — без общих элементов и входят в семейство, то и их сумма В, + В, входит в семейство.
Отметим некоторые непосредственные следствия данного определения. П у с т о е м н о ж е с т в о как разность двух одинаковых множеств, принадлежащих телу множеств, о б я з а т е л ь н о в х о д и т в любое тело множеств. Далее из формул [31) В>Вя = В> (В> — Вя)1 В>+ Ва = В> + (Вя В>) непосредственно следует, что произведение двух множеств, принадлежащих телу, также принадлежит телу, и сумма двух множеств, принадлежащих телу, принадлежиг телу и в том случае, когда множества имеют общие точки. Это утверждение, очевидно, обобщается и на любое конечное число сомножителей и слагаемых, т. е.
с у м м а н произведение конечного числа множеств, принадл е>к а щи х телу, так же принадлежит телу. Усилим требование, входящее во второй пункт определения тела множеств, а именно, гготребуем принадлежности к телу суммы счетного числа множеств попарно без общих точек, принадлежащих к телу. Такое тело множеств называется замкнутым телом множеств. Итак, назовем замкнутым телом множеств семейство множеств, обладающее следующими двумя свойствами: 1) если множества В> и В, входят в семейство, то и их разность В, — В, входит в семейство; 2) если семейство содержит конечное или счетное число множеств В„ попарно без общих точек, то оно содержит и их сумму.
Совершенно так же, как и выше, мы убеждземся в том, что замкнутое тело множеств содержит любые конечные суммы и произведения входящих в него множествв. Покажем, что замкну тое тело множеств содержит 121 33) ТЕЛО МНОЖЕСТВ суммы и произведения счетного числа входящих в пего множеств.
Для того чтобы убедиться в этом, напишем следующие две формулы: ~ В, = Вг+ (В! — В!) + (Вз — (В! + В!)) + и= ! + (Вт — (В! + Вя + Ва)] +... СО 1ИВи =В! — НВ! — Вя)+Е! — Вз)+ и=! (51) + (В! — Вт) + . "). (52) 0 (В! + Вя + ") = 0 (В!) -+ 0 (Вя) + " Мы уже и раньше упоминали о понятии вполне аддитивной функции. Между понятиями вполне аддитивной и нормальной функции Доказательство этих формул не представляет никакого труда.
Достаточно проверить, что вс~кий элемент (точка), входящий в множество, стоящее в левой части, входит в множество, стоящее в правой части, и наоборот. Пусть Ви входит в замкнутое тело множеств Т. Прн этом слагаемые правой части формулы (51) попарно не имеют общих точек и входят в Т. Следовательно, согласно "определению замкнутого тела Т, и сумма множеств Ви вхолит в Т. Слзгаемые, стоящие в квадратной ско5ке правой части формулы (52), входяг в Т, а потому и их сумма входит в Т. Следовательно, и вся правая часть, т. е.
произведение множеств Ви, входит в Т, что и требовалось доказать. Из теорем, доказанных в (361, непосредственно следует, что Т.О есть замкнутое тело множеств. Рассмотрим функцию промежутков 0(Ь), которые мы распрострзннли нз ззмкнутое тело Ао. Семейство промежутков не предстззляет собой тела, ибо уже рззность двух промежутков может не быть промежутком. Семейство элементарных фигур Й уже является телом, но не замкнутым телом. Наш процесс распространения функций 0(Ь) состоял в том, что мы сначала распространили 0 (Ь) на тело элементарных фигур, а затем и на замкнутое тело Т.о.
При этом функция 0(В) оказалась неотрицательной, вполне аддитивной и нормальной в Ао в том смысле, который был указан в [37]. Выясним связь понятий нормальности и аддитивности функции множеств. Пусть имеется некоторое тело Т, которое может быть и незамкнутым. Функция 0 (В), определенная для всех множеств, входящих в Т, называется вполне аддити зной в Т при выполнении следующего условия: если множество В, принадлежзщее Т, есть сумма конечного или счетного числа множеств Ви, также принадлежащих Т и не имеющих попарно общих точек, то 122 [88 Функции множеств н ннтегвлл лвзвг» имеется непосредственнзя связь, которая выражзется следующей теоремой: Теорема. Для и!ого чтобы функсгия 0 (В), определенная на некотором теле Т и принимающая лишь конечные значения, была аддсстивной и норлсальной, необходсслсо и достаточно, чтобы она была вполне аддитивной.
Из аддитивности непосредственно следует, что если А с; В, то 0 ( — А) =0 (В) — 0 (А). Пусть функция 0 (В) аддитивна и нормальна, и докажем, что она вполне аддитивна. Положим, что В есть сумма счетного числа ьшожеств В„(п = 1, 2, ...) попарно без общих точек. Можем написать В=В!+ +В,+[ — (Вс+ В»+ +В,)] и, в силу аддитивности функции, 0(й)=0(й!)+...+0(й„)+0[ — (В,+...+В„)]. (33) Но  — (В, +...
+ В„) есть исчезающая последова гельность. В равенстве (б3) переходим к пределу, учитывая нормальностсь 0(й)=1ип[0(й,)+...+0(й„)]= ь 0(й„). »=! Этим и доказано, что 0 (В) вполне адднтивна. Положим теперь наоборот, что 0 ®) вполне аддитивна и докажем, что она нормальна. Пусть В,.:з В,':з...
— какая-либо исчезающая последовательность. Надо доказать, что 0 (В„) †О. Можем написать Вс=(В! — В»)+(Вя — Вс)+ "+( — ! — В )+В причем слагаемые ие имеют попарно общих точек, и отсюда, в силу аддитивности 0 (В), получим 0 ®») = 0(й!) — [0 (В! В!)+ + 0 (В» — В!) +... + 0 (В' ! — В»)]. (34) С другой стороны, из формулы В! =,~~~ (В» — В» 1- !) следует, в силу того, что 0 ®) вполне аддитивна, СО л 0(й!)=,~ О®» — В»+!)= 1сш,~~ 0(й» вЂ” В»-!), »=! »=! и, сравнивая с (б4), получаем 0(й„') — ьО, что и требовалось доказать. Выше мы построили распространение неотрицательной, аллитнвной и нормальной функции промежутков 0(Ь) на замкну~ос тело тило В 49! Т.о, причем полученная таким образом функция 0 ($) оказалась вполне аддитивной.
Можно доказать, что никакое другое распространение 0 (Ь) на Т.о при условии полной адлитивности невозможно. 39. Независимость от выбора осей. Сделаем еще некоторые замечания по поводу независимости меры от выбора осей. Первоначальная функция О (Ь) была определена на полуоткрытых прямоугольниках, стороны которых параллельны осям Х и )'. Тело т'.о содержит полуоткрытые прямоугольники плоскости с любым направлением сторон, ибо всякий такой прямоугольник есть разность замкнутого прямоугольника и замкнутого множества точек, состоящее из двух сторон и трех вершин прямоугольника.
Таким образом, функция 0 (3) определена, в частности, на всех полуоткрытых прямоугольниках Ь', стороны которых параллельны некоторой другой декартовой системе осей Х' и У', причем функция О (Ь') на этих прямоугольниках аддитивна и нормальна. Если мы, выбирая новые оси Х' и )", будем исходить из функции 0(Ь') и распространять ее так, как это указано выше, то придем к некоторому телу Ео . Нетрудно показать, что это тело совпадает с телом Т.о, и что при новом распространении, которое мы производим, исходя из 0 (Ь'), получим на всех промежутках те же значения О (3), которые имели и при прежнем распространении, которое производили, исходя из 0 (Ь). В основе этого утверждения лежит тот факт, что всякое открытое множество 0 можно представить или как сумму промежутков Ьа, попарно без общих точек, или как сумму Ьь, попарно без общих точек, причем 0(О)= 'У' а(б,)='У 0(б,').
я=! ь=1 Отсюда, в силу теоремы 4 из (36), непосредственно следует, что внешние меры любого множества в обеих системах координат будут одни и те же. Из определения измеримости непосредственно следует дзлее, что измеримость множества будет иметь место одновременно в обеих координатных осях, т. е. тело Ао совпадает с телом Ео.
Совпадение мер в обеих осях непосредственно вытекает из того, что, в силу указанной выше теоремы, 0 (Я) есть точная нижняя граница мер открытых множеств, покрывающих 3, Отметим еще, что если О (Ь) есть обычная площадь прямоугольника Ь, т. е. мера Лебега т (Ь), то и О (ц') есть обычная площадь Ь' [ср, И; 92]. 40. Тело В. Как мы указывали, замкнутое тело Ао зависит от выбора функции 0 (Ь). Мы укажем сейчас такое замкнутое тело, что множества, в него входящие, принадлежат любому закинутому телу Т.о и, в частности, принадлежаг ь. Рассмотрим всевозможные замкнутые тела Т такие, что всякое Т содержит все замкнутые промежутки, 140 124 Функции множеств и интеГРАл лезеГА и состзвим семейство множеств В, состоящее из множеств, принадлежащих всем вышеуказанным замкнуты м телам Т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
