1610915356-5872c4d4ad41802c73f2f3fcece03aba (824746), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Множество СР— открытое и множество СО— замкнутое. Докажем первое утверждение. Пусть Р принадлежит СР. Надо доказать, что некоторая а-окрестность Р принадлежит СР. Это следует из того, что, если бы в любой »-окрестности Р находились точки Р, точка Р, не принадлежащая по условию Р, была бы предельной для Р точкой и, в силу замкнутости Р, должна была бы принадлежать Р, что приводит к противоречию. Теорема 3. Произведение конечного или счетного числа замкнутых лгножеств есть замкнутое множество.
Сумма конечного числа замкнутых множеств есть замкнутое множество. Докажем, например, что множество замкнуто. Переходя к дополнительным множествам, можем написать [30[ СВ = 'У' СР„. По теореме 2 СЄ— открытые множества, и, согласно теореме 1, множество Сф — тоже открытое, и тем самым дополнительное множество ф замкнуто. Огметим, что сумма счетного чггсла замкнутых множеств может оказаться и незамкнутыль множестволг. ФУНКЦИИ МНОЖЕСТВ И ИНТЕГРАЛ ЛЕЕЕГА [З2 Теорема 4. Множество Π— Е есть открытое множество и множество Š— Π— замкнутое. Легко проверить следующие равенства: Π— Е=О СЕ; Š— О=Е ° СО.
Из них, з силу предыдущих теорем, следует теорема 4. Мы будем говорить, что множество ф покрыто системой М некоторых множеств, если всякая точка 5 входиг по крайней мере в одно из множеств системы М. Теорема й (Борелн). Если замкнутое ограниченное множество Е покрыто бесконечной системой и открытых множеств О, то из этой бесконечной системы можно извлечь конечное число открытых множеств, которые также покрывают Е. )»оказываем эту теорему от обратного. Положим, что никакое конечное число открытых множеств из системы и не покрывает Е, и приведем это к противоречию. Раз Š— ограниченное множество, то все точки Е принадлежат некоторому конечному двумерному промежутку Ьь(а(х(о; с(у(а).
Разобьем этот замкнутый промежуток д» на четыре равные части, деля промежутки [а, Ь[ и [с, а[ пополам. Каждый из полученных четырех промежутков будем брать замкнутым. Те точки Е, которые попадут на один из этих четырех замкнутых промежутков, будут, в силу теоремы 2, представлять собой замкнутое множество, и по крайней мере одно из этих замкнутых множеств не может быть покрыто конечным числом открытых множеств из системы а. Берем тот из указанных выше четырех замкнутых промежутков, где это обстоятельство имеет место. Этот промежуток опять делим на четыре равные части и рассуждаем так же, как и выше. Таким образом, получим систему вложенных промежутков Ь„йн дм ..., из которых каждый следующий представляет собой четвертую часть предыдущего, и имеет место следующее обстоятельство: множество точек Е, принадлежащих йю при любом й не может быть покрыто конечным числом открытых множеств из системы а.
При беспредельном возрастании й промежутки а» будут беспредельно сжиматься к некоторой точке Р, которая принадлежит всем промежуткам Ь». Поскольку Ь» при любом й содержат бесчисленное множество точек Е, точка Р является предельной точкой для Е, а потому и принадлежит Е, ибо Š— замкнутое множество. Тем самым точка Р покрывается некоторым открытым множеством О', принадлежащим к системе и.
Некоторая а-окрестность точки Р будет тзкже принадлежать открытому множеству О'. При достаточно больших значениях й промежутки Ь» попадут внутрь указанной выше а-окрестности точки Р. Тем самым эти Ь» буду~ целиком покрыты только одним открытым множеством О' системы а, а это противоречит тому, что точки Е, принадлежащие а», при любом й не могут быть покрыты конечным числом открытых множеств, принадлежащих и. Тем самым теорема доказана. свойстВА ВАмкнутых и о'п<Рытых множястз )о) 32) Теорема 6. Открытое множество может быпгь представлено как сумма счетного числа полуоткрытых промежутков попарно без оба<их точек. Напомним, что полуоткрытым промежутком на плоскости мы называем конечный промежуток, определяемый неравенствами вида а) х) Ь; с)у зм б. Нанесем на плоскости сетку квадратов со сторонами, параллельными осям, и с длиной стороны, равной единице. Множество этих квадратов есть счетное множество.
Выберем из этих квадратов те квадраты, все точки которых принадлежат заданному открытому множеству О. Число таких квадратов может быть конечным или счетным, а может быть таких квадратов вовсе не будет. Каждый из оставшихся квадратов сетки разделим на четыре одинаковых квадрата и из вновь полученных квадратов выберем опять те, все точки которых принадлежат О. Каждый из оставшихся квадратов опять делим на четыре равные час~и и отбираем те квадраты, все точки которых принадлежат О, и т. д. Покажем, что всякая точка Р множества О попадет в один из выбранных квадратов, все точки которого принадлежат О. Лействительно, пусть б — положительное расстояние от Р до границы О. Когда мы дойдем до квадратов, диагональ которых меньше б, то можно, очевидно, утверждать, что точка Р уже попала в квадрат, все точки которого принадлежат О.
Если выбранные квадраты считать полуоткрытыми, то они не будут попарно иметь общих точек, и теорема доказана. Число отобранных квадратов будет обязательно счетным, так как конечная сумма полуоткрытых промежутков не есть, очевидно, открытое множество. Обозначая через бл те полуоткрытые квадраты, которые мы получили в результзте укззанного выше построения, можем написать (21) л=! В случае одного измерения, т. е. прямой линии, легко доказать следующее утверждение: всякое открытое множество на прямой есть сумма конечного или счетного числа открытых промежутков попарно без общих точек. Все сказанное в двух последних параграфах применимо и для точечных множеств на прямой, в трехмерном пространстве и вообще в п-мерном пространстве.
Разница будет только в определении а-окрестности и промежутка. В трехмерном пространстве в-окрестность точки Р есть сфера с центром Р и рздиусом в, и промежуток есть прямоугольный параллелепипед, ребра которого параллельны осям. Полуоткрытый промежуток определяется неравенствами: а, (х ( Ь~', ач(у(Ь;, аа(г(Ьа. В случае прямой в-окрестность точки хч определяется неравенством хв — в(х(хч-~ ч. !ЗЗ 102 Функции множеств и интеГРАл левеГА ЗЗ.
Элементарная фигура. В датьнейшем основную роль для нас будут играть конечные полуоткрытые промежутки и для краткости речи мы их будем называть просто промежутк а м и. Пусть задана неотрицательная, аддитивная и нормальная функция промежутков б (ц). Наша задача распространить ее на некоторый широкий класс точечных множеств при сохранении всех ее указанных выше свойств. Назовем э л е и е н т а р н о й ф и г у р о й сумму конечного числа промежутков ЬА (л= 1, 2, ..., т) попарно без общих точек. Обозначая через гс такую элементарную фигуру, можем написать (22) А-1 Эту же элементзрную фигуру мы можем конечно либо иным образом на промежутки, не имеющие точек, Н:=) ЦА А-1 разбить и каким- попарно общих (23) Нетрудно видеть, что для любых двух таких разбиений мы будем иметь м ш' ~ а(д„)= у' а(д„'). (24) ~ф)= ',~ О(Д,) (25) Для того чтобы убедиться в этом, достаточно произвести новое разбиение Я, которое является произведением разбиений (22) и (23), и принять во внимание адднтивность й (Ь).
При этом окажется, что как левая, так и правая части формулы (24) представляют собой сумму значений 0 (Ь) для промежутков указанного только что нового разбиения )с. Для получения левой части формулы (24) достаточно сгруппировать слагаемые этой последней суммы, соответствующие тем частичным промежуткам, которые принадлежат одному и тому же ЬА, а для получения правой части (24) эту группировку надо сделать для слагаемых, соответствующих частичным промежуткам, принадлежащим одному и тому же Ьь'. Таким образом, если элементарная фигура Гг разбита каким-либо способом на частичные промежутки, не имеющие попарно общих точек, то сумма значений функции 6(Ь) для полученных частичных промежутков имеет вполне определенное значение, т.
е. не зависит от способа разбиения )с. Эту сумму мы и принимаем за значение функции 0 Я) для элементарной фигуры тс, т. е. элементАРНАЯ Фигувл при любом разбиении К на конечное число промежутков попарно без общих точек. Таким образом, мы соверше>шо просто распространили функцию 0(Д) на элементарные фигуры. Мы могли бы, пользуясь формулой (21), совершенно аналогичным образом распространить 0 (Д) и на все открытые множества.
Но мы пойдем несколько иным путем. При этом все же открытые множества будут играть в нашем изложении основную роль. В настоящем параграфе рассмотрим еще некоторые простые свойства промежутков и элементарных фигур. Отметим, что если й> с.—. >хм то 0 (>>>) «6 (>с,). Это следует непосредственно из неотрицательности 0 (Д), если использовать такое разбиение >с, на промежутки, при котором частичные промежутки, имеющие общие точки с >с„целиком входят в >с>. Пусть ЬА(Ь= =1, ..., р) — промежутки, которые могут иметь и общие точки.
Проводя прямые, нз которых лежат стороны ЬА, мы разобьем сумму промежутков ЬА на частичные промежутки, причем эти частичные промежутки обладают следующим свойством: если два из них имеют общую точку, то они целиком совпадают. Считая нзлегающие друг на друга промежутки за один промежуток, получим некоторую элементарную фигуру ЙО, которая представляет, очевидно, сумму про- межутков >св= ~~ ЬА, причем'мы имеем А=> л 6 Я,) « ~ 6 (Ь„), (26) а из нормальности функции 6 (Д) непосредственно следует. Вш 6 (>"> Д) = Вш 6 (Д>«>) — 6 (Д), (26,) а +О Ч-О Докажем теперь лемму, которая будет нам нужна в дальнейшем.
и знак(имеет место, если хотя бы для одного из налегающих промежутков значение функции 0(Д) положительно. Введем теперь новое понятие, которое будет использовано в дальнейших построениях. Пусть Д (а ( х «Ь, с (у «Ы) — некоторый промежуток и в — положительное число. Нззовем а-с жа т и ем п р ом е ж у т к а Д промежуток, определяемый неравенствами а + в ( х «Ь, с+к(у«с(, и обозначим этот промежуток символом »" Д. Назовем а-расширением промежутка Д промежуток, определяемый неравенствами а(х«Ь+а, с(у«»+в, и обозначим его символом Д»".
Разности Д вЂ” ЬВД=" >с и Двя — Д=Я» суть элементарные фигуры. В силу неотрицательности 0(Д) имеем 6(»" й)=6(Д) — 0(>">Д))(> и 0(й»")= 6(Д»") — 0(Д))0, 194 ФУНКЦИИ МНОЖЕСТВ И ИНТВГРАЛ ЛВВВГА Лемма. Если элементарная фигура й покрыта конечным или счетным числом промежутков Зь (которые могут иметь и общие точки), то У'0(8ь)»0(й) ). (27) Утверждение этой леммы наглядно очевидно. Мы приведем его строгое доказательство, пользуясь теоремой 4. Пусть а — заданное положительное число. Разбиваем й на конечное число промежутков !1 (1ь = 1, 2, ..., т) попарно без общих точек и подвергаем каждый из частичных промежутков Ьь а-сжатию, причем положительное число а фиксируем настолько малым, чтобы сумма значений 0 (Ь) для сжатых промежутков оказалась ) 0 (й) — а.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
