1610915356-5872c4d4ad41802c73f2f3fcece03aba (824746), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Докажем, например, что из измеримосги третьего множества при любом а следует и измернмость остзльных множеств. Действительно, из измеримости третьего множества следует измеримость четвертого множества и множества 5[|''=-а], которое можно представить в виде л=| а тем самым и второго множества. Отметим еще, что множества ф[г"=+ос] и ~[Г"= — оо] могут быть предстзвлены в виде ф [у =+ со] = И ф [у ) п]; ф [у = — со] = П ф [у ( — и]. и=| л=| Заметим, что достаточно доказа~ь измеримость (1) только для рациональных значений а. Действи~ельно, всякое иррациональное число а можно представить как предел убывающей последовательности а„ рационзльных чисел, и измеримость ф[)') а] непосредственно вытекает из формулы 5 [ г") а] =,~~ й [у) а.].
и=| Выясним ряд простых свойств измеримых функций, непосредственно вытекающих из данного выше определения. Теорема 2. Если ~(Р) пзлгерггма на 5, то она изл|ерима и на любой измеримой часе|и 5' множества $. Если у" (Р) измерима [42 128 Фтнкции множеств и интеГРАл левеГА на конечном или счетном числе,иножесгпв еь попарно без обгцих точек, то она измерима и на льножестве $, которое является суммой В„. Утверждения теоремы непосредственно вытекают из следующих формул: 2' [У) а] = ф [У) а] ° $', ф [ г) а[ = ~ь $„[У) а]. Теорема 3. Если 5 есть множество мерьс нуль, то любая функция у(Р) измерильа на этом множестве. Деиствительно, при любом а множество ф [г") а] есть часть множествз р, имеющего меру нуль, а следовательно, и множество р [у) а] имеет меру нуль, т. е.
измеримо. Определение. Две функции ~(Р) и я(Р), определенные на множестве 2, назьгваются 'эквивалентными на этом множесгпве или просто эквивалентными, если множество ф [Г =р- ;е[ илсеет меру нуль. Докажем относительно эквивалентных функций следующую теорему. Теорема 4. Если ((Р) и е(Р) — эквивалентные функции на измеримом множестве ф, и одна из них измерима, то и другая измерима.
По условию теоремы, множество В [г" ~ я] = А есть множество меры нуль. Нз измеримом множестве 5'=$ — А мы имеем У(Р)= = ч(Р). Из измеримости ~(Р) на 5 следует и нзмеримость у(Р) на 5', а потому и измеримость д(Р) на 9'. На множестве А функция и (Р) измерима в силу теоремы 3. Таким образом, в силу теоремы 2, е(Р) измерима на множестве $= $' + А, и теоремз доказана. Легко доказать, что если г', эквивалентна Аг и г", эквивалентна Ая, то г'1 + г', эквивалентна Ач + Ая, Я; эквивалентна Я1ея и У,:гя эквивалентна 81: эя, если соответствУющие действиЯ имеют почти везде смысл.
Если две непрерывные функции эквивалентны в смысле лебеговои меры на некотором промежутке или всей плоскости, то нетрудно видеть, что их значения совпадают во всех точках. Действительно, если, например, в некоторой точке мы имели бы [(Рь) — 4 (Р,) ) О, то это неравенство, в силу непрерывности функций, сохранилось бы в некоторой достаточно мзлой а-окрестности 3 точки Р„ причем т (3) ) О, з это противоречит определению эквивзлентности функций. Укзжем простые примеры измеримых функций. Положим, что Г(Р) непрерывна на конечном замкнутом промежутке аь. Рассмотрим при любом а множество аь[г"(Р) ) а] и покажем, что оно замкнуто.
Отсюда будет непосредственно следовать, что оно измеримо, а потому у (Р) — измеримая функция. Если Р„(п = 1, 2, ...) — последовательность точек, имеющих предельную точку Р, и у(Р„))а, то, в силу 129 42] опгвдвлвнив измввимых ягнкций непрерывности функций, и у(Р) ) а, что показывает замкнутость множества д» [у(Р) ) а[. Точно так же, если у(Р) непрерывна на всей плоское~и, то она измерима. Действительно, если Ь» — любой замкнутый промежуток, то, как мы только что показали, множество Ь» [у(Р) ) а[ измеримо.
При расширении Ь» предельное множество будет также измеримым. Это предельное множество есть множество всех тех точек плоскости, где У(Р) ) а. Положим теперь, что у(Р) имеет одну точку разрыва Р,. Накроем ее последовательностью открытых промежутков Ь„ (л = 1, 2, ...), которые беспрелельно сжимнотся к Р,. Вне Ь„ функция У(Р) непРеРывна и множество ал тех ~очек Р, в котоРых У(Р) ) а, замкнУто. При возрастании п множества е„ не убывают и стремятся к измеримому множеству е. К этому множеству надо еще добавить Р„, если г"(Р») = а, и получится таким образом множество всех точек, в которых у(Р) ) а, причем это множество, в силу предыдущего, измеримо.
То же рассуждение применимо и в случзе конечного числз точек разрыва, т. е. функция с конечным числом точек разрыва непрерывности измерима. Отметим без доказательства следующее предложение: если у(Р) принимает конечные значения на замкнутом промежутке Ь» и множество Ее точек разрыва непрерывности имеет меру нуль, то 1(Р) измерима на ца. Но это условие измеримости является только доста- Ф точным.
Легко дать пример, когда вс~кая точка множества 5 есть точка разрыва, и все же функция измерима. Рассмотрим функцию г'(х), определенную на промежутке [0,1[ следующим образом: г'(х) =О, если х есть рациональное число, и У'(х) = 1, если х иррационально. Возьмем лебегово измерение, т.
е. тот случай, когда 0 (Ь) — длина промежутка. При этом мера любой точки равна нулю. Рациональные точки промежутка [О,1[ образуют счетное множество и в силу того, что мера вполне аддитивна, множество рациональных точек также имеет меру нуль. Построенная функция у(х) отличается от функции, тождественно равной единице на всем промежутке, лишь на множестве рациональных точек, имеющих меру нуль, т. е. у(х) эквивалентна функции, тождественно равной единице, и, в силу теоремы 4, У(х) измерима. Но нетрудно видеть, что всякая точка х» промежутка [0,1[ есть точка разрыва у(х).
Действительно, в любой а-окрестности х» находятся как рациональные, так и иррациональные значения х, т. е. в любой »-окрестности х =х» функция у(л) принимает и значение 0 и значение 1, а потому х» есть точка разрыва. В [45) мы укажем глубокую связь понятия измеримости с понятием непрерывности. Рассмотрим еще так нззываемую кусочно-постоянную на измеримом множестве $ функцию, т. е. такую функцию [(Р), которая принимает на В конечное или счетное число значений с»(1 =1, 2,...). Если те множества 5ы на которых у(Р)=с„, суть измеримые множества, то из определения измеримости непосредственно следует, что ГЗО [43 Фтнкции множестВ и игиеггал левегл кусочно-постояннзя функция у(Р) измерима на р.
Приведем еще один пример. Пусть ) (Р) измерима нз измеримом множестве 5. Положим ее рваной нулю на дополнительном множестве СР. Построенная таким образом функция измерима на ф и на Ср, т. е., в силу теоремы 2, измерима на всей плоскости. Рассмотрим еще случай одного переменного. Пусть д(х) — неубывающая функция, положенная в основу измерения [42], и у(х) — измеримая функция.
В этом случае говорят иногда, что у'(х) измер и ма относительно 4 (х), а если я(х)=х, то говорят просто, что у(х) измерима. 43. Свойства измеримых функций. Выясним некоторые дальнейшие свояства измеримых функций. Теорема Е Если у(Р) — измеримая функция, то и ]у(Р)]— излгерпмая функция. Утверждение теоремы непосредственно следует из формулы $ []у ]) а] =р [г ) а]+ Й [/( — а]. Теорема 2.
Еслл у (Р) — измеримая функция и с — конечная постоянная, отличная от нуля, то с+у(Р) п с) (Р) — измеримые функции. Первое утверждение непосредственно вытекает из формулы 5 [с+у (Р)) а] = В [ДР)) а — с], а второе из формул Р [сР(Р)) а] = Р ~Т(Р) ) — ! при с) О, Я су (Р) ) а] = 5 ~ у (Р) ( — ~ при с ( О. Теорема 3. Если ](Р) и я(Р) — измеримые функции, то множество й [у") 4] измеримо. Пронумеруем все рациональные числа: г,, г,, ... Изиеримость упомянутого в теореме множества непосредственно вытекает из формулы Теорема 4. Если [(Р) и я(Р) — измеримьсе функции, прпнилсаюгцие коне«ные зна«ения, то функции Г' — 4, у+ д; Яп и — (при 4 ~ О) измеримы. у Ю Измеримость разности у — 4 непосредственно следует из формулы ф [у — д.) а] = $ [г") и + я] 441 пгвдвл измввимых чтнкций и теорем 2 и 3.
Измеримость суммы следует из формулы г"+ я = = Г" — ( — и) и теоремы 2 при с = — 1. Измеримость квадрата Гч измеримой функции Т непосредственно следует из формулы й[уч) а]=ф[Г)]/а]+ф[у( — ]/а], а измеримость произведения Я~ из формулы 4 [(у+~) 1 ! Локажеч измеримость функции — при условии, что з не прини- К мает значения О.
Это непосредственно следует из следующих формул: $ ~ — ) а~=1й[у) 0] ° ф~и( — ! прн а) 0; $~ — )а)=$[й)0]+В~у( — ~ при а(0; $ ~ — ) а~=$[д)0] при а=О. Наконец, из формулы — =У вЂ” следует измеримость частного. ! К К В приведенной теореме необходимо было сделать оговорку о том, что функции ЯР) и я(Р) принимзют во всех точках ф конечные знзчения. В противном случае дзйствия над этими функциями могли бы потерять смысл. Если, например, в некоторой точке г"=+ оо и д= — сю, то в этой точке мы ничего пе можем сказать о сумме У-,'.
д. Если указанной неопределенности при производстве действия над у и д нет, то можно допустить и бесконечные значения для [(Р) и я(Р). Локажем в качестве примера следующую теорему: Теорема 5. Если г (Р) и а(Р) — излгеримые функции, принимаю- и!пе конечные значения и значение (+ со), гпо функция Г'+ д' измерима. Пусть А — множество, на котором по крайней мере одна из функций равна (+ сю). Это множество измеримо в силу измеримости г и я, и на множестве А сумма У+ я имеет постоянное значение (+ оо) и, следовагельно, измерима. На множестве 5'= $ — А и функции у" и я имею~ конечные значения, и, в силу теоремы 4, сумма г"+ я измерима и на ф'.
Поэтому она измерима и на $ =ф' + А, что и требовалось доказать. 44. Предел измеримых функций. В этом параграфе мы исследуем предельный переход для измеримых функций. Основным результатом будет тот факт, что предельный переход для измеримых функций приводит вновь к измеримым функциям. Предварительно выясним некоторые обстоятельства, связанные с понятием предела. Пусть имеешься последовательность вещественных чисел (2) ап а„а„..., [44 132 Функции множзстз н интвгвлл лвавга причем среди этих чисел могут быть и числз (+ со) или ( — со).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
