1610915356-5872c4d4ad41802c73f2f3fcece03aba (824746), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Вспоминая определение (ь», мы получаем [У(Р») — 7Ь(Р»)1(д» при 7ь)д7, откуда и следует Уь»(Р») — 7'(Рь), ибо д» 0 при 7г — со. 3 а м е ч а и и е. Можно было бы, очевидно,,предположить, как и в теореме б, что 7'„(Р) и 7" (Р) лишь почти везде конечны на $, и при исключении на Р множеств А и А„на оставшемся множестве 7",(Р) по мере сходятся к 7(Р). 136 !46 втсскции множеств и ингвгэлл лввзгл Сусцествует теорема, которая связывает сходимость почти везле с равномерной сходимостью. Эта теорема была доказана з 19! 1 г.
Д. Ф. Егоровыч. В дальнейшем мы не будем ею пользоваться и огрзничимся лишь ее формулировкой. Теорема. Пусть 5 — измеримое множество конечной меры и ~„(Р) — последовательность измеримых на $ функций, которые принимают почти везде на 5 конечные значения и сходятся почти везде на Рэ к функции 7 (Р), также принимающей почти везде на Р конечные значения. 77рсс зто.и для всякого заданного положительного г существует такое замкнуптое лсножество Г, принадлежащее Рл, что 0® — Р)(а и сходилсость ~„(Р) — 7"(Р) на Р равномерна. 4б. Свойство С. Можно показать, что измеримость функции равносильна некоторому лругому свойству — саойстач С, которое определяется при помощи понятия непрерывности. !!релварительно введем некоторые новые понятна.
Функция 7(Р), определенная на замкнутом множестве Р, назьсвается н си р е р ы в н о й в т о ч к е Р, этого множества, если для любого заланного положительного а существует такое положительное Ч, что ~ 7(Рь) — 7(Р) ((т если Р Е Р и принадлежит ч-окрестности точки Р,.
Ф у н к ц и я 7(Р) н а з ывается непрерывной на замкнутом множестве Р, если она непрерывна в каждой точке этого множества. Отметим, что, в силу данного выше определения непрерывности, любая функция непрерывна в изолированной точке Р, множества, т. е. в такой точке, у которой некоторая ее с-окрестность не содержит никаких точек Р, кроме Р,. Указанным выше образом можно ввести определение непрерывности функции и на любом, не обязательно замкнутом, множестве. Введем еще новое понятие. Определение.
Говорят, члю функция Х(Р), определенная на измеримолс множестве 6, обладает на этом множесслве свойством С, если для любого заданного ноложилсельного э существует лсакое замкнутое множество Р, принадлежащее $, что, во-первых, 6(у — Р) ( ь и, во-вторых, 7(Р) непрерывна на Р. Равносильность свойства С и измеримости устанавливается следующей теоремой, которая была доказана в 1913 г. акад.
Н. Н. Лузиным. Теорема. Если функция 7(Р) определена на измеримолс лсножесслве 6 конечной меры и имеет почти везде на $ конечные значения, то для измеримости эслой функции необходимо и достаточно, чтобы она на $ имела свойство С. Мы не булем пользоваться этой теоремой и на доказательстве ее не останавливаемся.
46. Кусочно-постоянные функции. Мы определим сейчас некоторый класс функций, которым часто пользуются з теоретических исследованиях. Определение. Функция 7(Р), определенная на измеримом множестве р, называется кусочно-постоянной на этом множестве, если она принимает на р лишь конечное или счетное множество значений. Пусть сь (й = 1, 2, ...) — различные значения, принимаемые функцией 7"(Р) иа $, причем среди этих значений могут быть знз- 137 40) кусочно-постоянныв Функции чения ( — со) и (+со).
Для измерим ости г(Р), очевидно, необходимо и достаточно, чтобы множества точек фаи на которых у(Р) равно с», были при всех й измеримымиым и [42[. В дальнейшем мы будем рассматривать только измеримые кусочно-постоянные функции. Введем новое понятие. Если ф' — некоторое множество точек, то характеристической функцией этого множества назовем такую функцию шз (Р), определенную на всей плоскости, что шв (Р) =1, если Р принадлежит ф' и шг (Р)=0, если Р не принадлежит 5'. Кусочно-постоянная функция 7(Р) есть линейная комбинация характеристических функций: у'(Р)= ~Г с»шв (Р), причем Р принадлежит $.
Поскольку В» не имеют общих точек (с» — различные числа) в написанной сумме только одно слагаемое отлично от нуля, кроме случая, когда с», соответствующее выбранной точке Р, равно нулю. В последнем случае все слагаемые равны нулю. Характеристическая функция шз (Р) измерима, очевидно, в том и только в том случае, если 5' — измеримое множество. Мы покажем сейчас возможность получения измеримых функций как пределов кусочно-постоянных функций. Мы ограничимся при этом случаем неотрицательных функйий. Теорема 1.
Для всякой неотрпиательной ограниченной и излгерильой на измеримом множестве 5 функции существует возрастающая последовательность У'„(Р) неотрицательных измерплгых кусочно-постоянных на ф функций с конечным числом значений, которая равномерно на гь стремится к 7" (Р) в каждой точке Р. В силу ограниченности 7" (Р) имеется такое положительное число Е, что 0-=-7 (Р) (7.. Промежуток [О, Л] делим на 2" равных частей точками х»=й2» (н=1, 2,..., 2" — 1). Введем в рассмотрение измеримые множества и [[й 2.
~у(Р) ((й+ 1) 2т1 и построим последовательность функций 7"„(Р) следующим обрэзом: л'„(Р)=И вЂ” „, если Р с э[ . (1О) Нетрудно проверить, что последовательность 7"„(Р) удовлетворяет всем требованиям теоремы. Каждая из функций 7"„ (Р) принимает на $ конечное число значений. Далее при переходе от п к и + 1 каждый промежуток [и 2з (7г+ 1) 2 ~ [46 ьь нкции множвств и интвггьл лааага разобьется на два ~ 2Г( 2»т (2'а + 1) 2»ьт~ и ~ (2(ь + 1) 2»ю, (2н -! — 2) 2яьт и тем самым каждое из множеств 5» разобьется на два множества: (л( На множестве Р~а»~ ' функция Г„(( (Р) равна тому же числу Г.
,ьч А —, что и функция )'„(Р) на всем л(нох(естве 6», а на множестве 5»»+( функция ~'„~((Р) равна (л -(- н и, следовательно, последовательность функций у„(Р) есть возрастаюц(ая последовательность. Далее,на любом множестве Р» имеем из У»(~) — 2ь 2 У( )~( + )2"' О У(Р) — У„(Р) <-х Тем самым А Х» 2ь (/г=1, 2, 3, ). Определяем опять множества р» = р ~~ чл ==у(р)( „! и функции (ь( Г» »+1'! хь 1„(Р)=; — „если Р Е Рь"'. (11) во всех точках Р, принадлежащих 9, откудз и следует, что последовательность Г"„(Р) стремится к у(Р) равномерно на Р.
В следуюц(ей теореме мы рассмотрим тот случай, когда Г(Р) может быть неограниченной. Теорема 2. Для всякой неотрицательной, принимающей конечные значения и измеримой на множеспгве $, функции )(Р) существует возрастающая последовательность У'„(Р) неотрицательных кусочно-постояннь(х на $ функций, которая равномерно на $ стремится гс Г(Р). В данном случае делим на части бесконечный промежуток [О, + оо) при помощи точек 139 класс В 4Т] Совершенно так же, как и в предыдущей теореме, можно показа~ь, что последовательность у'„(Р) удовлетворяет всем требованиям теоремы. В случае неограниченности функции у(Р) функции у„(Р) будут принимать счетное число значений. Если отказаться от равномерности приближения, то можно ограничиться кусочно-постоянными функциями с конечным числом знзчений. Кроме того, в следующей теореме мы будем считать и (+ со) возможным значением функции у(Р).
Теорема 3. Для всякой неотрицательной изл(еримой на измеримом множестве ф функции существует возрастающая последовательность о„(Р) неотрицательных кусочно-лостоянных на 5 функций с конечным число,к конечных значений, которая стремится к Г (Р) в каждой точке ф. Кроме множеств йь предыдущей теоремы, построим еще мно(л> жество 5ь = гь [у(Р) =+ со] и введем последовзтельность функций ~ь„(Р) следующим обрззом: ч„(Р)= T„(Р), если у„(Р)~п и ч>„(Р)=п, если г"„(Р))л или РЕ Вь. Нетрудно видеть, что функции 1>„(Р) удовлетворяют всем требованиям теоремы.
В дальнейшем нам придется пользоваться упомянутыми теоремами. 47. Класс В. В [41] мы укзззли некоторое замкнутое тело точечных множеств, такое, что всякое множество, принадлежащее этому телу, входит в любое тело множеств Ео. Совершенно анзлогично мы укажем сейчас некоторое семейство функций, такое, что любая функция этого семейства является измеримой функцией при всяком выборе измеряющей функции 6 (а).
Определение. Функция г (Р), определенная на множестве ф, измерлмол( В, называется В-функцией, если множества Я[у)а] Я[у(а]; ф[у)а]; $[у-- а] для любого вещественного а суть лсножества, изл(еримые В. Из этого определения непосредственно следует, что всякзя В-функция измерима при любом выборе 0 (а). Можно указать другое определение В-функций, вполне аналогичное тому определению множеств, измеримых В, которое мы приняли в [41].
Рассмотрим всевозможные семейства функций, обладающие следующими двумя свойствами: во-первых, семейство содержит все функции, непрерывные на ф, и, во-вторых, если семейство содержит последовзтельность функций ~'„(Р), сходящуюся в каждой точке 5, то это семейство содержит и предельную функцию. Семейством В-функций назовем семейство функций, принадлежащих всем семействам функций с указанными выше двумя свойствами.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
