1610915356-5872c4d4ad41802c73f2f3fcece03aba (824746), страница 38
Текст из файла (страница 38)
р (8; 7)= р(7", х) и (д, г")=(7", 8). Лля того, чтобы последовательность элементов имела предел в нашем функциональном пространстве, необходимо и достаточно, чтобы она сходилась в себе, т. е. для любого заданного в существовало такое 7тГ, что!~ У вЂ” )'„(1(з при и и т)Дг. Последнее свойство называют обычно полнотой пространства Ем Неравенство (77) справедливо, очевидно, и для любого конечного числа слагаемых: р» Х ) ~ р (Л Л) + р (Л Л) + " + р (У У ) или ~(У,— Г" '~()У,— г",'~+(~У,— Л()+ ...
+Ц„,— 7" '). (77) а Совершенно аналогично предыдущему можно построить функциональное пространство А, и для комплексных функций (54). Функция г(Р) = г1(Р)+ гуя(Р) называется функцией из Ем если У,(Р) и уя(Р) принадлежат Лм При этом квадрат модуля ) У(Р))' есть суимируемая функция. Теоремы ! и 2 сохраняются. Неравенства (67) и (69) переписываются в виде ~ Уаа«(й) ~ ~ И'О«Ф) ~!8~'ПИВ) ~Г~ ~У-~-8~ а«(й) У'~ »~ а<ЫВ)+ 1У'~ ~дР'а«(В).
з з (78) 17(= ~/ ~ ~ура«®, В определении сходииости в среднем и сходимости в себе квадраты разности (г" — 7"„)' и »„ — г" )' надо заменить квадратами людулей разностей )У в У„!а и ( У„ — У,„!'. Теореиы 7 и 8 сохраняются. При построении функционального пространства допускается умножение не только на вещественные, но и на комплексные числа. Нориа элемента определяешься формулой 174 [68 ФУНКЦИИ МНОЖЕСТВ И ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГЛ а скалярное произведение формулой (У к) = ~ Й ()(й8), (80) где символом а мы обозначаем, как всегда, комплексное число, сопряженное с а. По-прежнему имеет место формула (77).
Расстояние между элементами определяется формулой (76) с заменой (г" — е)Я на ) Р— у!', и оно имеет те же своИства, что и для вещественного пространства. Для скалярного произведения имеем формулу (е, у)=(7; е). Все сказанное о пространстве комплексных функциИ непосредственно вытекзет из того, что функции 7",(Р) и 7",(Р) принздлежат вещественному пространству йм Функциональное пространство 7.я называется часто функциональным пространством Гильберта.
Отметим один чзстный случай. Положим, что функция 0(8) соответствует сосредоточенным массам, помещенным в точках Ри Р„..., Р и равным единице. При этом интеграл Лебега — Стилтьеса для любой функции 7(Р), принимающей конечные значения в указанных точках, по любому множеству 5, содержащему вышеуказанные точки, превращается в конечную сумму Если рассиатривать значение всякой функции 7"(Р) в точках Рь(7г = 1, ..., т) как составляющие некоторого т-мерного комплексного вектора, то получим т-мерное пространство Й , теорию которого мы излагали в третьем томе [Ш, 26[. Данные выше определения сложения, умножения на число, нормы, скалярного произведения и т. д.
совпадают с тем, о чем говорили раньше. ~7,(Р), ~7я(Р), (81) заданные на измерилгом множестве $ конечной меры и принад- лежащие ум образуют ортогональную и нормированную сястему, если выполнены условия '[ Ч (Р) ~ь (Р)О(йй)= 1 ( 1 при й=й (82) 68.
Ортогонвльные системы функций. В непосредственной связи с функциональным пространством 7., находится теория ортогональных систем функций. Мы уже излагали эту теорию раньше [ГЧ; 38, 80[. Сейчас дополним это изложение, вводя в него попятив интеграла Лебега — Стилтьеса или Лебега. Мы будем сначала говорить о вещественных функциях. Определение. Говорягп, чгло фуннцггн 17о оггогонлльныв системы чгнкции 681 Для любой функции 7"(Р) из 7., мы можем составить ее коэфф ц и е н т ы Ф у р ь е относительно системы (81): (8 3) и ее ряд Фурье У а„е„(Р). (84) Относительно сходнмости этого ряда мы ничего утверждать не можем, но мы можем образовать отрезки этого ряда: л Я„(7)= ~~ ааоа(Р). ь=! (85) Выражение (86) и ~ ( г (Р) Я„(У)1'0 (в!5) = ~ /я(Р) 0 (г($) — ~) аа, (87) В 5 й-! из которой вытекает неравенство Бесселя: ~~ аа( ) уа(Р)0(гг8) й~! $ (88) и сходимость ряда, стоящего в левой части этого неравенства.
Если в формуле (88) имеет место знак =, то полученная формула 1 У'(Р) 0 (!В) = у аь в й-! (89) называется ура внен и ем замкнутости. В силу (87), ура вне. ние замкнутости равносильно тому факту, что отр е з к и р я д а Ф у р ь е Я„Ц) с т р е м я т с я в с р е д н е м' к ф у н кции 7"(Р). Докажем теперь следующую основную теорему. имеет наименьшее значение, если коэффициенты 7!а взять равными коэффициентам Фурье аю При этом для выражения (86) получаем следующую простую формулу: 176 168 ью!кции множяств и интвгвлл лвввгл Теорема 7 (Рисса — Фишера). Если с„— любая заданная последовательность вещественных чисел, квадраты которых образуют сходнщийся ряд СО ~~ сь(+со, ь=! (90) иьо существует единственная функция из 7.ь, для которой числа с„ суть ее коэффициенты Фурье относительно системы (81) и для которой имеет место формула замкнутости (89).
Образуем функции 8„(Р) = (ь' сл, (Р). ь-! (91) В силу ортогональности и нормированности системы (81) имеем ~ (Яч(Р) — 8 (Р))!0(85)=свая-!+ ср ь+ ... + счь, (!7)р) и из сходимости ряда (90) вытекает, что правая часть написанной формулы стремится к нулю прн беспредельном возрастании р, т.
е. последовательность функций (91) из Еь сходится в себе. Следовательно, су!цествует такая функция 7(Р) из 7 и к которой $„(Р) сходятся в среднем: 1нп ~ [ДР) — 8„(Р)]' 0 (Н5) = О. (92) Покажем, что с„суть коэффициенты Фурье а„этой функции. Принимая во внимание (83), а также ортогональность и нормированность системы (81), можем написать У(Р) — 8„(Р))ь 0 (йР) = ь ь =[ ~уь(Р)0(йЯ 5 аьт+ ~ (сь — аь)Я. (93) ь-! ь=! В правой части разность, стояпгая в квадратных скобках, неотрицательна в силу неравенства Бесселя. Остальные слагаемые правой части также неотрицательны. При и -ь оо левая часть стремится к нулю и, следовательно, то же можно утверждать и о правой части. Отсюда непосредственно следует, что каждое из неотрицательных слагаемых (сь — а„)' равно нулю, т.
е. сь — — аь, что мы и хотели доказать. Таким образоь!, функции (91) суть отрезки ряда Фурье 68! оетогонлльныв системы Функций функции у(Р), и из (92) непосредственно следует, что для 1 (Р) имеет место формула замкнутости. Остается доказать, что функция((Р) с указанными выше свойствами единственна. Если кроме у(Р) сушествует еще функция я (Р) с указанными свойствами, то (91) суть отрезки ряда Фурье как для У(Р), так и для я(Р). По условию, уравнение замкнутости имеет место как для у(Р), так и для я(Р), т. е.
последовательность Ь'„(Р) стремится в среднем как к)(Р), так и к «(Р). В силу единственности предела в Ая отсюда следует, что у(Р) и я(Р) эквивалентны, т. е. представляют собой один и тот же элемент Ем и теорема полностью доказана. Введем теперь определение замкнутости систем. Определение.
Ортогональная и нормивованная система (81) называется замкнутой, если для любой функции У(Р) из г, имеет место уравнение замкнутости (89). При докззательстве теоремы 1 мы не предполагали, что система (81) замкнута. Если это имеет место, то не надо оговаривать, что для функции имеет место уравнение замкнутости, так как по определению замкнутых систем это имеет место для любой функции из г'.я. Поэтому для замкнутых систем теорема 1 формулируется так: Теорема Р. Если система (81) замкнута и с„— любая заданная последовательность вещественных чисел, для которой ряд (90) сходится, то существует единственная функция из Еы для которой числа с„сурьь ее коэффициенты Фурье. Кроме понятия замкнутости сястемы, вводят еще понятие полноты системы.
Определение. Система (81) называется полной, если в 1.я не существует функции, отличной от нуля (т. е. не эквивалентной нулю) и ортогональной ко всем сьь(Р). Мы покзжем сейчзс, что понятия полноты и замкнутости эквивалентны. Теорема 2. Яля того чгпобы система (81) была полной, необходимо и достаточно, чтобы она была замкнутой. Доказываем необходимость от обратного. Дано, что система (81) полная и положим, что она не замкнутз, т.
е. существует такая функция й(Р) из ья с коэффициентами Фурье а„, что СО ~ )г'(Р) О (с(9) ) ~~ !Тв. (94) з ь=! С другой стороны, согласно теореме 1, существует функция з'(Р) из ь, с теми же коэффициентаии Фурье а„, для которой имеет место формула замкнутости (89). Сравнивая эту формулу с (94), получаем йа(Р)О(йй)) ~ У'(Р) О(йф). (95) Но разность г(Р) — й(Р) имеет все коэффициенты Фурье равные нулю, т. е.
она ортогональна ко всем оь(Р) и, в силу полноты, 178 [88 ФУНКЦИИ МНОЖВСТВ И ИНТЕГРАЛ ЛВБВГА упомянутая разность эквивалентна нулю, т. е. Ь(Р) и у(Р) эквивалентны, а это противоречит (95), и таким образом необходимость доказана. Локазываем достаточность. Нано, что система замкнута, и надо доказать ее полноту, т. е. надо доказать, что если все коэффициенты Фурье некоторой функции г"(Р) равны нулю, то эта функция эквивалентна нулю. Поскольку предполагается замкнутость системы, мы можем для функции ДР) написать уравнение замкнутости (89), которое, в силу равенства нулю всех коэффициентов Фурье функции У(Р), даст нам ~ уз (Р) 0 (г(В) = О, откуда и следует, в силу свойства 8 из (81), что 7" (Р) эквивалентна нулю.
Отметим, что для любой системы функций ф„(Р) из Е! применим процесс ортогонализацни, который мы описали раньше 1%", 38]. Все сказанное выше непосредственно обобшается и на случай комплексных функциИ из Ьм Свойства ортогональности и нормированности системы (81) выражаются при этом равенствами: (ь!Л!в,лакн=("""'~' ЛФ з 1 при И=7, а коэффициенты Фурье определяются формулами: ал= ~ Г (Р) Ф„(Р) 0 (Г(Б). (97) з В дальнейших формулах мы везде вместо квадратов функций и чисел должны писать квадраты модулеИ. Так, например, уравнение замкнутости будет иметь вид ~МРН 0(В)='~ ~,Г. з А=! (98) ~ ~,г + ~ !! 0 (г(В) = ~ ~ ал + Ь„(', з л 1 ~ ) г" + гй ~' 0 Щ) = ~ ( ал + гЬл (~, Й л=! Указанные выше теоремы сохраняются, но только вместо ряда (90) мы должны рассматривать ряд из чисел (с„!'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
