1610915356-5872c4d4ad41802c73f2f3fcece03aba (824746), страница 41
Текст из файла (страница 41)
Из черт. 3 следует, что знак = в формуле (116) имеет место в том и только в том случае, когда точка пересечения прямых х= а и у = Ь лежит на кривой у= х", т. е. при Ь= а". Положим далее, что положительные числа а» и Ьа (Ь = 1, 2, ... и) удовлетворяют соотношениям ь л н ) Ьл'=1. ~ а'я=1 (118) Подставим в (116) а=аь и Ь=Ьгн Суммируя по Ь и принимая во внимание (117) и (118), получим х' Щ(1. ь=! (119) Рассмотрим теперь любые положительные числа аа и Ьа и обо- значим А ~а~ я В ',РЬ„Ф (120) т.
е. ~ааЬь( ~ а)' ~~ Ьал' я' (121) Переходя к пределу, получим аналогичное неравенство и для бесконечных сумм ~.' аьЬь ( ~ а~а Я 'Я ЬР и (122) причем считаем, что ряды, стоящие справа, сходятся. При этом и ряд, стоящий слева, в силу написанного неравенства, будет сходящимся. 11екоторые из чисел а„ и Ьь могут равняться и нулю. Для комплексных чисел мы, пользуясь очевидным неравенством ( ~~,ааЬа ~ =. ~ '1 па Й Ьа ~, Числа аь =аь: А и Ьь =Ь„: В удовлетворяют, очевидно, соотно- шениям (118), и мы имеем, следовательно, для них неравенство (119), которое в данном случае может быть записано в виде л ~ аьЬь ( АВ, ь=~ 190 [62 Функции множрств и интвгРАЛ лявегА можем написать предыдущие нерзвенства в виде [ ~аАЬА ~((Я[аь !Р) (~ [ЬА !Р)~ (123) Выведенные неравенства называются обычно н е р а в е н с т в а м и Гальдера для с умм.
При р=р'=2 они превращаются в обычное неравенство (105) из [59[. Совершенно аналогичные неравенства имеют место и для интегралов. Положим, что 7(Р) Е тр и к (Р) с тр ° В силу (116) имеем которые мы пишем лишь для интегралов Лебега (оно верно н для интегралов Лебега — Стилтьеса). Оно получается обычным образом из неравенства (122) при помощи предельного перехода. Пусть Ьл и Ь," — беспредельно измельчающиеся последовательности подразделений Лебега для [У! и [л[ и вл=й„'3„" — произведение этих подразделений. Пусть 6А — составные части множества 6 в подразделе(л1 нии Ьл, а гла„и ть „— точные верхние границы значений (~) и [и ) на 5~А~. Принимая во внимание (117), можем написать (61);г) = ~'., Ачл,лгл (6'~') глл „гл~ (617,'), л А ! 1 Применим теперь к числам аь = та „'т р (6 А ) и ЬА —— та лт р (Й л ) — рг 1лж неравенство Гйльдера ~ та лта' лГЛ [51А~) ( (~ ЛГ ~Нлт (В~~А1) ) р (Х ГЛАРлГЛ (ф~йа~) 1 р (125) Обозначим через ть л точную верхнюю границу значений произ- ВЕДЕНИЯ [У)[д! На [фр).
КЫ ИМЕЕМ, ОЧЕВИДНО, НЕРаВЕНСУВО ГЛАл( ~та„тл',„, и из (125) следует ~ тр лГЛ (5~А~) ( Д'', ГЛАРлГЛ (5~"„~) ) р (~', т„Р т ®~) ),.р л [ у(Р) (Р)[ ~ ~у(Р)[ [ ~К(Р)~ ' Р Р Правая часть суммируема по условию, а потому и произведение у(Р)А (Р) есть суммируемая функция, т. е. если 7(Р) ~ Ер и п(Р) Е Ерч то произведение ~(Р)д(Р) есть с ум мируема я функция (ср. теорему 1 из [651). Лля интеграла от этого произведения имеет место неравенство Гальдера, аналогичное неравенству (67) из [55! 62] Гй! НВРЛВЕНСТВА ГВЛЬДВРЛ И МИНКОВСКОГО Переходя к пределу для последовательности подразделений Лебега, получим 1 у 1 (!у!1~!д Ф~(1!г! а о~ ) !61'а д~ (а, + Ьд)Р=(ад+ Ьд)~ 'а, +(ад+ Ьд)Р 'Ьд, получим ~(ад+Ьд)Р=~(ад+Ьд)Р !ад+~(ад+Ьд)Р 1Ьд.
Применяя к суммам, стоящим справа, неравенство Гельдера, при- дем к неравенству ~~ (ад + Ьд)д ~ (~' ад) (~ (а + Ь,)1' '!'") Р + 1 1 + (~ Ь~!) ' (~ (ад + Ьд)! Р ! 1и) Р Но, в силу (117), р'=р:(р — 1), и последнее неравенство переписывается в виде 1Г 1 1-1 ~',(ад+ Ьд)д = l~' (ад+ Ьд)Р) Р~(~ адя)Р + (ЯЬА)Р ~ Деля обе части на множитель, стоящий перед квадратной скобкой, приходим к неравенству Минковского для сумм 1 1 1 (~(ад+ Ьд) )д ~ (~ ада)Р+(~ЬА)Р ' (! 27) Из этого неравенства совершенно так же, как и выше, следует интегральное неравенство Минковского при 7(Р) и п(Р) Е 7р 1 1 1 если принять во внимание, что ) У+ д! =-!7"!+ ! 8 !.
Неравенства (127) и (128) выведены нами в предположении р ь1. Они очевидны при р=!, но уже перестают бьыь справедливыми при р(!. Пользуясь выведенными нерзвенствзми, легко доказать для семейства функций 7.р(р) 1) те свойства, которые мы раньше имели для откуда и вытекает непосредственно (124). Докажем еще неравенство, аналогичное неравенству (69) из [Щ. Сначала рассмотрим случай сумм. Пусть, как и выше, ад и Ьд— последовательность положительных чисел. Суммируя очевидное равен- ство 162 192 вгнкцни множяств и интвгвлл лвввга Ем прячем считаем функции комплексными.
Перечислим эти свойства, следуя 165~. Если у(Р) Е Е и я (Р) Е 7.р (р) !), то Г"(Р) и прои=- ведение 7(Р) д (Р) суммируемы на 5. Это следует из (124). Если у(Р) и й(Р) Е (р и с — постоянная, то с У(Р) и 7(Р)+а"(Р) с 7р (р) 1). Это следует из (128). Говорят, что последовательность функций у„(Р) из 7.р сходится в среднем в 7.р (р'»1) нли сходится в среднем с показателем р к функция 7(Р) нз 7., если !пп ~ ! У(Р) — У„(Р) /" О(НЕ) =О. л сэ ° В Предел в среднем в 7.р единственен с точностью до эквивалентных функций.
Если У„(Р) — 7"(Р) в среднем, то из последователь- ностиУ„(Р) можно выделить подпоследовательность У„„(Р), которая сходится почти везде на й к 7(Р). Сходимость в себе определяется условием, аналогичным (72), ~ !Л (Р) — У (Р) ~ О ( Ф) ~ при и и т) дг, и сходимость последовательности 7".„(Р) в себе в 7. является необходимым и достаточным условием того, что эта последовательность сходится в среднем к некоторой функции нз 7.
(и ) 1). Если У„(Р) У(Р) в 7.р и 8„(Р) д(Р) в 7р (р ) 1), то 1пп ~ )в(Р)Я (Р)ОфЕ)= ~У(Р)й(Р)О(сф). $ В Лалее в 7р может быть введена норма (р) 1): 1 щ=(1 ~пн~ анв>~' 1.$ н расстояние между двумя элементами $ (Г", л) =17" — а ~( причем имеет место равенство ),ст"(Р)))= (с()У(Р)) н правило треугольника. Докажем егце, что если г7)Р и 7(Р) Е Ля, то У(Р) Е 7.р. По условию ~ (У(Р)Р а(7Е)=А<+ Рассмотрим интеграл: ~ (У(РИ а(т)= ~ ~У(Р) ~ О(ИВ)+ ~ ~У(Р) ~ла((Е)~ В ВН Нлн Ы ВОЮ~э» =а ~ О((В)+ ~ 1У(Р) ~ О(ИЕ)=О(Е)+Л, 631 интвгглл по муожГству ввсконвчной мввы 193 о~куда и следует, что 7(Р) ~ ую При доказательстве мы использовали тот факт, что мера О (5) мйожестза, 5 конечна.
Но в Л (при р ~ 2) мы не имеем скалярного произведения, которое имели в Е, Совершенно так же, аналогично 7м мы мохсен ввести прострзнство 7, элементы которого суть бесконечные последовательности кол|плексных чисел (х„ х,,...), таких, ыо ряд, составленный из )хь)я, сходится.
Он обладает при р) 1 свойствами, аналогичными свойствам Е„ совершенно так же, как это выше имело место для Е по отношению к ум В Ер(р ~ 2) нет скалярного произведения и нет той связи с Ер, которая была нами установлена между Е, н ум Неравенства (106) и (107) заменяются неравенствами (122) и (127), в которых аь = ) хь / и Ь, = ) уь /. 63. Интеграл по множеству бесконечной меры. До сих пор мы рассматривали интеграл на измеримом множестве Р конечной меры. Распространение на случай множеств бесконечной меры производится по существу так же, как это мы делали при определении интеграла Римана по бесконечному промежутку.
Пусть на измеримом множестве Р бесконечной меры задана измеримзя и неотрицательная функция у(Р). Рассмотрим какую-либо возрастающую бесконечную последовательность множеств конечной меры (129) В~с:Вас: — Ва~ для которой 5 является предельным множеством.
Мы можем постро- ить множества 5„, например, как произведение множества 5 на про- межуток Л„( — л ~ х (+ и; — и (у(+ и). Для ограниченных мно- жеств существуют интегралы ~ У(Р) а(бй), (130) которые в силу неотрицательности у(Р) не убывают при возрастании и. Предел монотонной последовательности (130) мы и назовем интегралом от У(Р) по 5: ~ У(Р)О(г(Ы) = 1!ш ~ У(Р) О(Н5). в Фл (131) Отметим, что интегралы (130) могут равняться и (+ со).
При этом и интеграл от у(Р) по р также очевидно равен (+со). Может случиться, что все интегралы (130) конечны, а интеграл по Р равен (+ос). Для того, чтобы оправдать данное выше определение интеграла, мы должны показать, что предел числовой последовательности (130) не зависит от выбора моногонно возрастающей последовательности множеств р„. 194 [63 Функции множгств и интвгилл лвввгл Теорема. Прсс любо.и выборе возрастаю«цей последовательности измерсс,ссьсх множеапа 6л конечной,веры, стрелсяисейся сс 5, интегралы (130) имеют один и псот же предел. Доказываем от обратного. Пусть кроме последовательности множеств (129) имеется другая возрастающая последовательность множеств конечной меРы Рс'с 6«'~6« с:..., имеющаЯ 6 пРедельным множеством, и такая, что мы имеем различные пределы последовательности интегралов (130) для множеств $л и Р,„'.
!нп 1 г(Р)0(йР)=а и 1нп [ у(Р)0(а«Р)=Ь)а. (132) л оо л — оо ал ал Число а во всяком случае конечно, и мы имеем '[ у(Р) 0(с(6) =а Вл (и=1, 2,...) (133) Положим сначала, что и число Ь конечно. Выбрав положительное число с Ь вЂ” а, можем фиксировать такое значение целого положительного числа т, что ~ [(Р) 0 (й6) ) а + с. (134) В силу неотрицательности у(Р), ~ ~(Р) 0(й6) (135) Рассмотрим множества 5' 6„. При возрастании и они возрастают, и, поскольку для фл предельным множеством является 5, для множеств Р' Р,„ предельным множеством будет 5~, откуда следует, что ! нп 0 (Р ' — 6' 5„) = О. л со (136) 1пп ~ ~(Р)0(йР)= ~ У(Р)0(йР), л ооь'6 Так как Ь конечно, то [(Р) суммируемо ««а 6 , и, в силу формулы (136) и абсолютной непрерывности интеграла от у (Р), мы имеем 631 интвгяал по множвству ввсконвчной мвг!я 195 а это противоречит неравенствам (!34) и (135).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
