1610915356-5872c4d4ad41802c73f2f3fcece03aba (824746), страница 43
Текст из файла (страница 43)
Берел~ какое-нибудь Ь) О, полагаем и (Р)=0 на и(а„ границе Ь „ и продолжаем м (Р) на весь промежуток Ь , с сохранением непрерывности и без повышения шах ! з (Р) / [1Ч:167). Вне Ь,а полагаем и(Р)=0, так что а(Р)=0, так что м(Р) — финитная непрерывная функция. Принимая во внимание сказанное выше, получаем тай ~~ гв' +~~У твй — а 4 + Я~вб — а + + чтвй — ~~ 4 + 2 + ~~т ~~$ Но//р/~'6, равна интегралу от !и(Р)Р ио Ь „— Ь . Для интеграла Лебега: [ р (Р)/Я г(хс(у ( М' (lт' + 2 гни), "м+а ~м и выбираем й таким, что Мя(Ь'+2тп) ( ---, после чего получ1ем !!~ — ~Ц' (аа, что и требовалось доказать.
Аналогичное утверждение справедливо и для интеграла Лебела-Стилтьеса, Как и выше, доказывается теорема 2 из [60[. Отметим, что для интеграла Лебега полиномы не принадлежат Е,(6 ). Если 5— любое измеримое множество, то, продолжая функции из Е,(5) на р, нулем, получим функции из Е, ® ).
Исходя из этого, мы можем распространить все сказанное выше и на случай любого неограниченного измеримого множества. В качестве примера замкнутой ортогональной системы на промежутке ( — со, + со) приведем функции Эрмита [В1„ 166] — ы д" ! пь(х) =( — 1)"е а — ь (е — -"') 66! ннтвггягуюшая Функция огваннчвнной Вавнлцнн 201 и на промежутке (О, со) — функции Лагерра (И1,; 160) я фа (х) = е а — ь (жье — «). я'хь Оба примера относятся к интегралу Лебега.
Простое докззательство замкнутости этих систем имеется в книге Гнльберта — Куранта „Методы математической физики", т. 1, с1р. 88. Сказанное выше о т'., ® ) непосредственно переносится н на Лр(5 )(р~ 1), как это имело место н для случая ограниченного множества, а также на случаи комплексных функций. 66. Интегрирующая функция ограниченной вариации. До снх пор прн изучении интеграла Лвбега — Стилтьеса. мы предполагали, что функция 0(9) неотрнцательнз. Мы переходим сейчас к тому случаю, когда интегрирующая функция 0 (5) получается яз функции промежутков О(Ь), которая является функцией ограниченной варнацнн.
Для такой функции мы имеем каноническое представление в виде рззностн двух неотрицательных функций ОР)=О,(~) — Оя(й), О (Ь) = — (Ъ'(Ь)+ 0 (Ь)]; 0,(Ь) = — [Ъ'(Ь) — О (Ь)), где и Ьг(Ь) есть полная вариация 0 (Ь) на промежутке Ь. Каждая нз функций О,(Ь) и 0,(Ь) приводит к неотрицательной, адднтивнои я нормальной функция 0,($) н О, ®) на замкнутом теле 'множеств Ло, н У.о,. Обозначим через ьо замкнутое тело множеств, являющееся общей частью т'.о, н Ао,. На этом теле определяется вполне адднтнвная н нормальная функция 0(6)=0 (Ф) — 0 (6).
Возьмем неотрицательную, адднтявную я нормальную функцию промежутков ~'(б) = О, (~) + О, (Д). Ее распространение приводит к функции (г(9), определанной на замкнутом теле Ею Пользуясь последнеп формулой я неотрнцательностью функции О;(Ь), легко показать, что Лк есть общая часть со, н г.о,, т.
е. т.к совпадает с Ео. Сначала надо показать, что для любого множества 6 внешняя мера относительно функций г'(Ь), т. е. ) 5 )ю равна сумме внешних мер относительно О, (Ь) н 0,(Ь), !гэ!к= ~В~а~ + ~гя1а, ° За~ем, пользуясь определением нзмернмости, легко показать, что если 6 измеримо относительно Ъ'(Ь), то 5 измеримо относительно О, (Ь и Ояа) а также, наоборот, если оно измеримо относительно О,(Ь) н 0,(ц), то оно измеримо н относительно 202 165 Функции множеств и ннтвгРАл лвввга (г(Ь). При интегрировании надо рассматривать класс функций у(Р), измеримых относительно 1г(Ь), т. е. класс функций, измеримых одновременно относизельно 0,(Ь) и Ов(Ь).
Интеграл определяется естественно формулой ~ У(Р) О (~6) = ~ У(Р) О, ((6) — ~ У(Р) О, ((6), и его существование обусловлено существованием интегралов, стоящих справа, причем мы счи~аем, что оба эти интеграла имеют конечные значения. В противном случае правая часть написанной формулы может привести к неопределенному выражению. Лве функции называются эквивалентными, если они эквивалентны относительно (г(6). Своисгва и~втеграла 1, 4, 5, 7, 8, 9 из [62) сохраняются без изменения.
В свойстве 3 вместо неравенствз (16) имеем неравенство 1" па~авва~ ~ ~наваляв Б свойстве 6 вместо сходимости ряда (49) мы должны потребовать сходимость ряда ~ МР) ~ 1'(св6), в=1 ав и, наконец, в свойстве 1О вместо неравенствз (50) будем иметь неравенство ) ГВа~а(ав) ~ ) тва)ававв Согласно определению интеграла, суммируемыми функциями будут функции, суммируемые относительно (г(6). Теоремы 1 и 2 из (64) о предельном переходе остзются без изменения.
Нетрудно распространить понятие интеграла и на тот случай, когда функция 0 (Ь) является комплексной функцией: О (Ь) = О' (5) + 0" (Ь) 1, где О'(Ь) и 0"(Ь) суть функции ограниченной вариации. Пользуясь каноническим разбиением згих функций 0'(Л) = О,'(5) — Ов'(6); 0"(5) = 0 " ® — 0 " (5), приходим к формуле О (5) = (О, (5) — О,' (и)) + (О,' (Ь) — О'', (Ь)) 5 Функция О (Ь) приводит к функции 0 (6), определенвюй на замкнутом теле Ео, которое является обшей частью замкнутых тел Т-о и 5о" (1 = 1, 2). Определение измеримых функций относи- в в тельно О(6) и инаеграла строится совершенно так же, как и выше, 203 66] ПРиввдвнив квлтных интвггллов причем и интегрируемзя функция может быть комплексной функцией. В случае одного переменного для функции ограниченной вариации мы имеем каноническое представление: я (х) =яс(х) — яь(х) в виде разности двух неубывающих функций, и интеграл запишется в виде сс(х)с(яь(х) = ~ гс(х)с(яь(х) — [ Т(х)с(я (х). Если введем полную вариацию о(х)=я,(х)+е,(х), то будем иметь неравенство ~ у" (х) И» (х) ( ~ ]у"(х) ] Ыо (х), $ з и суммируемость Г"(х) относительно яь(х) и еь(х) равносильна суммируемости у(х) относительно о (х).
~ '] г (ху) асх осу= ~ ~ ~ У(х, у) асу1 ах= ] ~ '] Дх, у) ссх ]с(у. ь а с с а Мы формулируем сейчас аналогичную теорему для интеграла Лебега. Она была впервые доказана итальянским математиком Фубини в 1907 году. Теорема Фубини. Пусть у(х, у) — суммпруемая функция на конечном промежутке а[а -х(Ь; с(у(ст[. Пргг этом функция Дх, у) сулсмнруелса по у на промежутке [с, а] для почта всех значений х яз пролсежугпка [а, Ь], функция Й (х) = ] у(х, у) йу, с (143) определенная почта везде в промежутке [а, Ь/, сумлтруе.на по этому промежутку, и имеет лгесто равенство ь а ~ ] у(х, у) ь(хс(у= ~ ~~ у(х, у) осу~ах. ь а с (144) 66.
Приведение кратных интегралов. Мы переходим к изложению основного результата из теории кратных интегралов Лебега, касающегося приведения кратного интеграла к последовательным простым квадратурам. Напомним соотвегствующие результаты из прежней геории кратных интегралов [П; 97]. Если, например, функция лс(х, У) непРеРывна на конечном замкнУтом пРомежУтке а[а(х =.Ь1 с(у =сь], то имеет место следующая формула приведения двойного интеграла к двум квадратурам: ь е е ь Ю4 [66 ФУНКЦИИ МНОЖЕСТВ И ИНТЕГРАЛ ЛЕВЕГА Соверигенно аналогичные утверждения имеют место и при перемене порядка интегрирования. Прп этом получаетсн формула л» ') '[ ((х, у) йхйу= ~ ~ ~ ((х, у) йх~йх.
(145) с а Отметим, что в указанной теореме интегралы понимаются в смысле Лебега и в этом же смысле, конечно, надо понимать и суммируемость функции. утверждение о суммируемости включает, очевидно, и утверждение об измеримости функции. Обратим внимание на то, что функция (143) может быть определена не во всех точках промежутка [а, Ь), но во всяком случае определена почти везде на этом промежутке. Аналогичное замечание относится и к функции 7(у) = ~ ((х, у) йх.
а (146) 7"(х У) — Х с».Г»(х, У). »с=- ~ (147) Каждая из указанных функций 7»(х, у), по условию леммы, суммируема по у на промежутке [с, й[, если исключить из промежутка [а, Ь] изменения х некоторое множесгво А» меры нуль. Если мы исключим из [а, Ь[ множество А = Ас+ А„+...
+ Ааа имеюшее также меру нуль, то для оставшихся значений х функция (147) будет суммируемой по у на промежутке [с„й). Все функции Ь (х)= ~(»(х, у) йу с будут определены на [а, Ь[ за исключением точек множества А. Далее, по условию леммы, для функций 7»(х, у) справедлива формула (144). Принимая во внимание правила интегрирования суммы и вынесения постоянного множителя за знак интеграла, мы видим, что формула (!44) справедлива и для функции (!47), и тем самым лемма доказана. Для того чтобы сделать доказательство, которое довольно сложно, более отчетливым, мы формулировали теорему Фубини для частного случая.
В дальнейшем укажем различные более общие формулировки этой теоремы. Доказательству этой теоремы предпошлвм несколько лемм. Лемма 7. Если для функций (Я(х, у) 7»(х у) ° ° ° см(х У). суммируемых на промежутке а, справедлива теорема Фубини, то она справедлива п для любой линейной комбинации этих функций 205 66] пяиввдвг1ив квлтных интвггллов й. (х) = ~У. (х, у) йу с (148) определена на [а, Ь], если исключить множество Ал значений х меры нуль. Если мы исклкшим из [а, Ь] множество А, также имеющее меру нуль, то все функции (148) будут определены для оставшихся значений х, т. е. будут определены на множество [а, Ь] — А и, по условию, суммируемы на [а, Ь]. Последовательность йл(х) есть возрастаюпгая последовательность, и мы можем определить почти везде на [а, Ь] измеримую предельную функцию й(х)=]пийл(х).
Принил со мая во внимание, что для функций )„(х, у), по условию, применима теорема Фубини и что предельная функция у(х, у), по условию, суммируема на й, мы можем написать ~ йл (х) йх = ~ ~ у„(х, у) йх йу ( ] у(х, у) йх йу. Отсюда, в силу теоремы 2 из [54], мы можем утверждать, что й(х) суммируема на [а, Ь], и имеег место формула й (х) с(х = 1пп ~ йл (х) ах =! нп ] ~ )л(х, у)йх йу.
л сов л со~ Замечзние. Если относительно функций уь(х, у) дано лишь то, что они измеримы по у на промежутке [с, й] для почти всех значений х из [а, Ь], то то же самое, очевидно, можно утверждать и относительно функции (147), ибо сумма измеримых функций есть также измеримая функция.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
