1610915356-5872c4d4ad41802c73f2f3fcece03aba (824746), страница 49
Текст из файла (страница 49)
Случай одного переменного. Пусть В есть, нзпример, конечнып промежуток [а, Ь]. Вместо 0(В) естественно ввести соответствующую неубывающую функцию точки д(х). Вместо функции множеств вводим функцию точки ш(х)=ср([а,х]), и формула (14) для нее будет иметь вид ш(х)=р([а, х] О)+ ~Дх) г(а(х), (19) (а, х1 и для лебеговых интегралов х ш(х) =у([а, х] Н)+ ~ 7"(х) сгх. а (20) В случае абсолютнои непрерывности су(В) получаем формулы х ш (х) = ~ у(х) всу (х) и ш (х) = ~ у(х) Нх. (21) ~а,хс а Рассмотрилс более подробно случаи интеграла Лебега. При переходе от функции промежутка к функции точки мы можем добавлять к последней постоянные слагаемые и можем написать ш (х) = ~ 7" (х) с(х + ш (а).
а (22) где 7'(х) — измеримая функция, сумчируемая по [а, Ь]. Принимая во внимание абсолютную непрерывность ингеграла от 7(х), мы имеем для функции (22) следующее свойство: л ю б о и у з а д а н н о м у положительному я отвечает такое положительное т), 74) 233 случаи одного пеявмвнного что если (аи, Ьи) (7г=!, 2, ..., и) — не пересек а ющне с я промежутки, для которых и ~ (Ьа — а„) ( т, (23) й-! то ! и [в(Ьа) — в(а„)[ (а. и-1 (24) и ~ ( в (Ь ) — в (а„) ! ( а. и-1 (25) Лействительно, если в(х) имеет указанное выше свойство (24), т.
е. абсолютно непрерывна, то заданному а отвечает такое ть что при выполнении (23) мы имеем ! и 2' и-! (26) Любую систему интервалов (а„, Ьа), удовлетворяющих (23), мы разобьем на два класса, о~неся к классу ! те интервалы, для кото- рых в(Ь„) — в(аа)) О, и к классу И вЂ” те, для которых в(Ьа)— — в(аа)(0. В силу (26) имеем ~'[в(Ь,) — в(аа) != ~ [в(Ь ) — в(а„)[~ 2, 1 ии — иа1= ~~ я1 — и,я и [и откуда и следует (25). Принимая во внимание неотрицательность слагаемых суммы (25) и произвольность л, мы получаем и следую- щее свойство абсолютно непрерывных функций: любому заданному положительному а отвечае~ такое положи гельное н, что если (ал, Ь„)— конечное или счетное множество попарно непересекаюпгихся илнгерва- лов, удовлетворяющих условию ~и(܄— а„)(~), (27) Будем исходить от функции точки и назовем функцию точки в(х), определенную на промежутке [а, Ь[, абсолютно непрерывной н а э т о м п р о м е ж у т к е, если она имеет указанное только что свойство.
Абсолютно непрерывная функция, очевидно, и просто непрерывна, так как, в час гности, можно взять л = 1. Как мы увидим в дальнейшем, суьцествуют монотонные, непрерывные функции точки, которые не являются абсолютно непрерывными. Из указанного свопства вытекает и следующее свопство: любому заданному положительному и отвечает такое положительное ть что если выполнено (23), то 234 ФУНКЦИИ МНОЖЕСТВ. ЛВСОЛЮТНЬЯ НГПРЕРЫВНОСТЬ (уц ТО ~, ~ш(од) — ш(ад)/( д. (28) Наоборот, если выполнено это условие, чо теч более выполнено н первоначальное условие (24), и ш(х) абсолютно непрерывна.
Теорема 1. Сумма, разность и произведение двух абсолютно непрерывных функций суть абсолютно непрерывные функции. Част,(х) ное ' двух абсолюгпно непрерывных функций также абсолютно шд(х) непрерывная функция, если шд (х) не обращается в нуль. Докажем только абсолютную непрерывное ~ь произведения ш, (х) ш,(х).
Функции ш, (х) и ш,(х) ограничены в [а, Ь), т. е. ш,(х) ( =.т, и ( ш,(х) ( =Ге Мы имеем / ш, (Ьд) ш, (Ьд) — ш, (ад) шд (ад) е-. ( шд(Ьд) / ,'ш, (Ьд) — ш, (ад) ) + + / ш, (ад) / ( шд (Ьд) — шд (ад) / ( Гд , '«, (Ьд) — ш, (ад) ~ + + Г1 ~ шы (Ьд) — шд (ад) Суммируя по й и принимая по внимание абсолюгную непрерывность ш,(х) и шя(х), докажем свойство (25) и для произведения ш,(х) шд (х). Теорема 2. Абсолютно непрерывная фунгсцггя ш(х) есть функция ограниченной вариацшц и ее полная вариация О(х) еппь также абсолютно непрерывная функция. Пусть т„— такое положительное число, что при соблюдении условия (23) для т=тш мы имеем ~ ( ш (Ьд) — ш (ад) —; 1.
(29) Разложим ~1а, Ь] на части фиксированными точками а=сь(с,( (сч(...(сь 1(сн=Ь так, что сд — сд,(т„(й=-1,2, ..., )ч). При любом разбиении промежутка для 1сд О сд! владеем неравенство (29), и суммы 1ь, а тем самым и полная вариация ь~(х) на каждом из пРомежУтков ~1сд и сд'1 не больше единицы, а на всем пРомежутке (а, Ь| не больше Лг. Пусть ~ соотве~ствуе~ в так, что при соблюдении (23) выполняется (25). Ьудем подразделять каждый из промежутков ~1ад, Ьд), входящих в условие (23), на частичные промежутки.
Сумма длин полученных промежутков будет попрежнему удовлетворять условию (23), и соответствующая полученным частичным промежуткам сумма (23) будет понрежнему (д. Точная верхняя граница суммы слагаемых, отвечаюедих частичным промежуткам из 1ад, Ьд), даст, очевидно, О (Ьд) — э (ад) и, таким образом, прн выполнении условия (23) будем име~ь 235 74] СЛУЧАП ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО откуда и следуе<, что е (х) абсолютно непрерывна, и теорема доказана. Строя функции в, (х) = — [и (х) + в (х)] ва (х) = — [О (х) — в (х)] (30) 1 1 которые не убывают [8] и абсолютно непрерывны, в силу теоремы 1, мы представляем в(х) в виде разности двух неубывающих абсолютно непрерывных функции в(х) = в, (х) — ва(х).
Как мы указали, неопределенный интеграл (22) от сумл<ируемои функции у"(х) дает абсолютно непрерывную функцию точки в(х) в смысле указанного выше определения (23), (24) или (23), (25). Докажем теперь обратное предложение. Теорема 3. Всякая абсолютно непрерывная функция в(х) представимо неопределенным интегралом в(х) = ~ у(х) бх -] — в(а). а (32) <Р < (р) = ~ р< (х) <(х. (33) Совершенно аналогично, строя 7а(5) =в,(р) — в,(к), получим <Рг (о) = ] Л (х) с(х 5 (34) Пользуясь функцией в,(х) и полагая в,(х)=в,(а) при х(а и в, (х) = в, (Ь) при х ) Ь, мы можем сопоставить промежутку 5 [а, 'р] неотрицательное число <Р, (5) = в, (Р) — в, (а), причем ввиду непрерывности в,(х) неважно, является ли промежуток 5 замкнутым или открытым. Если некоторое линеиное множество 5 измеримо по Лебегу, то существует тзкое открытое множество О, содержащее 5, что множес~во (Π— 5) можно покрыть конечным или счетным числом промежут«ов [а„, Ь„], сумма длин которых сколь угодно мала [35].
В силу абсолютной непрерывности в(х) в [а, Ь] и ее продолжения постоянной вне [а, Ь], мы можем совершить это покрытие и таким образом, чтобы сумма неотрицательных слагаемых в, (Ьь) — в, (а„) для покрывающих промежуп<ов [атп Ьа] была сколь угодно малой, т. е. если $ измеримо по Лебегу, то 5 измеримо и относительно в,(х).
Таким образом, мы можем распространить <Р<(5) на все множества из <'., принадлежащие [а, Ь], со свойством полной аддитивности. Из предыдущих рассуждений следует также, что если лебегова мера т($)=0, то и в<($) =О, а потому имеем 236 ФУНКЦИИ МНОЖЕСТВ.
АБСОЛЮТНАЯ НЕПРЕРЫВНОСТЬ [74 где У,(х) суммируема на [и, Ь], и ср(Ф)=ср,(5) — р,(5) = ] [г1(х) — гя(х)] пх= ] .г (х)г1х. (35) $ $ Если аз ф возьмем промежуток [а, х], то и придем к формуле (22). Можно утверждать, что функции Дх), входящая в формулу (22), определяется единстгенным образом с точностью до слагаемого, поч~и везде раиного нулю. Дейстиительно, если бы наряду с (22) мы имели для м(х) вторую такую же формулу с подынтегральной функцнеп п(х), то интеграл от разности Дх) — л(х) по любому промежутку, принадлежащему [а, Ь], был бы равен нулю, и, в силу своиства 11 из [52], мы могли бы утверждать, что упомянутая разность эквивалентна нулю.
Функция у(х), входящая в формулу (22), называется производной от м(х) и обозначается обычным символом: у(х)=м'(х). Можно показать, чего мы делать не будем, что для всех х из [и, Ь], кроме, может быть, множества значений лебеговой меры нуль, имеется предел: ш (Х + И) — а (Х) А-О причем Е(х) эквивалентна г"(х). Если )"(х) — непрерывная функция в [а, Ь], то при всех х из [а, Ь] сущесгвует обычная производная м'(х)=у(х) от интеграла по верхнему пределу.
Если у'(х) не только непрерывна, но и абсолютно непрерывна в [а, Ь], то имеем очевидно м' (х) = г (х) = ] й (х) Ых + С, а где й(х) суммируена. Мы имеем У'(х)а Ь(х), и Ь(х) называетск производной второго порядка ог м(х) и обозначается обычным символом й (х) = ма (х). Соверщенно аналогично м(х) может иметь абсолютно непрерывные производные до порядка Ь и тем самым суммируемую производную порядка (1+1). При этом она предста- вима в виде а а м(Х)= ~ С~Х ~ С1Х... ~ мм"1(Х)Г(Х+ а(а) + а а а Вся изложенная теория легко распространяегся на тот случай, когда м(х) абсолюгно непрерывна относительно неубывающей функции (х), которую мы будем считать непрерывной, т.
е. любому 75! лвсолют!ю нгпеггывныв Функг!ии чножвств 237 заданному положительному а отвечаег такое положительное в, что если (а„, Ь,) — непересекающиеся промежутки, для которых л Х (Ь" (Ьь) — 8 ( Н - а й-! (36) то 1м (Ьь) — со (а„)) ( а. (37) Совершенно так же, как и выше, мы можем вместо (37) писать (28) и функция м(х) непрерывна на (а, Ь). Вместо (32) мы получаем формулу к м(х) = ~ у(х) агп(х)+ и(а). (38) мы слева получаем меру у(0) в силу адди~ивности меры и справа интеграл цо О в силу аддигивносги интеграла, т.
е. формула (16) дает меру о(0) люоого открьного множества, Принимая во внимание, что всякое замкнутое множество Г есть разность всей плоскости $' (открьпое мнокество) и некоторого открытого множества 0 (разности О=ф' — Р) и вычитая почленно формулы Згф') = ~ ((Р) 0(с(гг); о(0)= ~ ~(Р)0(г(В), 76. Абсолютно непрерывные функции множеств. Вернемся к общему случаю множесгв на плоскости и исследуем подробнее преобразование, совершаемое формулой (!6), причем будем считать, что у(Р) неотрицательна и суммируема на всей плоскости. Если )'(Р) опРеделена и сУммиРУема на некотоРом измеРимом мно>кесгве 1-;и то, продолжая ее нулем во вне ф,, мы получим функцию, суммируемую на всей плоскости.
Формула (16) определяет вполне аддитивную функцию в(5) на теле с.о. Тем самым зта функция определена для всех полуоткрытых проиежутков, и мы можем продолжать эту функцию пРомежУтков 3~(б) на теле ьт, как это мы делали Раньше опюсительно 0(б). Теорема 1. Всякое множество ть пз ьо принадлежит Е, п формула (16) дает меру гр(1.) етого множества, получаелгую прп указанно,я продолжении гр(Д).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
