1610915356-5872c4d4ad41802c73f2f3fcece03aba (824746), страница 57

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 57)

Мы имеем по определению р(х, х„) = !нп р (х, х„). Но, в силу ос со того, что х„— фундаментальная последовательность имеет место (3) и р(х, х„) о-а при в ~И, т. е. р(х, х„) — ьО при и — ь со. Покажем теперь, что Х плотно в Х, т. е. если х — любой элемент Х и а — любое заданное положительное число, то существует такой элемент х из Х, что р(х, х):с- а.

Если элементу х соответствует класс первого типа и х отождествлен с элементом х, из Х, то при любом а ) О мы можем положить х= х,, ибо р(х, х,)= = р(х,, х,) = О. Пусть х не входит в Х, и ему соответствует фундаментзльная последовательность х„. фиксируем такое лс, что р(х„, х )(а при л~т, и покажем, что можем положить х=х . Лействительно, р(х, х,„)= !!щ р(х„, х„) и, в силу р(х„, хм)(а о со при и= т, получаем р(х, хм)~а. 279 851 пОпОлнение митя»»изского пгостванствл Локажем теперь, что Х есть полное пространство. Пусть х„есть фундаментальнзя последовательность в Х, т.

е. р(х„, х )~а при и и гп)гтг. Надо доказать, что в Х существует такой элемент х, что р(х, х„)-ь О при и-+ сю. В силу доказанного выше, при любом п существует такой элемент х„из Х, что ! р(х„, х„) ( — . Нетрудно видеть, что последовзтельность х„ элеи менг.ов Х суть фундаментальная: р(х„, хм)~р(х„, х„)+р(х„, х )+р(х, х ) ( ! ! ( — + — +р(х„, х ). Последовательность х„входит в некоторый класс, определяюгггий ггекоторый элеменг х из Х. Покажем, что р(х, х„)-+О.

Это следует из неравенства р(х, х„) (р(х, х„)+ р(х„, х„)~р(х, х„)+— и того, что р (х, х„) -+ О, как это мы видели выше. Полнота Х доказана. Локажем еще теорему об единственности пополнения метрического пространства Х. Теорема. Пополненгге пространсгпва Х, при котором Х плотно в новом проспгранстве, единственно с точностью до изометрис. Пусть У вЂ” полное метрическое пространство, содержащее Х, и в котором Х плотно. Нзм надо доказать, что У изометрично Х.

При этом предполагается, конечно, что расстояние между двумя элементами из У, принадлежащими Х, такое же, что и в Х. Пусть у— некоторый элемент У. Поскольку Х плотно в У, существует такая последовательность элементов х„ из Х, что р(у, х„)-+ О в У, и тем самым х„ — фундаментальная последовательность в У и в Х. Этап последовательности соответствует определенный элемент х из Х Нетрудно видеть, что х не ззвисит от выбора х„, важно лишь, что р(у, х„) -» О. Приведем х в соответствие указанному элементу у из У.

Пусть теперь у нас имеется определенный элемент х' из Х. Берем какую-нибудь определяющую его последовательность элементов х„ из Х. Она является фундаментальной в полном пространстве У и тем самым определяет элемент у' из У. Нетрудно видеть, что у' не зависит от выбора последовательности х„', важно лишь, что она определяет х'. Приводим у' в соответствие с х'.

Таким путем, как легко видеть, мы устанавливаем биоднозначное соогветствие между элементаии У и Х Остается доказагь, что р (х, зу) = р ( у, у'). 280 мзтеичвскнв и нозмияоалнныз паосталнстал [85 Это следует из определения р(х, х') в Х и непрерывности рзсстояния в У: р(х, х') = 1пп р (х„, х„') =р(у, у'). М!я подробно остановились на пополнении метрического пространства, поскольку в приложении теории метрических пространств этот процесс играег существенную роль, и он позволяет ограничиваться рассмотрением полных пространств.

Приведем три простых примера. 1. Пусть Х вЂ” пространство всех веществеш!ых рациональных чисел х, у, г,..., причем расстояние определяется формулой р(х, у)= = ( х — у (. Очевидно, что р (х, у) удовлетворяет всем трем условиям, входящим в определение метрического пространства. Возьмем некоторую фундаментальную последовательность вещественных рациональных чисел х„. По признаку Коши она обязательно имеет предел, но если этот предел есть иррациональное число, то последовзтельность х„ в Х не имеет пределз, и, следовзтельно, Х есть неполное пространство. Его пополнение вводи! еще и все иррационзльные числа, н пространство Х всех вещественных чисел есть уже полное пространство. 2. Рассмотрим пространство С всех вещественных функций х(1), у(1), з(1),..., непрерывных на конечном промежутке [а, Ь], и определим расстояние р(х, у) формулой [14]! р(х,у)= шах [х(1) — у(1)].

а ! а Нетрудно проверить допустимость такого определения р(х, у). Сходимость р(х,х„) -» 0 есть в данном случае равномерная сходимость х„(1)-» х(1) на промежутке а -.1(Ь, и если [х„(1) — х (1)[-+О при л и т-»со, то существует такая непрерывная функция х(1), что х„(1)»х(1) равномерно [1; 144], т. е.

С вЂ” пространство полное. 3. Рассмотрим теперь пространство Г тех же непрерывных функций на промежутке (а, Ь), но с другим определением рзсстояния: ь . ! р(х, у)=~ ] [х(1) — у(1)]'г(ф (5) а Оно также является допустимым. Возьмем фундаментзльную последовательность (х„(1)] из Р: ] х„(1) — х (1) ~ г(1 -» О при л и л! -» оо. й Она имеет предел в смысле метрики (5) [56], но предельная функция может быть любой функцией нз Ем поскольку непрерыв- 281 861 пополнвнив мвтрнчвского прострлнствь ные функции повсюду плотны 1.с (60).

Если предельная функция не эквивалентна непрерывной функции, то такая фундаментальная в Р последовательность не имеет прелела в Р, т. е. пространство Г неполное. Его пополнение дает функции из ум не эквивалентные непрерывным функциям, и превращает Р в с'.. Вместо функции одной переменной мы могли бы рассмотреть множество функций л-переменных х (С„ с„...,с„), — непрерывных на ограниченном замкнутом множестве л-мерного пространства. Отметим еше раз, что при пополнении конкретного метрического пространства важно уметь истолковать конкрегный смысл новых элементов, получающихся при пополнении. В последнем примере это функции из йм не эквивалентные непрерывным функциям.

Огметим еще, что, как мы видели выше, пространство с'.с можно рассмотреть на любом измеримом множестве. Мы расска~рели случай ограниченного замкнутого множества, поскольку исходили из пространства Г непрерывных функций. Укажем одну теорему, которая имеет место в полных метрических пространствах. В дальнейшем открытую сферу в Х с центром х и радиусом г будем обозначать Я (х,г) и замкнутую сферу Я(х,г), Теорема. Пусть в полном метрическом пространстве Х имеется такая последовательность замкнутых сфер Я(хь, г„)(л = с, 2, ...), что каждая последующая сфера принадлежит лредьсдусйей и радиусьс г„-с- 0 лрсс л -ь ссс.

При этом существует точка, принадлежащая всем У(хю г„), и такая точка единственна. По условию 5(х„,р, г„с р)~Я(х„,г„)(р)0), и, следовательно, р(х„„р, х„)(2г„при всяком р) О, т. е. последовательность х„ фундаментальна, и, в силу полноты Х, х„ имеет предел, который обозначим х,. Возьмем какую-либо фиксированную сферу 5 (х„, г„) и покажем, ч го х, с Я (х„, г„). Действительно, все элементы последовательности х„,х„ ь и ..., имеющей х, пределом, принадлежзт 8(х„, г„) по условию теоремы, и, посколы<у 5(х„, г„) есть замкнутое множество, и х, Е 5(х„, г„). Предположим теперь, что существуе~ элемент х,, принадлежащий всем Я(х„, г„).

с(окажем, что х,=х,. Так как х, и х, принадлежат всем У(х„г„), то р (х„х,') (р (х„х„) + р (х„, х,'):-2г„. В пределе это нерагенство дает р(х„, х,)(0, т. е. р(х„х,)=0, откуда следует, что х, совпадает с х,. Теорема доказана. Отметим еще, что всякое за,ккнутое множество У полного лсеслрпческого пространства Х есть также полное метрическое пространство (при этом предполагается, очевидно, что расстояние р(х,у) в У равно расстоянию между х и у в Х). Сказанное выше непосредствешю следует из того, что всякая фундаментальная в У последовательность х„имеет предел в Х, и этот предел должен принадлежать У, поскольку У вЂ” замкнутое множество. 282 лсвтгичвскив н ногмивовлссссыв пгоссгелссствл !86 86.

Операторы и функционалы. Принцип сжатых отображений. Пусть даны два метрических пространства Х и Х'. Соответствие х'=Ах, опюсяшее элементам х из Х определенные элементы х' из Х', называется оператором, действующим из Х в Х'. Оператор может быть определен не во всем Х. Множество элементов х из Х, на которых определен оператор А, называется областью определения А и будет обозначаться нами через Р(А). Множество значений Ах будем обозначать через ст(А). Это — нексторое множество элементов Х'. Если ст(А) есть все Х', то уравнение х'= Ах (6) имеет при всяком х' из Х' по крайней мере одно решение, Полсжим, что А устанавливает бноднозначное соответствие между Р и сл, т.

е. что при различных х из Р(А) получаются согласно (6) различные х' нз сс(А). В этом случае уравнение (6) имеет при всяком х' из Я(А) единственное решение из Р(А). Частным, но весьма важным случаем операторов являются фу и кционалы. Так называются операторы в том случае, когда Х' есть пространство вещественных чисел при указанном в 185) определении расстояния р (х', у') =/ х' — у' !. Иногда берут и пространство всех комплексных чисел при том же определении расстояния. Приведем один признак однозначной разрешимое~и уравнения х — Ах = О для того случая, когда Х' совпадает с Х.

Теорема (лрсснцссл сжатых отображений). Еслсс оператор А отображает полное метрическое пространство Х в себя, Р(А)=Х и для любых х и у из Х: р(Ах, Ау) (ар(х, у), (с) где а — число, удовлетворяющее условию 0(а(с', то уравнение х= Ах ссмеет одно и толысо одно решение. Это решение молсет быть получено нан предел последовательности х,=Ахи х,=Ах, хс —— Ах„, ..., (8) построенной лри любом выборе исходного элемента хн В рассматриваемом случае Р(А)=Х и )с(А)с:.Х.

Мы имеем р(х„. х„ь,) =р(Ах„и Ах„)(ар(х„„х„). Применяя эту же оценку к р (х„и х„) и т. д., получим р(х„, х„+ с)( в-а" 'р(хн х,)(л=1, 2,3, ...), откуда следует при т)л: Р(х„, хм)(Р(х„, х„,,)+ Р(х„ли х„„)+... +Р(х,„н х„,) = ял — 1 =.а" '(1+а+...+а " ')р(хс, х,)( р(хс, х,). ПРинимаЯ во внимание, что Р (х„, х„) = О и Р (хы хы) = Р(хы х„) видим, что р(х , х ) О при и и т — со.

Характеристики

Список файлов книги